Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Mediatoarea unui segment

Mediatoarea unui segment

Mijlocul unui segment, mediatoarea, proprietatea punctelor de pe mediatoare, construcția cu compasul, centrul cercului circumscris.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Mijlocul unui segment [AB] este punctul M ∈ [AB] cu AM = MB = AB : 2.

Definiție

Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul lui.

ABMm

m este mediatoarea lui [AB]: m ⟂ AB și M este mijlocul (cele două segmente marcate cu un semn sunt egale).

Un segment are o singură mediatoare.
P ∈ mediatoarea lui [AB]  ⟺  PA = PB
Mediatoarea este mulțimea punctelor egal depărtate de capetele segmentului.

De ce PA = PB?

PABMm

Îndoaie foaia de hârtie de-a lungul mediatoarei: capătul A se suprapune pe B (A și B sunt simetrice față de mediatoare), iar P rămâne pe loc. De aceea segmentele PA și PB se suprapun: au aceeași lungime. Reciproc, dacă PA = PB, punctul P nu poate fi decât pe mediatoare.

Construcția mediatoarei cu compasul

ABPQM
  1. Cu vârful compasului în A și o deschidere mai mare decât jumătate din AB, tragem un arc de cerc.
  2. Cu aceeași deschidere și vârful în B, tragem alt arc; arcele se taie în P și Q.
  3. Dreapta PQ este mediatoarea; ea taie segmentul în mijlocul M.

P și Q sunt egal depărtate de A și de B (au aceeași deschidere de compas), deci se află pe mediatoare.

Mediatoarele laturilor unui triunghi

ABCO

Mediatoarele laturilor triunghiului ABC se intersectează în O.

Cele trei mediatoare sunt concurente în punctul O, iar OA = OB = OC.
O este centrul cercului care trece prin A, B, C (cercul circumscris triunghiului).

Într-un triunghi isoscel (AB = AC), mediatoarea bazei trece prin vârful A, iar dacă M este mijlocul bazei, AM ⟂ BC.

