Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Proprietăți ale divizibilității în N

Proprietăți ale divizibilității în N

Reflexivitate, tranzitivitate, divizibilitatea sumei și a diferenței, a | b·c cu (a, b) = 1, aplicații.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Fie a, b, c numere naturale. Se folosesc următoarele proprietăți:

ProprietateaScriereExemplu
reflexivitatea | a7 | 7
tranzitivitatea | b și b | c ⇒ a | c3 | 12 și 12 | 60 ⇒ 3 | 60
suma și diferențaa | b și a | c ⇒ a | (b ± c)5 | 20 și 5 | 15 ⇒ 5 | 35 și 5 | 5
produsa | b ⇒ a | b · c4 | 8 ⇒ 4 | 8 · 7
numere prime între elea | b · c și (a, b) = 1 ⇒ a | c9 | 7n ⇒ 9 | n
doi divizori coprimia | n, b | n, (a, b) = 1 ⇒ a · b | n4 | n și 9 | n ⇒ 36 | n

Aplicații

Exemplul 1. Aflăm n ∈ N pentru care (n + 3) | 12. n + 3 este un divizor al lui 12, mai mare sau egal cu 3: 3, 4, 6, 12. Deci n ∈ {0, 1, 3, 9}.
Exemplul 2. Aflăm n ∈ N pentru care (n + 2) | (3n + 10). Scriem 3n + 10 = 3(n + 2) + 4. Cum (n + 2) | 3(n + 2), trebuie ca (n + 2) | 4, deci n + 2 ∈ {2, 4} și n ∈ {0, 2}.
Exemplul 3. Aflăm n pentru care (2n + 1) | 15. Divizorii lui 15 sunt 1, 3, 5, 15 (toți impari), iar 2n + 1 ia valorile 1, 3, 5, 15, deci n ∈ {0, 1, 2, 7}.
Exemplul 4. Suma a trei numere consecutive, n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1), se divide cu 3. Produsul n(n + 1) este întotdeauna par, pentru că unul dintre două numere consecutive este par.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Se știe că 3 | 9 și 9 | 27. Atunci:
    Variante: A) 3 | 27  ·  B) 27 | 3  ·  C) 9 | 3  ·  D) 3 + 9 = 27  ·  E) 3 · 9 = 27
  2. Se știe că 9 | 45 și 45 | 225. Atunci:
    Variante: A) 9 + 45 = 225  ·  B) 45 | 9  ·  C) 225 | 9  ·  D) 9 | 225  ·  E) 9 · 45 = 225
  3. Se știe că 6 | 12 și 12 | 36. Atunci:
    Variante: A) 6 + 12 = 36  ·  B) 12 | 6  ·  C) 6 · 12 = 36  ·  D) 36 | 6  ·  E) 6 | 36
  4. Se știe că 2 | 4 și 4 | 16. Atunci:
    Variante: A) 2 + 4 = 16  ·  B) 2 | 16  ·  C) 2 · 4 = 16  ·  D) 16 | 2  ·  E) 4 | 2
  5. Se știe că 5 | 15 și 15 | 75. Atunci:
    Variante: A) 15 | 5  ·  B) 5 + 15 = 75  ·  C) 5 | 75  ·  D) 75 | 5  ·  E) 5 · 15 = 75
  6. Produsul a două numere naturale consecutive, n · (n + 1), este întotdeauna:
    Variante: A) prim  ·  B) impar  ·  C) par  ·  D) multiplu de 3  ·  E) multiplu de 5
  7. Se știe că 4 | 20 și 20 | 100. Atunci:
    Variante: A) 4 + 20 = 100  ·  B) 4 · 20 = 100  ·  C) 20 | 4  ·  D) 4 | 100  ·  E) 100 | 4
  8. Se știe că 8 | 48 și 48 | 96. Atunci:
    Variante: A) 48 | 8  ·  B) 8 + 48 = 96  ·  C) 8 | 96  ·  D) 8 · 48 = 96  ·  E) 96 | 8
  9. Se știe că 4 | 24 și 24 | 96. Atunci:
    Variante: A) 24 | 4  ·  B) 4 + 24 = 96  ·  C) 4 | 96  ·  D) 4 · 24 = 96  ·  E) 96 | 4
  10. Se știe că 6 | 24 și 24 | 96. Atunci:
    Variante: A) 96 | 6  ·  B) 24 | 6  ·  C) 6 | 96  ·  D) 6 · 24 = 96  ·  E) 6 + 24 = 96
  11. Se știe că 2 | 12 și 12 | 36. Atunci:
    Variante: A) 2 | 36  ·  B) 2 + 12 = 36  ·  C) 12 | 2  ·  D) 2 · 12 = 36  ·  E) 36 | 2
  12. Se știe că 6 | 18 și 18 | 72. Atunci:
    Variante: A) 18 | 6  ·  B) 6 · 18 = 72  ·  C) 72 | 6  ·  D) 6 + 18 = 72  ·  E) 6 | 72
  13. Se știe că 6 | 18 și 18 | 54. Atunci:
    Variante: A) 18 | 6  ·  B) 6 · 18 = 54  ·  C) 6 | 54  ·  D) 6 + 18 = 54  ·  E) 54 | 6
  14. Se știe că 3 | 12 și 12 | 60. Atunci:
    Variante: A) 12 | 3  ·  B) 60 | 3  ·  C) 3 · 12 = 60  ·  D) 3 | 60  ·  E) 3 + 12 = 60
  15. Se știe că 7 | 42 și 42 | 168. Atunci:
    Variante: A) 7 · 42 = 168  ·  B) 42 | 7  ·  C) 168 | 7  ·  D) 7 + 42 = 168  ·  E) 7 | 168
  16. Se știe că 8 | 48 și 48 | 240. Atunci:
    Variante: A) 8 · 48 = 240  ·  B) 240 | 8  ·  C) 8 | 240  ·  D) 8 + 48 = 240  ·  E) 48 | 8
  17. Se știe că 6 | 30 și 30 | 60. Atunci:
    Variante: A) 6 + 30 = 60  ·  B) 6 · 30 = 60  ·  C) 6 | 60  ·  D) 60 | 6  ·  E) 30 | 6
  18. Se știe că 6 | 24 și 24 | 144. Atunci:
