Acasă › Clasa a 5-a › Reguli de calcul cu puteri

Reguli de calcul cu puteri

Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a puterilor.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Regulile vin direct din definiție. De exemplu, 2³ · 2² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2⁵: în total 3 + 2 = 5 factori egali cu 2.

a^m · aⁿ = a^{m + n}
a^m : aⁿ = a^{m − n} (m ≥ n, a ≠ 0)
(a^m)ⁿ = a^{m · n}
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

Dacă m = n, atunci a^m : a^m = a⁰ = 1.
Regulile cu a^m · aⁿ și a^m : aⁿ se aplică doar când baza este aceeași.
Un truc folositor: 2ⁿ · 5ⁿ = 10ⁿ.

Exemplul 1. 3⁴ · 3² = 3⁶ = 729 și 5⁹ : 5⁶ = 5³ = 125.

Exemplul 2. (2³)⁴ = 2¹² = 4096.

Exemplul 3. 2⁵ · 5⁵ = (2 · 5)⁵ = 10⁵ = 100 000.

Exemplul 4. 2⁷ · 5⁵ = 2² · (2⁵ · 5⁵) = 4 · 10⁵ = 400 000.

Exemplul 5. Scriem 4³ ca putere a lui 2: 4³ = (2²)³ = 2⁶ = 64.

Greșeli frecvente

2³ · 2² = 2⁵, nu 4⁵ și nu 2⁶: exponenții se adună, baza rămâne.
2³ + 2² = 8 + 4 = 12; suma puterilor nu se scrie ca o singură putere cu aceeași regulă.
(a^m)ⁿ = a^{m · n}: exponenții se înmulțesc.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Cât este a^m · aⁿ?
Cât este a^m : aⁿ (a ≠ 0, m ≥ n)?
Scrie ca o singură putere: 5⁷ · 5³.
Scrie ca o singură putere: 7⁶ · 7².
Scrie ca o singură putere: 7³ · 7⁷.
Scrie ca o singură putere: 10³ · 10⁴.
Scrie ca o singură putere: 3⁹ · 3⁹.
Scrie ca o singură putere: 4⁵ · 4⁵.
Scrie ca o singură putere: 10² · 10⁴.
Scrie ca o singură putere: 4⁹ · 4⁶.
Scrie ca o singură putere: 7⁹ : 7⁷.
Scrie ca o singură putere: 6⁵ : 6³.
Scrie ca o singură putere: 3⁸ : 3².
Scrie ca o singură putere: 2¹⁵ : 2⁸.
Scrie ca o singură putere: 3¹¹ : 3³.
Scrie ca o singură putere: 6⁵ : 6⁴.
Scrie ca o singură putere: 5³ : 5².
Scrie ca o singură putere: 7⁹ : 7³.
Scrie ca o singură putere: 6¹⁰ : 6².
Scrie ca o singură putere: (6⁵)².
Scrie ca o singură putere: (6⁶)⁵.
Scrie ca o singură putere: (2³)⁵.
Scrie ca o singură putere: (10⁵)⁵.
Scrie ca o singură putere: (6⁵)³.
Scrie ca o singură putere: (5⁴)³.
Scrie ca o singură putere: (3⁴)⁵.
Calculează 7⁵ : 7⁴.
Calculează 5⁵ : 5⁴.
Scrie ca o singură putere: 2³ · 2⁶.
Scrie ca o singură putere: 4⁶ · 4³.
Scrie ca o singură putere: 2⁴ · 2⁷.
Scrie ca o singură putere: 10³ · 10³.
Scrie ca o singură putere: 3³ · 3⁷.
Scrie ca o singură putere: 10² · 10⁹.
Scrie ca o singură putere: 10¹⁰ : 10⁴.
Scrie ca o singură putere: 7¹³ : 7⁵.
Scrie ca o singură putere: 2¹⁶ : 2⁸.
Scrie ca o singură putere: 4¹² : 4⁷.
Scrie ca o singură putere: 5⁴ : 5².
Scrie ca o singură putere: 6⁵ : 6².
Scrie ca o singură putere: 4⁸ : 4⁷.
Scrie ca o singură putere: 4⁸ : 4⁶.
Scrie ca o singură putere: (4³)⁵.
Scrie ca o singură putere: (7²)⁴.
Scrie ca o singură putere: (5⁴)⁵.
Scrie ca o singură putere: (5⁴)⁶.
Scrie ca o singură putere: (4⁴)⁶.
Scrie ca o singură putere: (2³)⁴.
Scrie ca o singură putere: (4⁵)³.
Scrie ca o singură putere: (2⁴)².