ABCM
Exemplul 1. M este mijlocul segmentului [AB], cu AM = (3x + 2) cm și MB = (5x − 6) cm. Află AB.
Metoda 1 (AM = MB). 3x + 2 = 5x − 6, deci 8 = 2x și x = 4. Atunci AM = 3·4 + 2 = 14 cm, iar AB = 2 · 14 = 28 cm.
Metoda 2 (AB în două feluri). AB = AM + MB = 8x − 4, dar și AB = 2 · AM = 6x + 4. Egalăm: 8x − 4 = 6x + 4, deci x = 4 și AB = 6·4 + 4 = 28 cm.
Exemplul 2. P este pe mediatoarea lui [AB], PA = 13 cm și AB = 10 cm. Care este perimetrul triunghiului PAB?
Rezolvare. P este pe mediatoare, deci PB = PA = 13 cm. Perimetrul este 13 + 13 + 10 = 36 cm.
PABMm
Exemplul 3. Punctul P are PA = (2x + 7) cm și PB = (4x − 5) cm și se află pe mediatoarea lui [AB]. Află PA.
Metoda 1 (ecuație). PA = PB, deci 2x + 7 = 4x − 5, 12 = 2x, x = 6. PA = 2·6 + 7 = 19 cm.
Metoda 2 (verificare). Cu x = 6: PA = 19 cm și PB = 4·6 − 5 = 19 cm. Cele două lungimi sunt egale, deci valoarea este corectă.
Exemplul 4. Mediatoarele laturilor triunghiului ABC se intersectează în O, iar OA = 5 cm. Cât sunt OB și OC?
Rezolvare. O este pe mediatoarea lui [AB], deci OB = OA = 5 cm. Este și pe mediatoarea lui [BC], deci OC = OB = 5 cm. Așadar OB = OC = 5 cm.
Exemplul 5. Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. Mediatoarea bazei taie BC în M. Află BM și perimetrul.
Rezolvare. M este mijlocul bazei: BM = 10 : 2 = 5 cm. Perimetrul este 13 + 13 + 10 = 36 cm.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. În figură, B este mijlocul segmentului [NT] și NB = 28 cm. Cât este NT?NTBm
  2. Dreapta m este mediatoarea segmentului [DU], iar R = m ∩ [DU]. Dacă P ∈ m și P ≠ R, cât este m(∠PRD)?PDURm
  3. În figură, L este mijlocul segmentului [RA] și RA = 4 cm. Cât este RL?RALm
  4. Dreapta m este mediatoarea segmentului [LU], iar A = m ∩ [LU]. Dacă B ∈ m și B ≠ A, cât este m(∠BAL)?BLUAm
  5. Dreapta m este mediatoarea segmentului [LD], iar F = m ∩ [LD]. Dacă Q ∈ m și Q ≠ F, cât este m(∠QFL)?QLDFm
  6. Mediatoarea unui segment este dreapta care
  7. Triunghiul TKY este isoscel, cu TK = TY = 17 cm și KY = 26 cm. Mediatoarea bazei trece prin T și taie [KY] în E. Cât este KE?TKYE
  8. Punctul Q se află pe mediatoarea segmentului [XL] și QX = 8 cm. Cât este QL?QXLCm
  9. Punctul M se află pe mediatoarea segmentului [KN] și MK = 10 cm. Cât este MN?MKNFm
  10. Dreapta m este mediatoarea segmentului [EP], iar K = m ∩ [EP]. Dacă R ∈ m și R ≠ K, cât este m(∠RKE)?REPKm
  11. Triunghiul NTV este isoscel, cu NT = NV = 18 cm și TV = 6 cm. Mediatoarea bazei trece prin N și taie [TV] în X. Cât este TX?NTVX
  12. Dreapta m este mediatoarea segmentului [XM], iar H = m ∩ [XM]. Dacă Z ∈ m și Z ≠ H, cât este m(∠ZHX)?ZXMHm
  13. Dreapta m este mediatoarea segmentului [GT], iar X = m ∩ [GT]. Dacă V ∈ m și V ≠ X, cât este m(∠VXG)?VGTXm
  14. Punctul F se află pe mediatoarea segmentului [XU] și FX = 7 cm. Cât este FU?FXUQm
  15. În figură, N este mijlocul segmentului [YG] și YG = 8 cm. Cât este YN?YGNm
  16. Mediatoarea segmentului [AM] taie segmentul în H. Un punct G al mediatoarei este diferit de H. Cât este m(∠GHM)?GAMHm
  17. În figură, T este mijlocul segmentului [EP] și ET = 11 cm. Cât este EP?EPTm
  18. Dreapta m este mediatoarea segmentului [AR], iar K = m ∩ [AR]. Dacă N ∈ m și N ≠ K, cât este m(∠NKA)?NARKm
  19. În figură, D este mijlocul segmentului [FG] și FG = 4 cm. Cât este FD?FGDm
  20. Triunghiul KVM este isoscel, cu KV = KM = 13 cm și VM = 6 cm. Mediatoarea bazei trece prin K și taie [VM] în F. Cât este VF?KVMF
  21. Triunghiul MEY este isoscel, cu ME = MY = 18 cm și EY = 6 cm. Mediatoarea bazei trece prin M și taie [EY] în H. Cât este EH?MEYH
  22. Punctul Y se află pe mediatoarea segmentului [SC] și YS = 22 cm. Cât este YC?YSCGm
  23. În figură, F este mijlocul segmentului [AR] și AR = 18 cm. Cât este AF?ARFm
  24. Mediatoarea segmentului [LH] taie segmentul în K. Un punct F al mediatoarei este diferit de K. Cât este m(∠FKH)?FLHKm
  25. Triunghiul TPR este isoscel, cu TP = TR = 15 cm și PR = 6 cm. Mediatoarea bazei trece prin T și taie [PR] în G. Cât este PG?TPRG
  26. Punctul P se află pe mediatoarea segmentului [TF] și PT = 12 cm. Cât este PF?PTFMm
  27. Mediatoarea segmentului [AB] taie segmentul în N. Un punct M al mediatoarei este diferit de N. Cât este m(∠MNB)?MABNm
  28. Punctul S se află pe mediatoarea segmentului [TC] și ST = 12 cm. Cât este SC?STCNm
  29. Punctul S se află pe mediatoarea segmentului [UE] și SU = 16 cm. Cât este SE?SUETm
  30. În figură, G este mijlocul segmentului [QB] și QB = 34 cm. Cât este QG?QBGm
  31. Punctul Z se află pe mediatoarea segmentului [RK] și ZR = 24 cm. Cât este ZK?ZRKHm
  32. Punctul Y se află pe mediatoarea segmentului [FQ] și YF = 17 cm. Cât este YQ?YFQXm
  33. Câte mediatoare are un segment?
  34. În figură, M este mijlocul segmentului [KN] și KM = 26 cm. Cât este KN?KNMm
  35. Triunghiul NAU este isoscel, cu NA = NU = 5 cm și AU = 2 cm. Mediatoarea bazei trece prin N și taie [AU] în Y. Cât este AY?NAUY
  36. Punctul L se află pe mediatoarea segmentului [DQ] și LD = 25 cm. Cât este LQ?LDQBm
  37. Dreapta m este mediatoarea segmentului [HX], iar M = m ∩ [HX]. Dacă Q ∈ m și Q ≠ M, cât este m(∠QMH)?QHXMm
  38. Mediatoarea segmentului [VA] taie segmentul în R. Un punct K al mediatoarei este diferit de R. Cât este m(∠KRA)?KVARm