    Variante: A) 24 | 6  ·  B) 6 · 24 = 144  ·  C) 144 | 6  ·  D) 6 + 24 = 144  ·  E) 6 | 144
  19. Se știe că 9 | 54 și 54 | 216. Atunci:
    Variante: A) 9 | 216  ·  B) 9 + 54 = 216  ·  C) 216 | 9  ·  D) 54 | 9  ·  E) 9 · 54 = 216
  20. Se știe că 8 | 48 și 48 | 288. Atunci:
    Variante: A) 8 + 48 = 288  ·  B) 48 | 8  ·  C) 288 | 8  ·  D) 8 | 288  ·  E) 8 · 48 = 288
  21. Se știe că 8 | 16 și 16 | 32. Atunci:
    Variante: A) 16 | 8  ·  B) 8 + 16 = 32  ·  C) 8 | 32  ·  D) 8 · 16 = 32  ·  E) 32 | 8
  22. Se știe că 9 | 45 și 45 | 180. Atunci:
    Variante: A) 9 | 180  ·  B) 180 | 9  ·  C) 9 · 45 = 180  ·  D) 9 + 45 = 180  ·  E) 45 | 9
  23. Se știe că 2 | 12 și 12 | 48. Atunci:
    Variante: A) 12 | 2  ·  B) 2 | 48  ·  C) 48 | 2  ·  D) 2 + 12 = 48  ·  E) 2 · 12 = 48
  24. Se știe că 3 | 9 și 9 | 18. Atunci:
    Variante: A) 9 | 3  ·  B) 3 | 18  ·  C) 18 | 3  ·  D) 3 + 9 = 18  ·  E) 3 · 9 = 18
  25. Se știe că 5 | 15 și 15 | 90. Atunci:
    Variante: A) 5 + 15 = 90  ·  B) 90 | 5  ·  C) 5 · 15 = 90  ·  D) 5 | 90  ·  E) 15 | 5
  26. Se știe că 3 | 15 și 15 | 60. Atunci:
    Variante: A) 15 | 3  ·  B) 60 | 3  ·  C) 3 | 60  ·  D) 3 + 15 = 60  ·  E) 3 · 15 = 60
  27. Se știe că 3 | 6 și 6 | 12. Atunci:
    Variante: A) 6 | 3  ·  B) 3 · 6 = 12  ·  C) 12 | 3  ·  D) 3 | 12  ·  E) 3 + 6 = 12
  28. Se știe că 2 | 12 și 12 | 60. Atunci:
    Variante: A) 12 | 2  ·  B) 2 · 12 = 60  ·  C) 2 | 60  ·  D) 60 | 2  ·  E) 2 + 12 = 60
  29. Se știe că 8 | 40 și 40 | 120. Atunci:
    Variante: A) 120 | 8  ·  B) 8 · 40 = 120  ·  C) 8 | 120  ·  D) 40 | 8  ·  E) 8 + 40 = 120
  30. Se știe că 7 | 21 și 21 | 126. Atunci:
    Variante: A) 126 | 7  ·  B) 7 + 21 = 126  ·  C) 7 · 21 = 126  ·  D) 21 | 7  ·  E) 7 | 126
  31. Se știe că 2 | 8 și 8 | 24. Atunci:
    Variante: A) 2 | 24  ·  B) 8 | 2  ·  C) 24 | 2  ·  D) 2 + 8 = 24  ·  E) 2 · 8 = 24
  32. Se știe că 5 | 25 și 25 | 150. Atunci:
    Variante: A) 5 · 25 = 150  ·  B) 5 + 25 = 150  ·  C) 5 | 150  ·  D) 150 | 5  ·  E) 25 | 5
  33. Se știe că 7 | 21 și 21 | 63. Atunci:
    Variante: A) 63 | 7  ·  B) 7 · 21 = 63  ·  C) 7 | 63  ·  D) 7 + 21 = 63  ·  E) 21 | 7
  34. Se știe că 5 | 15 și 15 | 60. Atunci:
    Variante: A) 5 | 60  ·  B) 15 | 5  ·  C) 5 + 15 = 60  ·  D) 60 | 5  ·  E) 5 · 15 = 60
  35. Se știe că 3 | 12 și 12 | 48. Atunci:
    Variante: A) 3 · 12 = 48  ·  B) 3 + 12 = 48  ·  C) 12 | 3  ·  D) 48 | 3  ·  E) 3 | 48
  36. Se știe că 3 | 18 și 18 | 108. Atunci:
    Variante: A) 18 | 3  ·  B) 3 + 18 = 108  ·  C) 3 · 18 = 108  ·  D) 3 | 108  ·  E) 108 | 3
  37. Se știe că 7 | 21 și 21 | 105. Atunci:
    Variante: A) 7 · 21 = 105  ·  B) 7 | 105  ·  C) 7 + 21 = 105  ·  D) 21 | 7  ·  E) 105 | 7
  38. Se știe că 9 | 18 și 18 | 90. Atunci:
    Variante: A) 9 | 90  ·  B) 9 + 18 = 90  ·  C) 90 | 9  ·  D) 18 | 9  ·  E) 9 · 18 = 90
  39. Se știe că 5 | 20 și 20 | 60. Atunci:
    Variante: A) 5 | 60  ·  B) 5 · 20 = 60  ·  C) 60 | 5  ·  D) 5 + 20 = 60  ·  E) 20 | 5
  40. Se știe că 9 | 27 și 27 | 108. Atunci:
    Variante: A) 9 + 27 = 108  ·  B) 9 · 27 = 108  ·  C) 9 | 108  ·  D) 108 | 9  ·  E) 27 | 9
  41. Se știe că 9 | 27 și 27 | 162. Atunci:
    Variante: A) 9 | 162  ·  B) 27 | 9  ·  C) 9 + 27 = 162  ·  D) 162 | 9  ·  E) 9 · 27 = 162
  42. Se știe că 4 | 12 și 12 | 48. Atunci:
    Variante: A) 4 · 12 = 48  ·  B) 12 | 4  ·  C) 4 | 48  ·  D) 48 | 4  ·  E) 4 + 12 = 48
  43. Se știe că 3 | 6 și 6 | 30. Atunci:
    Variante: A) 6 | 3  ·  B) 30 | 3  ·  C) 3 | 30  ·  D) 3 · 6 = 30  ·  E) 3 + 6 = 30
  44. Se știe că 4 | 24 și 24 | 144. Atunci:
    Variante: A) 24 | 4  ·  B) 4 + 24 = 144  ·  C) 144 | 4  ·  D) 4 | 144  ·  E) 4 · 24 = 144
  45. Se știe că 6 | 36 și 36 | 108. Atunci:
    Variante: A) 6 | 108  ·  B) 36 | 6  ·  C) 108 | 6  ·  D) 6 + 36 = 108  ·  E) 6 · 36 = 108
  46. Se știe că 7 | 28 și 28 | 84. Atunci:
    Variante: A) 84 | 7  ·  B) 7 | 84  ·  C) 28 | 7  ·  D) 7 · 28 = 84  ·  E) 7 + 28 = 84