Arată răspunsurile: nivel ușor

a^{m + n} — La înmulțire, bazele egale rămân, iar exponenții se adună.
a^{m − n} — La împărțire, baza rămâne, iar exponenții se scad.
5¹⁰ — 5⁷ · 5³ = 5^{7 + 3} = 5¹⁰.
7⁸ — 7⁶ · 7² = 7^{6 + 2} = 7⁸.
7¹⁰ — 7³ · 7⁷ = 7^{3 + 7} = 7¹⁰.
10⁷ — 10³ · 10⁴ = 10^{3 + 4} = 10⁷.
3¹⁸ — 3⁹ · 3⁹ = 3^{9 + 9} = 3¹⁸.
4¹⁰ — 4⁵ · 4⁵ = 4^{5 + 5} = 4¹⁰.
10⁶ — 10² · 10⁴ = 10^{2 + 4} = 10⁶.
4¹⁵ — 4⁹ · 4⁶ = 4^{9 + 6} = 4¹⁵.
7² — 7⁹ : 7⁷ = 7^{9 − 7} = 7².
6² — 6⁵ : 6³ = 6^{5 − 3} = 6².
3⁶ — 3⁸ : 3² = 3^{8 − 2} = 3⁶.
2⁷ — 2¹⁵ : 2⁸ = 2^{15 − 8} = 2⁷.
3⁸ — 3¹¹ : 3³ = 3^{11 − 3} = 3⁸.
6¹ — 6⁵ : 6⁴ = 6^{5 − 4} = 6¹.
5¹ — 5³ : 5² = 5^{3 − 2} = 5¹.
7⁶ — 7⁹ : 7³ = 7^{9 − 3} = 7⁶.
6⁸ — 6¹⁰ : 6² = 6^{10 − 2} = 6⁸.
6¹⁰ — (6⁵)² = 6^{5 · 2} = 6¹⁰.
6³⁰ — (6⁶)⁵ = 6^{6 · 5} = 6³⁰.
2¹⁵ — (2³)⁵ = 2^{3 · 5} = 2¹⁵.
10²⁵ — (10⁵)⁵ = 10^{5 · 5} = 10²⁵.
6¹⁵ — (6⁵)³ = 6^{5 · 3} = 6¹⁵.
5¹² — (5⁴)³ = 5^{4 · 3} = 5¹².
3²⁰ — (3⁴)⁵ = 3^{4 · 5} = 3²⁰.
7 — 7⁵ : 7⁴ = 7¹ = 7.
5 — 5⁵ : 5⁴ = 5¹ = 5.
2⁹ — 2³ · 2⁶ = 2^{3 + 6} = 2⁹.
4⁹ — 4⁶ · 4³ = 4^{6 + 3} = 4⁹.
2¹¹ — 2⁴ · 2⁷ = 2^{4 + 7} = 2¹¹.
10⁶ — 10³ · 10³ = 10^{3 + 3} = 10⁶.
3¹⁰ — 3³ · 3⁷ = 3^{3 + 7} = 3¹⁰.
10¹¹ — 10² · 10⁹ = 10^{2 + 9} = 10¹¹.
10⁶ — 10¹⁰ : 10⁴ = 10^{10 − 4} = 10⁶.
7⁸ — 7¹³ : 7⁵ = 7^{13 − 5} = 7⁸.
2⁸ — 2¹⁶ : 2⁸ = 2^{16 − 8} = 2⁸.
4⁵ — 4¹² : 4⁷ = 4^{12 − 7} = 4⁵.
5² — 5⁴ : 5² = 5^{4 − 2} = 5².
6³ — 6⁵ : 6² = 6^{5 − 2} = 6³.
4¹ — 4⁸ : 4⁷ = 4^{8 − 7} = 4¹.
4² — 4⁸ : 4⁶ = 4^{8 − 6} = 4².
4¹⁵ — (4³)⁵ = 4^{3 · 5} = 4¹⁵.
7⁸ — (7²)⁴ = 7^{2 · 4} = 7⁸.
5²⁰ — (5⁴)⁵ = 5^{4 · 5} = 5²⁰.
5²⁴ — (5⁴)⁶ = 5^{4 · 6} = 5²⁴.
4²⁴ — (4⁴)⁶ = 4^{4 · 6} = 4²⁴.
2¹² — (2³)⁴ = 2^{3 · 4} = 2¹².
4¹⁵ — (4⁵)³ = 4^{5 · 3} = 4¹⁵.
2⁸ — (2⁴)² = 2^{4 · 2} = 2⁸.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Află x, știind că 3⁵ · 3^x = 3¹⁰.
Află x, știind că 2⁶ · 2^x = 2¹⁶.
Află x, știind că 10³ · 10^x = 10⁸.