  39. Triunghiul DRQ este isoscel, cu DR = DQ = 21 cm și RQ = 20 cm. Mediatoarea bazei trece prin D și taie [RQ] în P. Cât este RP?DRQP
  40. Punctul P se află pe mediatoarea segmentului [HL] și PH = 25 cm. Cât este PL?PHLFm
  41. Dreapta m este mediatoarea segmentului [DS], iar P = m ∩ [DS]. Dacă H ∈ m și H ≠ P, cât este m(∠HPD)?HDSPm
  42. În figură, E este mijlocul segmentului [CG] și CG = 12 cm. Cât este CE?CGEm
  43. Dreapta m este mediatoarea segmentului [CA], iar T = m ∩ [CA]. Dacă P ∈ m și P ≠ T, cât este m(∠PTC)?PCATm
  44. Punctul Q se află pe mediatoarea segmentului [VE] și QV = 10 cm. Cât este QE?QVEUm
  45. În figură, T este mijlocul segmentului [BN] și BT = 26 cm. Cât este BN?BNTm
  46. Triunghiul BAT este isoscel, cu BA = BT = 17 cm și AT = 14 cm. Mediatoarea bazei trece prin B și taie [AT] în Y. Cât este AY?BATY
  47. Mediatoarea segmentului [SM] taie segmentul în D. Un punct A al mediatoarei este diferit de D. Cât este m(∠ADM)?ASMDm
  48. În figură, A este mijlocul segmentului [EX] și EX = 48 cm. Cât este EA?EXAm
  49. Triunghiul ZXY este isoscel, cu ZX = ZY = 18 cm și XY = 28 cm. Mediatoarea bazei trece prin Z și taie [XY] în N. Cât este XN?ZXYN
  50. Punctul K se află pe mediatoarea segmentului [QC] și KQ = 17 cm. Cât este KC?KQCFm
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 56 cm — B este mijlocul, deci BT = NB = 28 cm. Atunci NT = NB + BT = 28 + 28 = 56 cm (sau 2 · 28 = 56 cm).
  2. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  3. 2 cm — Mijlocul împarte segmentul în două părți egale: RL = RA : 2 = 4 : 2 = 2 cm.
  4. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  5. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  6. este perpendiculară pe segment în mijlocul lui — Mediatoarea = perpendiculara pe segment în mijlocul lui.
  7. 13 cm — Punctul E este mijlocul bazei [KY], deci KE = KY : 2 = 26 : 2 = 13 cm.
  8. 8 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: QL = QX = 8 cm.
  9. 10 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: MN = MK = 10 cm.
  10. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  11. 3 cm — Punctul X este mijlocul bazei [TV], deci TX = TV : 2 = 6 : 2 = 3 cm.
  12. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  13. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  14. 7 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: FU = FX = 7 cm.
  15. 4 cm — Mijlocul împarte segmentul în două părți egale: YN = YG : 2 = 8 : 2 = 4 cm.
  16. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  17. 22 cm — T este mijlocul, deci TP = ET = 11 cm. Atunci EP = ET + TP = 11 + 11 = 22 cm (sau 2 · 11 = 22 cm).
  18. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  19. 2 cm — Mijlocul împarte segmentul în două părți egale: FD = FG : 2 = 4 : 2 = 2 cm.
  20. 3 cm — Punctul F este mijlocul bazei [VM], deci VF = VM : 2 = 6 : 2 = 3 cm.
  21. 3 cm — Punctul H este mijlocul bazei [EY], deci EH = EY : 2 = 6 : 2 = 3 cm.
  22. 22 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: YC = YS = 22 cm.
  23. 9 cm — Mijlocul împarte segmentul în două părți egale: AF = AR : 2 = 18 : 2 = 9 cm.
  24. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  25. 3 cm — Punctul G este mijlocul bazei [PR], deci PG = PR : 2 = 6 : 2 = 3 cm.
  26. 12 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: PF = PT = 12 cm.
  27. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  28. 12 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: SC = ST = 12 cm.
  29. 16 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: SE = SU = 16 cm.
  30. 17 cm — Mijlocul împarte segmentul în două părți egale: QG = QB : 2 = 34 : 2 = 17 cm.
  31. 24 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: ZK = ZR = 24 cm.
  32. 17 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: YQ = YF = 17 cm.
  33. 1 — Mediatoarea este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului: există una singură.
  34. 52 cm — M este mijlocul, deci MN = KM = 26 cm. Atunci KN = KM + MN = 26 + 26 = 52 cm (sau 2 · 26 = 52 cm).
  35. 1 cm — Punctul Y este mijlocul bazei [AU], deci AY = AU : 2 = 2 : 2 = 1 cm.
  36. 25 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: LQ = LD = 25 cm.
  37. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  38. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  39. 10 cm — Punctul P este mijlocul bazei [RQ], deci RP = RQ : 2 = 20 : 2 = 10 cm.
  40. 25 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: PL = PH = 25 cm.
  41. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  42. 6 cm — Mijlocul împarte segmentul în două părți egale: CE = CG : 2 = 12 : 2 = 6 cm.
  43. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  44. 10 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: QE = QV = 10 cm.
  45. 52 cm — T este mijlocul, deci TN = BT = 26 cm. Atunci BN = BT + TN = 26 + 26 = 52 cm (sau 2 · 26 = 52 cm).
  46. 7 cm — Punctul Y este mijlocul bazei [AT], deci AY = AT : 2 = 14 : 2 = 7 cm.
  47. 90° — Mediatoarea este perpendiculară pe segment în mijlocul lui, deci formează cu segmentul un unghi drept: 90°.
  48. 24 cm — Mijlocul împarte segmentul în două părți egale: EA = EX : 2 = 48 : 2 = 24 cm.