  47. Se știe că 2 | 10 și 10 | 60. Atunci:
    Variante: A) 10 | 2  ·  B) 2 + 10 = 60  ·  C) 60 | 2  ·  D) 2 | 60  ·  E) 2 · 10 = 60
  48. Se știe că 5 | 10 și 10 | 40. Atunci:
    Variante: A) 5 | 40  ·  B) 10 | 5  ·  C) 40 | 5  ·  D) 5 · 10 = 40  ·  E) 5 + 10 = 40
  49. Se știe că 7 | 35 și 35 | 105. Atunci:
    Variante: A) 7 | 105  ·  B) 35 | 7  ·  C) 105 | 7  ·  D) 7 + 35 = 105  ·  E) 7 · 35 = 105
  50. Se știe că 3 | 9 și 9 | 36. Atunci:
    Variante: A) 3 · 9 = 36  ·  B) 3 | 36  ·  C) 36 | 3  ·  D) 9 | 3  ·  E) 3 + 9 = 36
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 3 | 27 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 27 = 9 · 3 = 3 · 3 · 3 = 3 · 9.
  2. 9 | 225 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 225 = 45 · 5 = 9 · 5 · 5 = 9 · 25.
  3. 6 | 36 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 36 = 12 · 3 = 6 · 2 · 3 = 6 · 6.
  4. 2 | 16 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 16 = 4 · 4 = 2 · 2 · 4 = 2 · 8.
  5. 5 | 75 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 75 = 15 · 5 = 5 · 3 · 5 = 5 · 15.
  6. par — Dintre două numere consecutive, unul este par, deci produsul este par. Pentru n = 3: 3·4 = 12; pentru n = 4: 4·5 = 20 nu este multiplu de 3; deci doar „par” este sigur.
  7. 4 | 100 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 100 = 20 · 5 = 4 · 5 · 5 = 4 · 25.
  8. 8 | 96 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 96 = 48 · 2 = 8 · 6 · 2 = 8 · 12.
  9. 4 | 96 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 96 = 24 · 4 = 4 · 6 · 4 = 4 · 24.
  10. 6 | 96 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 96 = 24 · 4 = 6 · 4 · 4 = 6 · 16.
  11. 2 | 36 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 36 = 12 · 3 = 2 · 6 · 3 = 2 · 18.
  12. 6 | 72 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 72 = 18 · 4 = 6 · 3 · 4 = 6 · 12.
  13. 6 | 54 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 54 = 18 · 3 = 6 · 3 · 3 = 6 · 9.
  14. 3 | 60 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 60 = 12 · 5 = 3 · 4 · 5 = 3 · 20.
  15. 7 | 168 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 168 = 42 · 4 = 7 · 6 · 4 = 7 · 24.
  16. 8 | 240 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 240 = 48 · 5 = 8 · 6 · 5 = 8 · 30.
  17. 6 | 60 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 60 = 30 · 2 = 6 · 5 · 2 = 6 · 10.
  18. 6 | 144 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 144 = 24 · 6 = 6 · 4 · 6 = 6 · 24.
  19. 9 | 216 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 216 = 54 · 4 = 9 · 6 · 4 = 9 · 24.
  20. 8 | 288 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 288 = 48 · 6 = 8 · 6 · 6 = 8 · 36.
  21. 8 | 32 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 32 = 16 · 2 = 8 · 2 · 2 = 8 · 4.
  22. 9 | 180 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 180 = 45 · 4 = 9 · 5 · 4 = 9 · 20.
  23. 2 | 48 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 48 = 12 · 4 = 2 · 6 · 4 = 2 · 24.
  24. 3 | 18 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 18 = 9 · 2 = 3 · 3 · 2 = 3 · 6.
  25. 5 | 90 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 90 = 15 · 6 = 5 · 3 · 6 = 5 · 18.
  26. 3 | 60 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 60 = 15 · 4 = 3 · 5 · 4 = 3 · 20.
  27. 3 | 12 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 12 = 6 · 2 = 3 · 2 · 2 = 3 · 4.
  28. 2 | 60 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 60 = 12 · 5 = 2 · 6 · 5 = 2 · 30.
  29. 8 | 120 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 120 = 40 · 3 = 8 · 5 · 3 = 8 · 15.
  30. 7 | 126 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 126 = 21 · 6 = 7 · 3 · 6 = 7 · 18.
  31. 2 | 24 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 24 = 8 · 3 = 2 · 4 · 3 = 2 · 12.