Află x, știind că 2⁵ · 2^x = 2¹³.
Află x, știind că 10⁴ · 10^x = 10¹².
Află x, știind că 10⁴ · 10^x = 10¹⁴.
Află x, știind că 10⁵ · 10^x = 10¹⁰.
Află x, știind că 3⁶ · 3^x = 3¹⁶.
Află x, știind că 3⁵ · 3^x = 3¹⁴.
Află x, știind că (2^x)² = 2¹².
Află x, știind că (7^x)³ = 7¹⁸.
Află x, știind că (2^x)² = 2⁸.
Află x, știind că (2^x)³ = 2⁶.
Află x, știind că (7^x)⁵ = 7³⁰.
Află x, știind că (7^x)³ = 7¹⁵.
Calculează 5⁵ · 5² : 5⁵ și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 10⁵ · 10³ : 10² și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 2⁴ · 2⁴ : 2³ și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 5³ · 5⁵ : 5⁵ și scrie rezultatul ca putere.
Scrie 4² ca putere cu baza 2.
Scrie 8² ca putere cu baza 2.
Scrie 25³ ca putere cu baza 5.
Scrie 81² ca putere cu baza 3.
Calculează 2³ · 5³.
Calculează 2⁴ · 5⁴.
Calculează 4² · 25².
Calculează 5⁶ · 2⁶.
Calculează 2² · 50².
Calculează 25³ · 4³.
Află x, știind că 2⁶ · 2^x = 2¹².
Află x, știind că 2² · 2^x = 2¹⁵.
Află x, știind că 10³ · 10^x = 10¹².
Află x, știind că 2⁴ · 2^x = 2¹².
Află x, știind că 2³ · 2^x = 2⁸.
Află x, știind că 2⁵ · 2^x = 2¹².
Află x, știind că 2² · 2^x = 2¹⁴.
Află x, știind că (7^x)⁵ = 7¹⁵.
Află x, știind că (2^x)⁴ = 2²⁰.
Află x, știind că (7^x)⁵ = 7¹⁰.
Află x, știind că (2^x)² = 2⁴.
Află x, știind că (2^x)² = 2¹⁰.
Află x, știind că (7^x)³ = 7⁹.
Calculează 10⁴ · 10⁴ : 10³ și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 5⁵ · 5² : 5² și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 3⁵ · 3³ : 3³ și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 3² · 3⁵ : 3² și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 2⁵ · 2⁵ : 2² și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 2⁴ · 2² : 2² și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 5³ · 5³ : 5³ și scrie rezultatul ca putere.
Calculează 5² · 5⁴ : 5⁴ și scrie rezultatul ca putere.