  49. 14 cm — Punctul N este mijlocul bazei [XY], deci XN = XY : 2 = 28 : 2 = 14 cm.
  50. 17 cm — Orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului: KC = KQ = 17 cm.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Mediatoarele laturilor triunghiului CNG se intersectează în punctul O și OC = 18 cm. Cât este ON?ABCO
  2. Mediatoarele laturilor triunghiului PGH se intersectează în punctul O și OP = 16 cm. Cât este OG?ABCO
  3. Punctul X se află pe mediatoarea segmentului [PR], cu XP = (3x + 5) cm și XR = (2x + 20) cm. Cât este XP?XPRUm
  4. Triunghiul HET este isoscel, cu HE = HT = 18 cm și ET = 12 cm. Care este perimetrul lui?HETB
  5. Punctul V se află pe mediatoarea segmentului [DG], cu VD = 5 cm și DG = 6 cm. Care este perimetrul triunghiului VDG?VDGXm
  6. Mediatoarele laturilor triunghiului CDM se intersectează în punctul O și OC = 13 cm. Cât este OD?ABCO
  7. Punctul T se află pe mediatoarea segmentului [GP], cu TG = 14 cm și GP = 4 cm. Care este perimetrul triunghiului TGP?TGPQm
  8. Punctul A se află pe mediatoarea segmentului [TR], cu AT = 19 cm și TR = 6 cm. Care este perimetrul triunghiului ATR?ATRLm
  9. Mediatoarele laturilor triunghiului EVD se intersectează în punctul O și OE = 15 cm. Cât este OV?ABCO
  10. C este mijlocul segmentului [UD], iar UC = (2x + 6) cm și CD = (x + 14) cm. Cât este x?UDCm
  11. Pentru un punct M se știe că MV = 6 cm și MA = 20 cm. Se află M pe mediatoarea segmentului [VA]?
  12. Punctul U se află pe mediatoarea segmentului [MX], cu UM = (3x + 8) cm și UX = (x + 20) cm. Cât este UM?UMXLm
  13. Mediatoarele laturilor triunghiului VSC se intersectează în punctul O și OV = 17 cm. Cât este OS?ABCO
  14. A este mijlocul segmentului [KU], iar KA = (4x + 8) cm și AU = (3x + 23) cm. Cât este x?KUAm
  15. Triunghiul FZE este isoscel, cu FZ = FE = 6 cm și ZE = 4 cm. Care este perimetrul lui?FZES
  16. Pentru un punct X se știe că XG = 13 cm și XT = 6 cm. Se află X pe mediatoarea segmentului [GT]?
  17. Mediatoarele laturilor triunghiului EVT se intersectează în punctul O și OE = 20 cm. Cât este OV?ABCO
  18. Pentru un punct B se știe că BC = 6 cm și BP = 11 cm. Se află B pe mediatoarea segmentului [CP]?
  19. Punctul Q se află pe mediatoarea segmentului [LP], cu QL = (3x + 9) cm și QP = (2x + 12) cm. Cât este QL?QLPRm
  20. Punctul K se află pe mediatoarea segmentului [DA], cu KD = (3x + 4) cm și KA = (2x + 19) cm. Cât este KD?KDACm
  21. Triunghiul CEA este isoscel, cu CE = CA = 19 cm și EA = 22 cm. Care este perimetrul lui?CEAL
  22. Mediatoarele laturilor triunghiului QZT se intersectează în punctul O și OQ = 4 cm. Cât este OZ?ABCO
  23. Punctul T se află pe mediatoarea segmentului [UF], cu TU = (6x + 9) cm și TF = (4x + 33) cm. Cât este TU?TUFEm
  24. C este mijlocul segmentului [HS], iar HC = (2x + 3) cm și CS = (x + 14) cm. Cât este x?HSCm
  25. Pentru un punct S se știe că SD = 22 cm și SB = 22 cm. Ce se poate afirma despre S?
  26. Pentru un punct D se știe că DX = 20 cm și DG = 17 cm. Se află D pe mediatoarea segmentului [XG]?
  27. Punctul Z se află pe mediatoarea segmentului [KU], cu ZK = 6 cm și KU = 2 cm. Care este perimetrul triunghiului ZKU?ZKUBm
  28. D este mijlocul segmentului [MA], iar MD = (3x + 6) cm și DA = (2x + 11) cm. Cât este x?MADm
  29. Punctul X se află pe mediatoarea segmentului [ZQ], cu XZ = 4 cm și ZQ = 2 cm. Care este perimetrul triunghiului XZQ?XZQDm
  30. Pentru un punct C se știe că CG = 10 cm și CT = 10 cm. Ce se poate afirma despre C?
  31. E este mijlocul segmentului [AT], iar AE = (4x + 5) cm și ET = (x + 50) cm. Cât este x?ATEm
  32. V este mijlocul segmentului [EZ], iar EV = (4x + 2) cm și VZ = (3x + 9) cm. Cât este x?EZVm
  33. Punctul Z se află pe mediatoarea segmentului [BR], cu ZB = 13 cm și BR = 18 cm. Care este perimetrul triunghiului ZBR?ZBRUm
  34. Punctul Y se află pe mediatoarea segmentului [UQ], cu YU = (2x + 7) cm și YQ = (x + 15) cm. Cât este YU?YUQZm
  35. Triunghiul LRT este isoscel, cu LR = LT = 23 cm și RT = 8 cm. Care este perimetrul lui?LRTG
  36. Mediatoarele laturilor triunghiului MHR se intersectează în punctul O și OM = 18 cm. Cât este OH?ABCO
  37. X este mijlocul segmentului [NF], iar NX = (2x + 2) cm și XF = (x + 6) cm. Cât este x?NFXm
  38. Pentru un punct D se știe că DM = 14 cm și DP = 10 cm. Se află D pe mediatoarea segmentului [MP]?
  39. Mediatoarele laturilor triunghiului TBD se intersectează în punctul O și OT = 13 cm. Cât este OB?ABCO
  40. Pentru un punct B se știe că BM = 19 cm și BZ = 19 cm. Ce se poate afirma despre B?
  41. Punctul Y se află pe mediatoarea segmentului [NQ], cu YN = 9 cm și NQ = 6 cm. Care este perimetrul triunghiului YNQ?YNQCm
  42. Pentru un punct Q se știe că QF = 19 cm și QX = 17 cm. Se află Q pe mediatoarea segmentului [FX]?
  43. Pentru un punct L se știe că LG = 8 cm și LM = 8 cm. Ce se poate afirma despre L?
  44. Mediatoarele laturilor triunghiului DYH se intersectează în punctul O și OD = 8 cm. Cât este OY?ABCO
  45. Pentru un punct X se știe că XB = 6 cm și XY = 19 cm. Se află X pe mediatoarea segmentului [BY]?
  46. Pentru un punct F se știe că FK = 8 cm și FH = 14 cm. Se află F pe mediatoarea segmentului [KH]?