  32. 5 | 150 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 150 = 25 · 6 = 5 · 5 · 6 = 5 · 30.
  33. 7 | 63 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 63 = 21 · 3 = 7 · 3 · 3 = 7 · 9.
  34. 5 | 60 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 60 = 15 · 4 = 5 · 3 · 4 = 5 · 12.
  35. 3 | 48 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 48 = 12 · 4 = 3 · 4 · 4 = 3 · 16.
  36. 3 | 108 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 108 = 18 · 6 = 3 · 6 · 6 = 3 · 36.
  37. 7 | 105 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 105 = 21 · 5 = 7 · 3 · 5 = 7 · 15.
  38. 9 | 90 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 90 = 18 · 5 = 9 · 2 · 5 = 9 · 10.
  39. 5 | 60 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 60 = 20 · 3 = 5 · 4 · 3 = 5 · 12.
  40. 9 | 108 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 108 = 27 · 4 = 9 · 3 · 4 = 9 · 12.
  41. 9 | 162 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 162 = 27 · 6 = 9 · 3 · 6 = 9 · 18.
  42. 4 | 48 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 48 = 12 · 4 = 4 · 3 · 4 = 4 · 12.
  43. 3 | 30 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 30 = 6 · 5 = 3 · 2 · 5 = 3 · 10.
  44. 4 | 144 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 144 = 24 · 6 = 4 · 6 · 6 = 4 · 36.
  45. 6 | 108 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 108 = 36 · 3 = 6 · 6 · 3 = 6 · 18.
  46. 7 | 84 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 84 = 28 · 3 = 7 · 4 · 3 = 7 · 12.
  47. 2 | 60 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 60 = 10 · 6 = 2 · 5 · 6 = 2 · 30.
  48. 5 | 40 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 40 = 10 · 4 = 5 · 2 · 4 = 5 · 8.
  49. 7 | 105 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 105 = 35 · 3 = 7 · 5 · 3 = 7 · 15.
  50. 3 | 36 — Tranzitivitate: dacă a | b și b | c, atunci a | c. 36 = 9 · 4 = 3 · 3 · 4 = 3 · 12.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Se știe că 10 | 70 și 10 | 60. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 10?