Arată răspunsurile: nivel mediu

5 — 3⁵ · 3^x = 3^{5 + x} = 3¹⁰, deci x = 10 − 5 = 5.
10 — 2⁶ · 2^x = 2^{6 + x} = 2¹⁶, deci x = 16 − 6 = 10.
5 — 10³ · 10^x = 10^{3 + x} = 10⁸, deci x = 8 − 3 = 5.
8 — 2⁵ · 2^x = 2^{5 + x} = 2¹³, deci x = 13 − 5 = 8.
8 — 10⁴ · 10^x = 10^{4 + x} = 10¹², deci x = 12 − 4 = 8.
10 — 10⁴ · 10^x = 10^{4 + x} = 10¹⁴, deci x = 14 − 4 = 10.
5 — 10⁵ · 10^x = 10^{5 + x} = 10¹⁰, deci x = 10 − 5 = 5.
10 — 3⁶ · 3^x = 3^{6 + x} = 3¹⁶, deci x = 16 − 6 = 10.
9 — 3⁵ · 3^x = 3^{5 + x} = 3¹⁴, deci x = 14 − 5 = 9.
6 — x · 2 = 12, deci x = 6.
6 — x · 3 = 18, deci x = 6.
4 — x · 2 = 8, deci x = 4.
2 — x · 3 = 6, deci x = 2.
6 — x · 5 = 30, deci x = 6.
5 — x · 3 = 15, deci x = 5.
5² — 5⁵ · 5² : 5⁵ = 5⁷ : 5⁵ = 5².
10⁶ — 10⁵ · 10³ : 10² = 10⁸ : 10² = 10⁶.
2⁵ — 2⁴ · 2⁴ : 2³ = 2⁸ : 2³ = 2⁵.
5³ — 5³ · 5⁵ : 5⁵ = 5⁸ : 5⁵ = 5³.
2⁴ — 4 = 2², deci 4² = (2²)² = 2⁴.
2⁶ — 8 = 2³, deci 8² = (2³)² = 2⁶.
5⁶ — 25 = 5², deci 25³ = (5²)³ = 5⁶.
3⁸ — 81 = 3⁴, deci 81² = (3⁴)² = 3⁸.
1 000 — 2³ · 5³ = (2 · 5)³ = 10³ = 1 000.
10 000 — 2⁴ · 5⁴ = (2 · 5)⁴ = 10⁴ = 10 000.
10 000 — 4² · 25² = (4 · 25)² = 100² = 10 000.
1 000 000 — 5⁶ · 2⁶ = (5 · 2)⁶ = 10⁶ = 1 000 000.
10 000 — 2² · 50² = (2 · 50)² = 100² = 10 000.
1 000 000 — 25³ · 4³ = (25 · 4)³ = 100³ = 1 000 000.
6 — 2⁶ · 2^x = 2^{6 + x} = 2¹², deci x = 12 − 6 = 6.
13 — 2² · 2^x = 2^{2 + x} = 2¹⁵, deci x = 15 − 2 = 13.
9 — 10³ · 10^x = 10^{3 + x} = 10¹², deci x = 12 − 3 = 9.
8 — 2⁴ · 2^x = 2^{4 + x} = 2¹², deci x = 12 − 4 = 8.
5 — 2³ · 2^x = 2^{3 + x} = 2⁸, deci x = 8 − 3 = 5.
7 — 2⁵ · 2^x = 2^{5 + x} = 2¹², deci x = 12 − 5 = 7.
12 — 2² · 2^x = 2^{2 + x} = 2¹⁴, deci x = 14 − 2 = 12.
3 — x · 5 = 15, deci x = 3.
5 — x · 4 = 20, deci x = 5.
2 — x · 5 = 10, deci x = 2.
2 — x · 2 = 4, deci x = 2.
5 — x · 2 = 10, deci x = 5.
3 — x · 3 = 9, deci x = 3.
10⁵ — 10⁴ · 10⁴ : 10³ = 10⁸ : 10³ = 10⁵.
5⁵ — 5⁵ · 5² : 5² = 5⁷ : 5² = 5⁵.
3⁵ — 3⁵ · 3³ : 3³ = 3⁸ : 3³ = 3⁵.
3⁵ — 3² · 3⁵ : 3² = 3⁷ : 3² = 3⁵.
2⁸ — 2⁵ · 2⁵ : 2² = 2¹⁰ : 2² = 2⁸.
2⁴ — 2⁴ · 2² : 2² = 2⁶ : 2² = 2⁴.
5³ — 5³ · 5³ : 5³ = 5⁶ : 5³ = 5³.
5² — 5² · 5⁴ : 5⁴ = 5⁶ : 5⁴ = 5².