  47. Punctul S se află pe mediatoarea segmentului [ZB], cu SZ = (4x + 1) cm și SB = (x + 46) cm. Cât este SZ?SZBCm
  48. Mediatoarele laturilor triunghiului RTK se intersectează în punctul O și OR = 4 cm. Cât este OT?ABCO
  49. Mediatoarele laturilor triunghiului RLE se intersectează în punctul O și OR = 12 cm. Cât este OL?ABCO
  50. Mijlocul unui segment [AB] aparține mediatoarei acestuia?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 18 cm — O este pe mediatoarea lui [CN], deci OC = ON = 18 cm. (Și pe mediatoarea lui [NG], deci ON = OG: cele trei segmente sunt egale.)
  2. 16 cm — O este pe mediatoarea lui [PG], deci OP = OG = 16 cm. (Și pe mediatoarea lui [GH], deci OG = OH: cele trei segmente sunt egale.)
  3. 50 cm — X este pe mediatoare, deci XP = XR: 3x + 5 = 2x + 20, de unde x = 15. Atunci XP = 3·15 + 5 = 50 cm.
  4. 48 cm — Metoda 1: perimetrul = HE + HT + ET = 18 + 18 + 12 = 48 cm.
    Metoda 2: 2 · 18 + 12 = 48 cm (două laturi egale și baza).
  5. 16 cm — VG = VD = 5 cm (punctul este pe mediatoare). Perimetrul este VD + VG + DG = 5 + 5 + 6 = 16 cm.
  6. 13 cm — O este pe mediatoarea lui [CD], deci OC = OD = 13 cm. (Și pe mediatoarea lui [DM], deci OD = OM: cele trei segmente sunt egale.)
  7. 32 cm — TP = TG = 14 cm (punctul este pe mediatoare). Perimetrul este TG + TP + GP = 14 + 14 + 4 = 32 cm.
  8. 44 cm — AR = AT = 19 cm (punctul este pe mediatoare). Perimetrul este AT + AR + TR = 19 + 19 + 6 = 44 cm.
  9. 15 cm — O este pe mediatoarea lui [EV], deci OE = OV = 15 cm. (Și pe mediatoarea lui [VD], deci OV = OD: cele trei segmente sunt egale.)
  10. 8 — Cum C este mijlocul, UC = CD: 2x + 6 = x + 14, deci x = 8. Verificare: UC = 22 cm = CD.
  11. Nu, deoarece MV ≠ MA — Mediatoarea conține exact punctele egal depărtate de capetele segmentului. Aici MV = 6 cm ≠ 20 cm = MA, deci M nu este pe mediatoare.
  12. 26 cm — U este pe mediatoare, deci UM = UX: 3x + 8 = x + 20, de unde 2x = 12, deci x = 6. Atunci UM = 3·6 + 8 = 26 cm.
  13. 17 cm — O este pe mediatoarea lui [VS], deci OV = OS = 17 cm. (Și pe mediatoarea lui [SC], deci OS = OC: cele trei segmente sunt egale.)
  14. 15 — Cum A este mijlocul, KA = AU: 4x + 8 = 3x + 23, deci x = 15. Verificare: KA = 68 cm = AU.
  15. 16 cm — Metoda 1: perimetrul = FZ + FE + ZE = 6 + 6 + 4 = 16 cm.
    Metoda 2: 2 · 6 + 4 = 16 cm (două laturi egale și baza).
  16. Nu, deoarece XG ≠ XT — Mediatoarea conține exact punctele egal depărtate de capetele segmentului. Aici XG = 13 cm ≠ 6 cm = XT, deci X nu este pe mediatoare.
  17. 20 cm — O este pe mediatoarea lui [EV], deci OE = OV = 20 cm. (Și pe mediatoarea lui [VT], deci OV = OT: cele trei segmente sunt egale.)
  18. Nu, deoarece BC ≠ BP — Mediatoarea conține exact punctele egal depărtate de capetele segmentului. Aici BC = 6 cm ≠ 11 cm = BP, deci B nu este pe mediatoare.
  19. 18 cm — Q este pe mediatoare, deci QL = QP: 3x + 9 = 2x + 12, de unde x = 3. Atunci QL = 3·3 + 9 = 18 cm.
  20. 49 cm — K este pe mediatoare, deci KD = KA: 3x + 4 = 2x + 19, de unde x = 15. Atunci KD = 3·15 + 4 = 49 cm.
  21. 60 cm — Metoda 1: perimetrul = CE + CA + EA = 19 + 19 + 22 = 60 cm.
    Metoda 2: 2 · 19 + 22 = 60 cm (două laturi egale și baza).
  22. 4 cm — O este pe mediatoarea lui [QZ], deci OQ = OZ = 4 cm. (Și pe mediatoarea lui [ZT], deci OZ = OT: cele trei segmente sunt egale.)
  23. 81 cm — T este pe mediatoare, deci TU = TF: 6x + 9 = 4x + 33, de unde 2x = 24, deci x = 12. Atunci TU = 6·12 + 9 = 81 cm.
  24. 11 — Cum C este mijlocul, HC = CS: 2x + 3 = x + 14, deci x = 11. Verificare: HC = 25 cm = CS.
  25. S se află pe mediatoarea segmentului [DB] — Un punct egal depărtat de capetele unui segment se află pe mediatoarea segmentului. (Nu este neapărat mijlocul lui: S poate fi oriunde pe mediatoare.)
  26. Nu, deoarece DX ≠ DG — Mediatoarea conține exact punctele egal depărtate de capetele segmentului. Aici DX = 20 cm ≠ 17 cm = DG, deci D nu este pe mediatoare.
  27. 14 cm — ZU = ZK = 6 cm (punctul este pe mediatoare). Perimetrul este ZK + ZU + KU = 6 + 6 + 2 = 14 cm.
  28. 5 — Cum D este mijlocul, MD = DA: 3x + 6 = 2x + 11, deci x = 5. Verificare: MD = 21 cm = DA.
  29. 10 cm — XQ = XZ = 4 cm (punctul este pe mediatoare). Perimetrul este XZ + XQ + ZQ = 4 + 4 + 2 = 10 cm.
  30. C se află pe mediatoarea segmentului [GT] — Un punct egal depărtat de capetele unui segment se află pe mediatoarea segmentului. (Nu este neapărat mijlocul lui: C poate fi oriunde pe mediatoare.)
  31. 15 — Cum E este mijlocul, AE = ET: 4x + 5 = x + 50, deci 3x = 45, deci x = 15. Verificare: AE = 65 cm = ET.
  32. 7 — Cum V este mijlocul, EV = VZ: 4x + 2 = 3x + 9, deci x = 7. Verificare: EV = 30 cm = VZ.
  33. 44 cm — ZR = ZB = 13 cm (punctul este pe mediatoare). Perimetrul este ZB + ZR + BR = 13 + 13 + 18 = 44 cm.
  34. 23 cm — Y este pe mediatoare, deci YU = YQ: 2x + 7 = x + 15, de unde x = 8. Atunci YU = 2·8 + 7 = 23 cm.
  35. 54 cm — Metoda 1: perimetrul = LR + LT + RT = 23 + 23 + 8 = 54 cm.
    Metoda 2: 2 · 23 + 8 = 54 cm (două laturi egale și baza).
  36. 18 cm — O este pe mediatoarea lui [MH], deci OM = OH = 18 cm. (Și pe mediatoarea lui [HR], deci OH = OR: cele trei segmente sunt egale.)
  37. 4 — Cum X este mijlocul, NX = XF: 2x + 2 = x + 6, deci x = 4. Verificare: NX = 10 cm = XF.