    Variante: A) 135  ·  B) 130  ·  C) 134  ·  D) 138  ·  E) 132
  2. Se știe că 5 | 20 și 5 | 15. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 5?
    Variante: A) 39  ·  B) 38  ·  C) 35  ·  D) 37  ·  E) 36
  3. Se știe că 10 | 120 și 10 | 50. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 10?
    Variante: A) 75  ·  B) 70  ·  C) 72  ·  D) 71  ·  E) 78
  4. Se știe că 10 | 40 și 10 | 90. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 10?
    Variante: A) 130  ·  B) 138  ·  C) 136  ·  D) 137  ·  E) 132
  5. Dacă 14 | n, atunci n se divide sigur și cu:
    Variante: A) 49  ·  B) 2  ·  C) 25  ·  D) 16  ·  E) 44
  6. Se știe că 7 | 14 și 7 | 49. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 7?
    Variante: A) 63  ·  B) 65  ·  C) 64  ·  D) 66  ·  E) 69
  7. Se știe că 11 | 121 și 11 | 22. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 11?
    Variante: A) 105  ·  B) 106  ·  C) 99  ·  D) 101  ·  E) 100
  8. Se știe că 4 | 28 și 4 | 16. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 4?
    Variante: A) 14  ·  B) 15  ·  C) 17  ·  D) 13  ·  E) 12
  9. Dacă 6 | n, atunci n se divide sigur și cu:
    Variante: A) 17  ·  B) 27  ·  C) 40  ·  D) 28  ·  E) 2
  10. Se știe că 6 | 48 și 6 | 42. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 6?
    Variante: A) 92  ·  B) 91  ·  C) 90  ·  D) 95  ·  E) 94
  11. Dacă 18 | n, atunci n se divide sigur și cu:
    Variante: A) 3  ·  B) 40  ·  C) 45  ·  D) 7  ·  E) 39
  12. Suma a 3 numere naturale consecutive se divide sigur cu:
    Variante: A) 4  ·  B) 5  ·  C) 7  ·  D) 3  ·  E) 9
  13. Se știe că 7 | 63 și 7 | 63. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 7?
    Variante: A) 132  ·  B) 127  ·  C) 126  ·  D) 130  ·  E) 129
  14. Se știe că 6 | 24 și 6 | 48. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 6?
    Variante: A) 74  ·  B) 72  ·  C) 75  ·  D) 77  ·  E) 76
  15. Se știe că 10 | 110 și 10 | 30. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 10?
    Variante: A) 88  ·  B) 82  ·  C) 80  ·  D) 83  ·  E) 84
  16. Suma a 5 numere naturale consecutive se divide sigur cu:
    Variante: A) 25  ·  B) 6  ·  C) 7  ·  D) 11  ·  E) 5
  17. Dacă 20 | n, atunci n se divide sigur și cu:
    Variante: A) 11  ·  B) 2  ·  C) 43  ·  D) 13  ·  E) 30
  18. Dacă 21 | n, atunci n se divide sigur și cu:
    Variante: A) 3  ·  B) 4  ·  C) 10  ·  D) 27  ·  E) 39
  19. Se știe că 4 | 48 și 4 | 20. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 4?
    Variante: A) 31  ·  B) 33  ·  C) 28  ·  D) 29  ·  E) 30
  20. Dacă 24 | n, atunci n se divide sigur și cu:
    Variante: A) 44  ·  B) 5  ·  C) 3  ·  D) 36  ·  E) 10
  21. Se știe că 11 | 110 și 11 | 33. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 11?
    Variante: A) 84  ·  B) 81  ·  C) 79  ·  D) 77  ·  E) 87
  22. Se știe că 3 | 27 și 3 | 6. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 3?
    Variante: A) 34  ·  B) 41  ·  C) 35  ·  D) 33  ·  E) 40
  23. Se știe că 10 | 100 și 10 | 20. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 10?
    Variante: A) 80  ·  B) 82  ·  C) 88  ·  D) 89  ·  E) 81
  24. Se știe că 9 | 63 și 9 | 45. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 9?
    Variante: A) 18  ·  B) 21  ·  C) 19  ·  D) 24  ·  E) 22
  25. Se știe că 6 | 72 și 6 | 18. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 6?
    Variante: A) 57  ·  B) 58  ·  C) 54  ·  D) 55  ·  E) 56
  26. Se știe că 8 | 24 și 8 | 16. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 8?
    Variante: A) 40  ·  B) 43  ·  C) 44  ·  D) 47  ·  E) 42
  27. Se știe că 4 | 36 și 4 | 12. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 4?
    Variante: A) 29  ·  B) 27  ·  C) 25  ·  D) 26  ·  E) 24
  28. Se știe că 3 | 15 și 3 | 12. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 3?
    Variante: A) 35  ·  B) 27  ·  C) 34  ·  D) 28  ·  E) 29
  29. Se știe că 4 | 36 și 4 | 8. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 4?
    Variante: A) 30  ·  B) 29  ·  C) 33  ·  D) 31  ·  E) 28
  30. Se știe că 3 | 12 și 3 | 21. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 3?
    Variante: A) 34  ·  B) 41  ·  C) 40  ·  D) 35  ·  E) 33
  31. Se știe că 7 | 35 și 7 | 35. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 7?
    Variante: A) 74  ·  B) 73  ·  C) 70  ·  D) 75  ·  E) 72
  32. Se știe că 9 | 27 și 9 | 18. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 9?
    Variante: A) 49  ·  B) 52  ·  C) 50  ·  D) 48  ·  E) 45
  33. Se știe că 7 | 56 și 7 | 21. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 7?
    Variante: A) 35  ·  B) 41  ·  C) 40  ·  D) 37  ·  E) 38
  34. Se știe că 9 | 108 și 9 | 27. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 9?
    Variante: A) 87  ·  B) 81  ·  C) 83  ·  D) 86  ·  E) 85
  35. Dacă 30 | n, atunci n se divide sigur și cu:
    Variante: A) 34  ·  B) 24  ·  C) 9  ·  D) 49  ·  E) 10
  36. Se știe că 11 | 110 și 11 | 55. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 11?
    Variante: A) 55  ·  B) 64  ·  C) 57  ·  D) 63  ·  E) 61
  37. Se știe că 10 | 70 și 10 | 50. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 10?
    Variante: A) 21  ·  B) 23  ·  C) 27  ·  D) 20  ·  E) 28
  38. Se știe că 9 | 36 și 9 | 81. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 9?
    Variante: A) 123  ·  B) 121  ·  C) 117  ·  D) 118  ·  E) 125
  39. Se știe că 5 | 25 și 5 | 25. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 5?
    Variante: A) 53  ·  B) 50  ·  C) 52  ·  D) 51  ·  E) 54
  40. Se știe că 7 | 84 și 7 | 21. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 7?
    Variante: A) 66  ·  B) 68  ·  C) 63  ·  D) 64  ·  E) 67
  41. Se știe că 10 | 60 și 10 | 30. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 10?
    Variante: A) 90  ·  B) 96  ·  C) 93  ·  D) 95  ·  E) 91
  42. Se știe că 3 | 21 și 3 | 6. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 3?
    Variante: A) 27  ·  B) 28  ·  C) 35  ·  D) 29  ·  E) 34
  43. Se știe că 7 | 42 și 7 | 28. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 7?
    Variante: A) 17  ·  B) 19  ·  C) 18  ·  D) 16  ·  E) 14
  44. Se știe că 5 | 30 și 5 | 20. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 5?
    Variante: A) 50  ·  B) 51  ·  C) 54  ·  D) 52  ·  E) 53
  45. Se știe că 8 | 16 și 8 | 48. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 8?
    Variante: A) 71  ·  B) 69  ·  C) 64  ·  D) 66  ·  E) 65
  46. Se știe că 5 | 45 și 5 | 15. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 5?
    Variante: A) 31  ·  B) 30  ·  C) 32  ·  D) 34  ·  E) 33
  47. Se știe că 12 | 96 și 12 | 24. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 12?
    Variante: A) 123  ·  B) 131  ·  C) 130  ·  D) 120  ·  E) 128
  48. Se știe că 8 | 48 și 8 | 32. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 8?
    Variante: A) 18  ·  B) 19  ·  C) 22  ·  D) 16  ·  E) 21
  49. Se știe că 10 | 80 și 10 | 80. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 10?
    Variante: A) 164  ·  B) 169  ·  C) 160  ·  D) 168  ·  E) 161
  50. Se știe că 7 | 63 și 7 | 56. Care dintre numerele următoare se divide sigur cu 7?
    Variante: A) 125  ·  B) 121  ·  C) 124  ·  D) 119  ·  E) 122
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 130 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 70 + 60 = 130 se divide cu 10.
  2. 35 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 20 + 15 = 35 se divide cu 5.
  3. 70 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 120 − 50 = 70 = 10 · 7.
  4. 130 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 40 + 90 = 130 se divide cu 10.
  5. 2 — 2 | 14 și 14 | n, deci, prin tranzitivitate, 2 | n. Pentru celelalte numere nu avem această garanție.
  6. 63 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 14 + 49 = 63 se divide cu 7.
  7. 99 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 121 − 22 = 99 = 11 · 9.
  8. 12 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 28 − 16 = 12 = 4 · 3.
  9. 2 — 2 | 6 și 6 | n, deci, prin tranzitivitate, 2 | n. Pentru celelalte numere nu avem această garanție.
  10. 90 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 48 + 42 = 90 se divide cu 6.
  11. 3 — 3 | 18 și 18 | n, deci, prin tranzitivitate, 3 | n. Pentru celelalte numere nu avem această garanție.