Nivel dificil (50 de exerciții)

Calculează 2⁴ − 2³.
Calculează 2⁵ − 2⁴.
Calculează 2⁶ − 2⁵.
Calculează 2⁷ − 2⁶.
Calculează 2⁸ − 2⁷.
Calculează 3³ − 3².
Calculează 3⁴ − 3³.
Calculează 3⁵ − 3⁴.
Calculează 3⁶ − 3⁵.
Calculează 3⁷ − 3⁶.
Calculează 3⁸ − 3⁷.
Calculează 5³ : 5¹.
Calculează 5⁵ : 5³.
Calculează 5⁶ : 5⁴.
Calculează 5⁷ : 5⁵.
Calculează 5⁸ : 5⁶.
Calculează 5⁹ : 5⁷.
Scrie 4 · 2⁵ ca putere a lui 2.
Scrie 16 · 2² ca putere a lui 2.
Scrie 8 · 2³ ca putere a lui 2.
Scrie 32 · 2¹ ca putere a lui 2.
Calculează (2³)⁴ : 2¹⁰.
Calculează (3²)⁵ : 3⁸.
Calculează (2⁵)² : 2⁸.
Calculează (3³)³ : 3⁷.
Calculează (2²)⁶ : 2¹⁰.
Se știe că 2^x = 4 și 2^y = 8. Cât este 2^{x + y}?
Se știe că 2^x = 8 și 2^y = 16. Cât este 2^{x + y}?
Se știe că 2^x = 4 și 2^y = 32. Cât este 2^{x + y}?
Se știe că 2^x = 16 și 2^y = 4. Cât este 2^{x + y}?
Se știe că 2^x = 32 și 2^y = 8. Cât este 2^{x + y}?
Se știe că 2^x = 8 și 2^y = 4. Cât este 2^{x + y}?
Calculează 2² + 2² + 2² + 2².
Calculează 2³ + 2³ + 2³ + 2³.
Calculează 2⁴ + 2⁴ + 2⁴ + 2⁴.
Calculează 2⁵ + 2⁵ + 2⁵ + 2⁵.
Calculează 2⁶ + 2⁶ + 2⁶ + 2⁶.
Calculează 2⁷ + 2⁷ + 2⁷ + 2⁷.
Calculează 10³ : 2³.
Calculează 10⁴ : 2⁴.
Calculează 10⁵ : 2⁵.
Calculează 10⁶ : 2⁶.
Calculează 10⁷ : 2⁷.
Calculează 2² + 2².
Calculează 2¹¹ + 2¹¹.
Calculează 2⁶ + 2⁶.
Calculează 2¹⁰ + 2¹⁰.
Calculează 2⁹ + 2⁹.
Calculează 2¹² + 2¹².
Calculează 2⁵ + 2⁵.