  38. Nu, deoarece DM ≠ DP — Mediatoarea conține exact punctele egal depărtate de capetele segmentului. Aici DM = 14 cm ≠ 10 cm = DP, deci D nu este pe mediatoare.
  39. 13 cm — O este pe mediatoarea lui [TB], deci OT = OB = 13 cm. (Și pe mediatoarea lui [BD], deci OB = OD: cele trei segmente sunt egale.)
  40. B se află pe mediatoarea segmentului [MZ] — Un punct egal depărtat de capetele unui segment se află pe mediatoarea segmentului. (Nu este neapărat mijlocul lui: B poate fi oriunde pe mediatoare.)
  41. 24 cm — YQ = YN = 9 cm (punctul este pe mediatoare). Perimetrul este YN + YQ + NQ = 9 + 9 + 6 = 24 cm.
  42. Nu, deoarece QF ≠ QX — Mediatoarea conține exact punctele egal depărtate de capetele segmentului. Aici QF = 19 cm ≠ 17 cm = QX, deci Q nu este pe mediatoare.
  43. L se află pe mediatoarea segmentului [GM] — Un punct egal depărtat de capetele unui segment se află pe mediatoarea segmentului. (Nu este neapărat mijlocul lui: L poate fi oriunde pe mediatoare.)
  44. 8 cm — O este pe mediatoarea lui [DY], deci OD = OY = 8 cm. (Și pe mediatoarea lui [YH], deci OY = OH: cele trei segmente sunt egale.)
  45. Nu, deoarece XB ≠ XY — Mediatoarea conține exact punctele egal depărtate de capetele segmentului. Aici XB = 6 cm ≠ 19 cm = XY, deci X nu este pe mediatoare.
  46. Nu, deoarece FK ≠ FH — Mediatoarea conține exact punctele egal depărtate de capetele segmentului. Aici FK = 8 cm ≠ 14 cm = FH, deci F nu este pe mediatoare.
  47. 61 cm — S este pe mediatoare, deci SZ = SB: 4x + 1 = x + 46, de unde 3x = 45, deci x = 15. Atunci SZ = 4·15 + 1 = 61 cm.
  48. 4 cm — O este pe mediatoarea lui [RT], deci OR = OT = 4 cm. (Și pe mediatoarea lui [TK], deci OT = OK: cele trei segmente sunt egale.)
  49. 12 cm — O este pe mediatoarea lui [RL], deci OR = OL = 12 cm. (Și pe mediatoarea lui [LE], deci OL = OE: cele trei segmente sunt egale.)
  50. Da — Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, prin definiție.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Q este mijlocul segmentului [KG], iar KQ = (3x + 5) cm și QG = (x + 35) cm. Cât este KG?KGQm
  2. Punctul F se află pe mediatoarea segmentului [ME], cu FM = (2x + 8) cm și FE = (x + 16) cm. Cât este FM?FMEYm
  3. M este mijlocul segmentului [EU], iar EM = (5x + 6) cm și MU = (2x + 27) cm. Cât este EU?EUMm
  4. Punctul F se află pe mediatoarea segmentului [ZS], cu FZ = (4x + 4) cm și FS = (x + 40) cm. Cât este FZ?FZSYm
  5. Punctul H se află pe mediatoarea segmentului [EC], cu HE = (5x + 1) cm și HC = (2x + 43) cm. Cât este HE?HECNm
  6. Punctul P se află pe mediatoarea segmentului [RE], cu PR = (6x + 2) cm și PE = (5x + 15) cm. Cât este PR?PREKm
  7. Punctul E se află pe mediatoarea segmentului [GS], cu EG = (3x + 5) cm și ES = (x + 27) cm. Cât este EG?EGSQm
  8. Z este mijlocul segmentului [FE], iar FZ = (3x + 8) cm și ZE = (2x + 18) cm. Cât este FE?FEZm
  9. Punctul R se află pe mediatoarea segmentului [NC], cu RN = (3x + 3) cm și RC = (x + 13) cm. Cât este RN?RNCSm
  10. Punctul C este pe mediatoarea segmentului [ZK], ZK = 2 cm, iar triunghiul CZK are perimetrul 38 cm. Cât este CZ?CZKYm
  11. Punctul P se află pe mediatoarea segmentului [NS], cu PN = (2x + 4) cm și PS = (x + 9) cm. Cât este PN?PNSVm
  12. A este mijlocul segmentului [HM], iar HA = (3x + 5) cm și AM = (2x + 19) cm. Cât este HM?HMAm
  13. P este mijlocul segmentului [RM], iar RP = (4x + 9) cm și PM = (2x + 19) cm. Cât este RM?RMPm
  14. Punctul L se află pe mediatoarea segmentului [MG], cu LM = (2x + 9) cm și LG = (x + 21) cm. Cât este LM?LMGPm
  15. M este mijlocul segmentului [AP], iar AM = (5x + 4) cm și MP = (4x + 8) cm. Cât este AP?APMm
  16. Punctul B este pe mediatoarea segmentului [FP], FP = 12 cm, iar triunghiul BFP are perimetrul 26 cm. Cât este BF?BFPCm
  17. F este mijlocul segmentului [QG], iar QF = (4x + 7) cm și FG = (x + 13) cm. Cât este QG?QGFm
  18. T este mijlocul segmentului [CX], iar CT = (4x + 1) cm și TX = (x + 7) cm. Cât este CX?CXTm
  19. N este mijlocul segmentului [ZP], iar ZN = (4x + 8) cm și NP = (2x + 14) cm. Cât este ZP?ZPNm
  20. Punctul R este pe mediatoarea segmentului [GF], GF = 2 cm, iar triunghiul RGF are perimetrul 18 cm. Cât este RG?RGFCm
  21. Mediatoarele laturilor triunghiului FRA se intersectează în punctul O și OF = 7 cm. Cât este suma OF + OR + OA?ABCO
  22. Mediatoarele laturilor triunghiului UNH se intersectează în punctul O și OU = 19 cm. Cât este suma OU + ON + OH?ABCO
  23. Mediatoarele laturilor triunghiului HEM se intersectează în punctul O și OH = 7 cm. Cât este suma OH + OE + OM?ABCO
  24. L este mijlocul segmentului [MH], iar ML = (5x + 5) cm și LH = (2x + 44) cm. Cât este MH?MHLm
  25. Punctul A se află pe mediatoarea segmentului [GY], cu AG = (6x + 7) cm și AY = (2x + 39) cm. Cât este AG?AGYLm
  26. X este mijlocul segmentului [NH], iar NX = (2x + 3) cm și XH = (x + 18) cm. Cât este NH?NHXm
  27. V este mijlocul segmentului [XF], iar XV = (3x + 1) cm și VF = (2x + 14) cm. Cât este XF?XFVm
  28. Mediatoarele laturilor triunghiului NXV se intersectează în punctul O și ON = 3 cm. Cât este suma ON + OX + OV?ABCO
  29. Mediatoarele laturilor triunghiului NSZ se intersectează în punctul O și ON = 6 cm. Cât este suma ON + OS + OZ?ABCO