  12. 3 — Fie n, n+1, …, n+2. Suma lor este 3n + 3 = 3(n + 1), deci se divide cu 3.
  13. 126 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 63 + 63 = 126 se divide cu 7.
  14. 72 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 24 + 48 = 72 se divide cu 6.
  15. 80 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 110 − 30 = 80 = 10 · 8.
  16. 5 — Fie n, n+1, …, n+4. Suma lor este 5n + 10 = 5(n + 2), deci se divide cu 5.
  17. 2 — 2 | 20 și 20 | n, deci, prin tranzitivitate, 2 | n. Pentru celelalte numere nu avem această garanție.
  18. 3 — 3 | 21 și 21 | n, deci, prin tranzitivitate, 3 | n. Pentru celelalte numere nu avem această garanție.
  19. 28 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 48 − 20 = 28 = 4 · 7.
  20. 3 — 3 | 24 și 24 | n, deci, prin tranzitivitate, 3 | n. Pentru celelalte numere nu avem această garanție.
  21. 77 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 110 − 33 = 77 = 11 · 7.
  22. 33 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 27 + 6 = 33 se divide cu 3.
  23. 80 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 100 − 20 = 80 = 10 · 8.
  24. 18 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 63 − 45 = 18 = 9 · 2.
  25. 54 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 72 − 18 = 54 = 6 · 9.
  26. 40 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 24 + 16 = 40 se divide cu 8.
  27. 24 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 36 − 12 = 24 = 4 · 6.
  28. 27 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 15 + 12 = 27 se divide cu 3.
  29. 28 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 36 − 8 = 28 = 4 · 7.
  30. 33 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 12 + 21 = 33 se divide cu 3.
  31. 70 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 35 + 35 = 70 se divide cu 7.
  32. 45 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 27 + 18 = 45 se divide cu 9.
  33. 35 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 56 − 21 = 35 = 7 · 5.
  34. 81 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 108 − 27 = 81 = 9 · 9.
  35. 10 — 10 | 30 și 30 | n, deci, prin tranzitivitate, 10 | n. Pentru celelalte numere nu avem această garanție.
  36. 55 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 110 − 55 = 55 = 11 · 5.
  37. 20 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 70 − 50 = 20 = 10 · 2.
  38. 117 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 36 + 81 = 117 se divide cu 9.
  39. 50 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 25 + 25 = 50 se divide cu 5.
  40. 63 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 84 − 21 = 63 = 7 · 9.
  41. 90 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 60 + 30 = 90 se divide cu 10.
  42. 27 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 21 + 6 = 27 se divide cu 3.
  43. 14 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 42 − 28 = 14 = 7 · 2.
  44. 50 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 30 + 20 = 50 se divide cu 5.
  45. 64 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 16 + 48 = 64 se divide cu 8.
  46. 30 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 45 − 15 = 30 = 5 · 6.
  47. 120 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 96 + 24 = 120 se divide cu 12.
  48. 16 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b − c). Aici 48 − 32 = 16 = 8 · 2.
  49. 160 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 80 + 80 = 160 se divide cu 10.
  50. 119 — Dacă a | b și a | c, atunci a | (b + c). Aici 63 + 56 = 119 se divide cu 7.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Câte numere naturale n verifică relația (2n + 1) | 105?
  2. Dacă 3 | 7·n și numerele 3 și 7 sunt prime între ele, atunci:
    Variante: A) 3·7 | n  ·  B) n = 3  ·  C) 3 | 7  ·  D) 3 | n  ·  E) 7 | n
  3. Dacă 7 | 4·n și numerele 7 și 4 sunt prime între ele, atunci:
    Variante: A) 4 | n  ·  B) 7·4 | n  ·  C) 7 | n  ·  D) n = 7  ·  E) 7 | 4
  4. Dacă 9 | 7·n și numerele 9 și 7 sunt prime între ele, atunci:
    Variante: A) 9 | 7  ·  B) 9 | n  ·  C) n = 9  ·  D) 7 | n  ·  E) 9·7 | n
  5. Câte numere naturale n verifică relația (n + 4) | 36?
  6. Câte numere naturale n verifică relația (n + 2) | 36?
  7. Câte numere naturale n verifică relația (2n + 1) | 135?
  8. Dacă 9 | n, 4 | n și numerele 9 și 4 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 35  ·  B) 37  ·  C) 106  ·  D) 73  ·  E) 36
  9. Dacă 6 | n și 10 | n, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 31  ·  B) 29  ·  C) 61  ·  D) 30  ·  E) 91
  10. Dacă 7 | n, 9 | n și numerele 7 și 9 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 62  ·  B) 127  ·  C) 64  ·  D) 63  ·  E) 187
  11. Dacă 2 | n, 3 | n și numerele 2 și 3 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 7  ·  B) 5  ·  C) 6  ·  D) 13  ·  E) 16
  12. Care este suma tuturor numerelor naturale n pentru care (n + 3) | 40?
  13. Care este suma tuturor numerelor naturale n pentru care (n + 4) | 18?
  14. Câte numere naturale n verifică (n + 4) | (3n + 20)?
  15. Câte numere naturale n verifică relația (n + 2) | 60?
  16. Câte numere naturale n verifică (n + 4) | (2n + 16)?
  17. Dacă 7 | n, 5 | n și numerele 7 și 5 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 103  ·  B) 71  ·  C) 34  ·  D) 36  ·  E) 35
  18. Dacă 9 | n, 5 | n și numerele 9 și 5 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 45  ·  B) 91  ·  C) 133  ·  D) 46  ·  E) 44