Arată răspunsurile: nivel dificil

8 — 2⁴ − 2³ = 2³ · (2 − 1) = 2³ = 8.
16 — 2⁵ − 2⁴ = 2⁴ · (2 − 1) = 2⁴ = 16.
32 — 2⁶ − 2⁵ = 2⁵ · (2 − 1) = 2⁵ = 32.
64 — 2⁷ − 2⁶ = 2⁶ · (2 − 1) = 2⁶ = 64.
128 — 2⁸ − 2⁷ = 2⁷ · (2 − 1) = 2⁷ = 128.
18 — 3² · (3 − 1) = 2 · 3² = 18.
54 — 3³ · (3 − 1) = 2 · 3³ = 54.
162 — 3⁴ · (3 − 1) = 2 · 3⁴ = 162.
486 — 3⁵ · (3 − 1) = 2 · 3⁵ = 486.
1 458 — 3⁶ · (3 − 1) = 2 · 3⁶ = 1458.
4 374 — 3⁷ · (3 − 1) = 2 · 3⁷ = 4374.
25 — 5³ : 5¹ = 5² = 25.
25 — 5⁵ : 5³ = 5² = 25.
25 — 5⁶ : 5⁴ = 5² = 25.
25 — 5⁷ : 5⁵ = 5² = 25.
25 — 5⁸ : 5⁶ = 5² = 25.
25 — 5⁹ : 5⁷ = 5² = 25.
2⁷ — 4 = 2², deci 4 · 2⁵ = 2^{2 + 5} = 2⁷.
2⁶ — 16 = 2⁴, deci 16 · 2² = 2^{4 + 2} = 2⁶.
2⁶ — 8 = 2³, deci 8 · 2³ = 2^{3 + 3} = 2⁶.
2⁶ — 32 = 2⁵, deci 32 · 2¹ = 2^{5 + 1} = 2⁶.
4 — (2³)⁴ = 2¹²; 2¹² : 2¹⁰ = 2² = 4.
9 — (3²)⁵ = 3¹⁰; 3¹⁰ : 3⁸ = 3² = 9.
4 — (2⁵)² = 2¹⁰; 2¹⁰ : 2⁸ = 2² = 4.
9 — (3³)³ = 3⁹; 3⁹ : 3⁷ = 3² = 9.
4 — (2²)⁶ = 2¹²; 2¹² : 2¹⁰ = 2² = 4.
32 — 2^{x + y} = 2^x · 2^y = 4 · 8 = 32.
128 — 2^{x + y} = 2^x · 2^y = 8 · 16 = 128.
128 — 2^{x + y} = 2^x · 2^y = 4 · 32 = 128.
64 — 2^{x + y} = 2^x · 2^y = 16 · 4 = 64.
256 — 2^{x + y} = 2^x · 2^y = 32 · 8 = 256.
32 — 2^{x + y} = 2^x · 2^y = 8 · 4 = 32.
16 — 4 · 2² = 2² · 2² = 2⁴ = 16.
32 — 4 · 2³ = 2² · 2³ = 2⁵ = 32.
64 — 4 · 2⁴ = 2² · 2⁴ = 2⁶ = 64.
128 — 4 · 2⁵ = 2² · 2⁵ = 2⁷ = 128.
256 — 4 · 2⁶ = 2² · 2⁶ = 2⁸ = 256.
512 — 4 · 2⁷ = 2² · 2⁷ = 2⁹ = 512.
125 — 10³ : 2³ = (10 : 2)³ = 5³ = 125.
625 — 10⁴ : 2⁴ = (10 : 2)⁴ = 5⁴ = 625.
3 125 — 10⁵ : 2⁵ = (10 : 2)⁵ = 5⁵ = 3 125.
15 625 — 10⁶ : 2⁶ = (10 : 2)⁶ = 5⁶ = 15 625.
78 125 — 10⁷ : 2⁷ = (10 : 2)⁷ = 5⁷ = 78 125.
8 — 2 · 2² = 2³ = 8.
4 096 — 2 · 2¹¹ = 2¹² = 4 096.
128 — 2 · 2⁶ = 2⁷ = 128.
2 048 — 2 · 2¹⁰ = 2¹¹ = 2 048.
1 024 — 2 · 2⁹ = 2¹⁰ = 1 024.
8 192 — 2 · 2¹² = 2¹³ = 8 192.
64 — 2 · 2⁵ = 2⁶ = 64.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 5-a