  30. Punctul X este pe mediatoarea segmentului [GN], GN = 8 cm, iar triunghiul XGN are perimetrul 46 cm. Cât este XG?XGNRm
  31. L este mijlocul segmentului [DX], iar DL = (6x + 7) cm și LX = (5x + 15) cm. Cât este DX?DXLm
  32. Mediatoarele laturilor triunghiului RCX se intersectează în punctul O și OR = 20 cm. Cât este suma OR + OC + OX?ABCO
  33. Punctul M este pe mediatoarea segmentului [NZ], NZ = 14 cm, iar triunghiul MNZ are perimetrul 50 cm. Cât este MN?MNZYm
  34. Punctul Y se află pe mediatoarea segmentului [KD], cu YK = (4x + 2) cm și YD = (3x + 11) cm. Cât este YK?YKDNm
  35. B este mijlocul segmentului [VL], iar VB = (4x + 3) cm și BL = (3x + 14) cm. Cât este VL?VLBm
  36. Mediatoarele laturilor triunghiului HVT se intersectează în punctul O și OH = 4 cm. Cât este suma OH + OV + OT?ABCO
  37. Punctul X se află pe mediatoarea segmentului [RA], cu XR = (2x + 1) cm și XA = (x + 14) cm. Cât este XR?XRAQm
  38. Punctul M se află pe mediatoarea segmentului [KD], cu MK = (6x + 8) cm și MD = (2x + 48) cm. Cât este MK?MKDRm
  39. Punctul A este pe mediatoarea segmentului [KL], KL = 2 cm, iar triunghiul AKL are perimetrul 26 cm. Cât este AK?AKLEm
  40. Mediatoarele laturilor triunghiului VUT se intersectează în punctul O și OV = 14 cm. Cât este suma OV + OU + OT?ABCO
  41. Y este mijlocul segmentului [DL], iar DY = (6x + 2) cm și YL = (3x + 38) cm. Cât este DL?DLYm
  42. Punctul F este pe mediatoarea segmentului [VR], VR = 2 cm, iar triunghiul FVR are perimetrul 10 cm. Cât este FV?FVRPm
  43. Punctul K este pe mediatoarea segmentului [TZ], TZ = 14 cm, iar triunghiul KTZ are perimetrul 38 cm. Cât este KT?KTZNm
  44. Mediatoarele laturilor triunghiului PGN se intersectează în punctul O și OP = 20 cm. Cât este suma OP + OG + ON?ABCO
  45. Y este mijlocul segmentului [DC], iar DY = (2x + 3) cm și YC = (x + 16) cm. Cât este DC?DCYm
  46. Punctul N se află pe mediatoarea segmentului [RT], cu NR = (5x + 6) cm și NT = (4x + 19) cm. Cât este NR?NRTSm
  47. C este mijlocul segmentului [XA], iar XC = (2x + 8) cm și CA = (x + 21) cm. Cât este XA?XACm
  48. Q este mijlocul segmentului [ZG], iar ZQ = (4x + 3) cm și QG = (x + 33) cm. Cât este ZG?ZGQm
  49. Punctul Q este pe mediatoarea segmentului [KG], KG = 8 cm, iar triunghiul QKG are perimetrul 26 cm. Cât este QK?QKGBm
  50. Punctul N este pe mediatoarea segmentului [QV], QV = 4 cm, iar triunghiul NQV are perimetrul 38 cm. Cât este NQ?NQVCm
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 100 cm — Cum Q este mijlocul, KQ = QG: 3x + 5 = x + 35, deci 2x = 30, deci x = 15. Atunci KQ = 3·15 + 5 = 50 cm.
    Metoda 1: KG = 2 · KQ = 100 cm.
    Metoda 2: KG = KQ + QG = 50 + 50 = 100 cm.
  2. 24 cm — F este pe mediatoare, deci FM = FE: 2x + 8 = x + 16, de unde x = 8. Atunci FM = 2·8 + 8 = 24 cm.
  3. 82 cm — Cum M este mijlocul, EM = MU: 5x + 6 = 2x + 27, deci 3x = 21, deci x = 7. Atunci EM = 5·7 + 6 = 41 cm.
    Metoda 1: EU = 2 · EM = 82 cm.
    Metoda 2: EU = EM + MU = 41 + 41 = 82 cm.
  4. 52 cm — F este pe mediatoare, deci FZ = FS: 4x + 4 = x + 40, de unde 3x = 36, deci x = 12. Atunci FZ = 4·12 + 4 = 52 cm.
  5. 71 cm — H este pe mediatoare, deci HE = HC: 5x + 1 = 2x + 43, de unde 3x = 42, deci x = 14. Atunci HE = 5·14 + 1 = 71 cm.
  6. 80 cm — P este pe mediatoare, deci PR = PE: 6x + 2 = 5x + 15, de unde x = 13. Atunci PR = 6·13 + 2 = 80 cm.
  7. 38 cm — E este pe mediatoare, deci EG = ES: 3x + 5 = x + 27, de unde 2x = 22, deci x = 11. Atunci EG = 3·11 + 5 = 38 cm.
  8. 76 cm — Cum Z este mijlocul, FZ = ZE: 3x + 8 = 2x + 18, deci x = 10. Atunci FZ = 3·10 + 8 = 38 cm.
    Metoda 1: FE = 2 · FZ = 76 cm.
    Metoda 2: FE = FZ + ZE = 38 + 38 = 76 cm.
  9. 18 cm — R este pe mediatoare, deci RN = RC: 3x + 3 = x + 13, de unde 2x = 10, deci x = 5. Atunci RN = 3·5 + 3 = 18 cm.
  10. 18 cm — CZ = CK (punctul este pe mediatoare). Din CZ + CK + ZK = 38 obținem 2 · CZ = 38 − 2 = 36, deci CZ = 36 : 2 = 18 cm.
    Verificare: 18 + 18 + 2 = 38.
  11. 14 cm — P este pe mediatoare, deci PN = PS: 2x + 4 = x + 9, de unde x = 5. Atunci PN = 2·5 + 4 = 14 cm.
  12. 94 cm — Cum A este mijlocul, HA = AM: 3x + 5 = 2x + 19, deci x = 14. Atunci HA = 3·14 + 5 = 47 cm.
    Metoda 1: HM = 2 · HA = 94 cm.
    Metoda 2: HM = HA + AM = 47 + 47 = 94 cm.
  13. 58 cm — Cum P este mijlocul, RP = PM: 4x + 9 = 2x + 19, deci 2x = 10, deci x = 5. Atunci RP = 4·5 + 9 = 29 cm.
    Metoda 1: RM = 2 · RP = 58 cm.
    Metoda 2: RM = RP + PM = 29 + 29 = 58 cm.
  14. 33 cm — L este pe mediatoare, deci LM = LG: 2x + 9 = x + 21, de unde x = 12. Atunci LM = 2·12 + 9 = 33 cm.
  15. 48 cm — Cum M este mijlocul, AM = MP: 5x + 4 = 4x + 8, deci x = 4. Atunci AM = 5·4 + 4 = 24 cm.
    Metoda 1: AP = 2 · AM = 48 cm.
    Metoda 2: AP = AM + MP = 24 + 24 = 48 cm.
  16. 7 cm — BF = BP (punctul este pe mediatoare). Din BF + BP + FP = 26 obținem 2 · BF = 26 − 12 = 14, deci BF = 14 : 2 = 7 cm.
    Verificare: 7 + 7 + 12 = 26.
  17. 30 cm — Cum F este mijlocul, QF = FG: 4x + 7 = x + 13, deci 3x = 6, deci x = 2. Atunci QF = 4·2 + 7 = 15 cm.
    Metoda 1: QG = 2 · QF = 30 cm.
    Metoda 2: QG = QF + FG = 15 + 15 = 30 cm.
  18. 18 cm — Cum T este mijlocul, CT = TX: 4x + 1 = x + 7, deci 3x = 6, deci x = 2. Atunci CT = 4·2 + 1 = 9 cm.