  19. Dacă 7 | 5·n și numerele 7 și 5 sunt prime între ele, atunci:
    Variante: A) 7·5 | n  ·  B) n = 7  ·  C) 7 | 5  ·  D) 5 | n  ·  E) 7 | n
  20. Câte numere naturale n verifică (n + 3) | (4n + 18)?
  21. Dacă 6 | n și 9 | n, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 17  ·  B) 18  ·  C) 55  ·  D) 19  ·  E) 37
  22. Câte numere naturale n verifică relația (n + 5) | 12?
  23. Câte numere naturale n verifică relația (n + 5) | 18?
  24. Care este suma tuturor numerelor naturale n pentru care (n + 4) | 30?
  25. Dacă 2 | n, 7 | n și numerele 2 și 7 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 29  ·  B) 13  ·  C) 40  ·  D) 14  ·  E) 15
  26. Câte numere naturale n verifică relația (n + 4) | 20?
  27. Dacă 5 | n, 6 | n și numerele 5 și 6 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 61  ·  B) 30  ·  C) 29  ·  D) 88  ·  E) 31
  28. Dacă 3 | n, 4 | n și numerele 3 și 4 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 12  ·  B) 11  ·  C) 34  ·  D) 13  ·  E) 25
  29. Câte numere naturale n verifică relația (2n + 1) | 35?
  30. Câte numere naturale n verifică relația (2n + 1) | 63?
  31. Câte numere naturale n verifică relația (n + 4) | 40?
  32. Care este suma tuturor numerelor naturale n pentru care (n + 3) | 60?
  33. Dacă 7 | n, 2 | n și numerele 7 și 2 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 13  ·  B) 14  ·  C) 15  ·  D) 40  ·  E) 29
  34. Câte numere naturale n verifică relația (n + 5) | 36?
  35. Câte numere naturale n verifică (n + 1) | (4n + 12)?
  36. Care este suma tuturor numerelor naturale n pentru care (n + 3) | 48?
  37. Câte numere naturale n verifică relația (n + 2) | 20?
  38. Dacă 9 | n și 15 | n, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 91  ·  B) 136  ·  C) 44  ·  D) 45  ·  E) 46
  39. Dacă 12 | n și 18 | n, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 109  ·  B) 73  ·  C) 37  ·  D) 35  ·  E) 36
  40. Câte numere naturale n verifică (n + 1) | (2n + 11)?
  41. Dacă 2 | 3·n și numerele 2 și 3 sunt prime între ele, atunci:
    Variante: A) 2 | n  ·  B) 2 | 3  ·  C) 2·3 | n  ·  D) n = 2  ·  E) 3 | n
  42. Care este suma tuturor numerelor naturale n pentru care (n + 2) | 48?
  43. Dacă 4 | n, 7 | n și numerele 4 și 7 sunt prime între ele, atunci n se divide sigur cu:
    Variante: A) 57  ·  B) 27  ·  C) 82  ·  D) 28  ·  E) 29
  44. Dacă 7 | 8·n și numerele 7 și 8 sunt prime între ele, atunci:
    Variante: A) 8 | n  ·  B) 7 | 8  ·  C) 7 | n  ·  D) n = 7  ·  E) 7·8 | n
  45. Câte numere naturale n verifică relația (n + 2) | 48?
  46. Câte numere naturale n verifică (n + 4) | (2n + 12)?
  47. Câte numere naturale n verifică relația (2n + 1) | 27?
  48. Dacă 7 | 2·n și numerele 7 și 2 sunt prime între ele, atunci:
    Variante: A) 7·2 | n  ·  B) 7 | n  ·  C) 7 | 2  ·  D) 2 | n  ·  E) n = 7
  49. Câte numere naturale n verifică relația (n + 2) | 18?
  50. Câte numere naturale n verifică relația (n + 3) | 12?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 8 — 105 este impar, deci toți divizorii lui sunt impari: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105. Din 2n + 1 = d obținem n = (d − 1) : 2: {0, 1, 2, 3, 7, 10, 17, 52}. Sunt 8 valori.
  2. 3 | n — Dacă a | b·n și (a, b) = 1, atunci a | n. Aici 3 | 7·n și (a, b) = 1, deci 3 | n.
  3. 7 | n — Dacă a | b·n și (a, b) = 1, atunci a | n. Aici 7 | 4·n și (a, b) = 1, deci 7 | n.
  4. 9 | n — Dacă a | b·n și (a, b) = 1, atunci a | n. Aici 9 | 7·n și (a, b) = 1, deci 9 | n.
  5. 6 — n + 4 este un divizor al lui 36, mai mare sau egal cu 4: 4, 6, 9, 12, 18, 36. Rezultă n ∈ {0, 2, 5, 8, 14, 32}: 6 valori.
  6. 8 — n + 2 este un divizor al lui 36, mai mare sau egal cu 2: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Rezultă n ∈ {0, 1, 2, 4, 7, 10, 16, 34}: 8 valori.
  7. 8 — 135 este impar, deci toți divizorii lui sunt impari: 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135. Din 2n + 1 = d obținem n = (d − 1) : 2: {0, 1, 2, 4, 7, 13, 22, 67}. Sunt 8 valori.
  8. 36 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 9 · 4 = 36.
  9. 30 — n este multiplu comun al lui 6 și 10, deci se divide cu cmmmc(6, 10) = 30.
  10. 63 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 7 · 9 = 63.
  11. 6 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 2 · 3 = 6.
  12. 69 — n + 3 ∈ {4, 5, 8, 10, 20, 40}, deci n ∈ {1, 2, 5, 7, 17, 37}. Suma este 69.
  13. 21 — n + 4 ∈ {6, 9, 18}, deci n ∈ {2, 5, 14}. Suma este 21.
  14. 2 — 3n + 20 = 3(n + 4) + 8. Cum (n + 4) | 3(n + 4), trebuie ca (n + 4) | 8. Divizorii lui 8 mai mari sau egali cu 4: 4, 8, deci n ∈ {0, 4}: 2 valori.
  15. 11 — n + 2 este un divizor al lui 60, mai mare sau egal cu 2: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Rezultă n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 13, 18, 28, 58}: 11 valori.
  16. 2 — 2n + 16 = 2(n + 4) + 8. Cum (n + 4) | 2(n + 4), trebuie ca (n + 4) | 8. Divizorii lui 8 mai mari sau egali cu 4: 4, 8, deci n ∈ {0, 4}: 2 valori.
  17. 35 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 7 · 5 = 35.
  18. 45 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 9 · 5 = 45.
  19. 7 | n — Dacă a | b·n și (a, b) = 1, atunci a | n. Aici 7 | 5·n și (a, b) = 1, deci 7 | n.
  20. 2 — 4n + 18 = 4(n + 3) + 6. Cum (n + 3) | 4(n + 3), trebuie ca (n + 3) | 6. Divizorii lui 6 mai mari sau egali cu 3: 3, 6, deci n ∈ {0, 3}: 2 valori.
  21. 18 — n este multiplu comun al lui 6 și 9, deci se divide cu cmmmc(6, 9) = 18.
  22. 2 — n + 5 este un divizor al lui 12, mai mare sau egal cu 5: 6, 12. Rezultă n ∈ {1, 7}: 2 valori.
  23. 3 — n + 5 este un divizor al lui 18, mai mare sau egal cu 5: 6, 9, 18. Rezultă n ∈ {1, 4, 13}: 3 valori.
  24. 46 — n + 4 ∈ {5, 6, 10, 15, 30}, deci n ∈ {1, 2, 6, 11, 26}. Suma este 46.
  25. 14 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 2 · 7 = 14.
  26. 4 — n + 4 este un divizor al lui 20, mai mare sau egal cu 4: 4, 5, 10, 20. Rezultă n ∈ {0, 1, 6, 16}: 4 valori.
  27. 30 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 5 · 6 = 30.
  28. 12 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 3 · 4 = 12.
  29. 4 — 35 este impar, deci toți divizorii lui sunt impari: 1, 5, 7, 35. Din 2n + 1 = d obținem n = (d − 1) : 2: {0, 2, 3, 17}. Sunt 4 valori.
  30. 6 — 63 este impar, deci toți divizorii lui sunt impari: 1, 3, 7, 9, 21, 63. Din 2n + 1 = d obținem n = (d − 1) : 2: {0, 1, 3, 4, 10, 31}. Sunt 6 valori.
  31. 6 — n + 4 este un divizor al lui 40, mai mare sau egal cu 4: 4, 5, 8, 10, 20, 40. Rezultă n ∈ {0, 1, 4, 6, 16, 36}: 6 valori.
  32. 135 — n + 3 ∈ {3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, deci n ∈ {0, 1, 2, 3, 7, 9, 12, 17, 27, 57}. Suma este 135.
  33. 14 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 7 · 2 = 14.
  34. 5 — n + 5 este un divizor al lui 36, mai mare sau egal cu 5: 6, 9, 12, 18, 36. Rezultă n ∈ {1, 4, 7, 13, 31}: 5 valori.
  35. 4 — 4n + 12 = 4(n + 1) + 8. Cum (n + 1) | 4(n + 1), trebuie ca (n + 1) | 8. Divizorii lui 8 mai mari sau egali cu 1: 1, 2, 4, 8, deci n ∈ {0, 1, 3, 7}: 4 valori.
  36. 97 — n + 3 ∈ {3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, deci n ∈ {0, 1, 3, 5, 9, 13, 21, 45}. Suma este 97.
  37. 5 — n + 2 este un divizor al lui 20, mai mare sau egal cu 2: 2, 4, 5, 10, 20. Rezultă n ∈ {0, 2, 3, 8, 18}: 5 valori.
  38. 45 — n este multiplu comun al lui 9 și 15, deci se divide cu cmmmc(9, 15) = 45.
  39. 36 — n este multiplu comun al lui 12 și 18, deci se divide cu cmmmc(12, 18) = 36.
  40. 3 — 2n + 11 = 2(n + 1) + 9. Cum (n + 1) | 2(n + 1), trebuie ca (n + 1) | 9. Divizorii lui 9 mai mari sau egali cu 1: 1, 3, 9, deci n ∈ {0, 2, 8}: 3 valori.
  41. 2 | n — Dacă a | b·n și (a, b) = 1, atunci a | n. Aici 2 | 3·n și (a, b) = 1, deci 2 | n.
  42. 105 — n + 2 ∈ {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, deci n ∈ {0, 1, 2, 4, 6, 10, 14, 22, 46}. Suma este 105.
  43. 28 — Dacă a | n, b | n și (a, b) = 1, atunci a · b | n. Aici 4 · 7 = 28.
  44. 7 | n — Dacă a | b·n și (a, b) = 1, atunci a | n. Aici 7 | 8·n și (a, b) = 1, deci 7 | n.
  45. 9 — n + 2 este un divizor al lui 48, mai mare sau egal cu 2: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Rezultă n ∈ {0, 1, 2, 4, 6, 10, 14, 22, 46}: 9 valori.
  46. 1 — 2n + 12 = 2(n + 4) + 4. Cum (n + 4) | 2(n + 4), trebuie ca (n + 4) | 4. Divizorii lui 4 mai mari sau egali cu 4: 4, deci n ∈ {0}: 1 valori.
  47. 4 — 27 este impar, deci toți divizorii lui sunt impari: 1, 3, 9, 27. Din 2n + 1 = d obținem n = (d − 1) : 2: {0, 1, 4, 13}. Sunt 4 valori.
  48. 7 | n — Dacă a | b·n și (a, b) = 1, atunci a | n. Aici 7 | 2·n și (a, b) = 1, deci 7 | n.
  49. 5 — n + 2 este un divizor al lui 18, mai mare sau egal cu 2: 2, 3, 6, 9, 18. Rezultă n ∈ {0, 1, 4, 7, 16}: 5 valori.
  50. 4 — n + 3 este un divizor al lui 12, mai mare sau egal cu 3: 3, 4, 6, 12. Rezultă n ∈ {0, 1, 3, 9}: 4 valori.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a