    Metoda 1: CX = 2 · CT = 18 cm.
    Metoda 2: CX = CT + TX = 9 + 9 = 18 cm.
  19. 40 cm — Cum N este mijlocul, ZN = NP: 4x + 8 = 2x + 14, deci 2x = 6, deci x = 3. Atunci ZN = 4·3 + 8 = 20 cm.
    Metoda 1: ZP = 2 · ZN = 40 cm.
    Metoda 2: ZP = ZN + NP = 20 + 20 = 40 cm.
  20. 8 cm — RG = RF (punctul este pe mediatoare). Din RG + RF + GF = 18 obținem 2 · RG = 18 − 2 = 16, deci RG = 16 : 2 = 8 cm.
    Verificare: 8 + 8 + 2 = 18.
  21. 21 cm — O este egal depărtat de vârfuri: OF = OR = OA = 7 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 7 + 7 + 7 = 21 cm.
  22. 57 cm — O este egal depărtat de vârfuri: OU = ON = OH = 19 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 19 + 19 + 19 = 57 cm.
  23. 21 cm — O este egal depărtat de vârfuri: OH = OE = OM = 7 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 7 + 7 + 7 = 21 cm.
  24. 140 cm — Cum L este mijlocul, ML = LH: 5x + 5 = 2x + 44, deci 3x = 39, deci x = 13. Atunci ML = 5·13 + 5 = 70 cm.
    Metoda 1: MH = 2 · ML = 140 cm.
    Metoda 2: MH = ML + LH = 70 + 70 = 140 cm.
  25. 55 cm — A este pe mediatoare, deci AG = AY: 6x + 7 = 2x + 39, de unde 4x = 32, deci x = 8. Atunci AG = 6·8 + 7 = 55 cm.
  26. 66 cm — Cum X este mijlocul, NX = XH: 2x + 3 = x + 18, deci x = 15. Atunci NX = 2·15 + 3 = 33 cm.
    Metoda 1: NH = 2 · NX = 66 cm.
    Metoda 2: NH = NX + XH = 33 + 33 = 66 cm.
  27. 80 cm — Cum V este mijlocul, XV = VF: 3x + 1 = 2x + 14, deci x = 13. Atunci XV = 3·13 + 1 = 40 cm.
    Metoda 1: XF = 2 · XV = 80 cm.
    Metoda 2: XF = XV + VF = 40 + 40 = 80 cm.
  28. 9 cm — O este egal depărtat de vârfuri: ON = OX = OV = 3 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 3 + 3 + 3 = 9 cm.
  29. 18 cm — O este egal depărtat de vârfuri: ON = OS = OZ = 6 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 6 + 6 + 6 = 18 cm.
  30. 19 cm — XG = XN (punctul este pe mediatoare). Din XG + XN + GN = 46 obținem 2 · XG = 46 − 8 = 38, deci XG = 38 : 2 = 19 cm.
    Verificare: 19 + 19 + 8 = 46.
  31. 110 cm — Cum L este mijlocul, DL = LX: 6x + 7 = 5x + 15, deci x = 8. Atunci DL = 6·8 + 7 = 55 cm.
    Metoda 1: DX = 2 · DL = 110 cm.
    Metoda 2: DX = DL + LX = 55 + 55 = 110 cm.
  32. 60 cm — O este egal depărtat de vârfuri: OR = OC = OX = 20 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 20 + 20 + 20 = 60 cm.
  33. 18 cm — MN = MZ (punctul este pe mediatoare). Din MN + MZ + NZ = 50 obținem 2 · MN = 50 − 14 = 36, deci MN = 36 : 2 = 18 cm.
    Verificare: 18 + 18 + 14 = 50.
  34. 38 cm — Y este pe mediatoare, deci YK = YD: 4x + 2 = 3x + 11, de unde x = 9. Atunci YK = 4·9 + 2 = 38 cm.
  35. 94 cm — Cum B este mijlocul, VB = BL: 4x + 3 = 3x + 14, deci x = 11. Atunci VB = 4·11 + 3 = 47 cm.
    Metoda 1: VL = 2 · VB = 94 cm.
    Metoda 2: VL = VB + BL = 47 + 47 = 94 cm.
  36. 12 cm — O este egal depărtat de vârfuri: OH = OV = OT = 4 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 4 + 4 + 4 = 12 cm.
  37. 27 cm — X este pe mediatoare, deci XR = XA: 2x + 1 = x + 14, de unde x = 13. Atunci XR = 2·13 + 1 = 27 cm.
  38. 68 cm — M este pe mediatoare, deci MK = MD: 6x + 8 = 2x + 48, de unde 4x = 40, deci x = 10. Atunci MK = 6·10 + 8 = 68 cm.
  39. 12 cm — AK = AL (punctul este pe mediatoare). Din AK + AL + KL = 26 obținem 2 · AK = 26 − 2 = 24, deci AK = 24 : 2 = 12 cm.
    Verificare: 12 + 12 + 2 = 26.
  40. 42 cm — O este egal depărtat de vârfuri: OV = OU = OT = 14 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 14 + 14 + 14 = 42 cm.
  41. 148 cm — Cum Y este mijlocul, DY = YL: 6x + 2 = 3x + 38, deci 3x = 36, deci x = 12. Atunci DY = 6·12 + 2 = 74 cm.
    Metoda 1: DL = 2 · DY = 148 cm.
    Metoda 2: DL = DY + YL = 74 + 74 = 148 cm.
  42. 4 cm — FV = FR (punctul este pe mediatoare). Din FV + FR + VR = 10 obținem 2 · FV = 10 − 2 = 8, deci FV = 8 : 2 = 4 cm.
    Verificare: 4 + 4 + 2 = 10.
  43. 12 cm — KT = KZ (punctul este pe mediatoare). Din KT + KZ + TZ = 38 obținem 2 · KT = 38 − 14 = 24, deci KT = 24 : 2 = 12 cm.
    Verificare: 12 + 12 + 14 = 38.
  44. 60 cm — O este egal depărtat de vârfuri: OP = OG = ON = 20 cm (este centrul cercului circumscris). Suma este 20 + 20 + 20 = 60 cm.
  45. 58 cm — Cum Y este mijlocul, DY = YC: 2x + 3 = x + 16, deci x = 13. Atunci DY = 2·13 + 3 = 29 cm.
    Metoda 1: DC = 2 · DY = 58 cm.
    Metoda 2: DC = DY + YC = 29 + 29 = 58 cm.
  46. 71 cm — N este pe mediatoare, deci NR = NT: 5x + 6 = 4x + 19, de unde x = 13. Atunci NR = 5·13 + 6 = 71 cm.
  47. 68 cm — Cum C este mijlocul, XC = CA: 2x + 8 = x + 21, deci x = 13. Atunci XC = 2·13 + 8 = 34 cm.
    Metoda 1: XA = 2 · XC = 68 cm.
    Metoda 2: XA = XC + CA = 34 + 34 = 68 cm.
  48. 86 cm — Cum Q este mijlocul, ZQ = QG: 4x + 3 = x + 33, deci 3x = 30, deci x = 10. Atunci ZQ = 4·10 + 3 = 43 cm.
    Metoda 1: ZG = 2 · ZQ = 86 cm.
    Metoda 2: ZG = ZQ + QG = 43 + 43 = 86 cm.
  49. 9 cm — QK = QG (punctul este pe mediatoare). Din QK + QG + KG = 26 obținem 2 · QK = 26 − 8 = 18, deci QK = 18 : 2 = 9 cm.
    Verificare: 9 + 9 + 8 = 26.
  50. 17 cm — NQ = NV (punctul este pe mediatoare). Din NQ + NV + QV = 38 obținem 2 · NQ = 38 − 4 = 34, deci NQ = 34 : 2 = 17 cm.
    Verificare: 17 + 17 + 4 = 38.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a