Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Relații între mulțimi

Relații între mulțimi

Incluziunea, egalitatea mulțimilor, submulțimi, numărul submulțimilor.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Spunem că A este inclusă în B (A este submulțime a lui B) și scriem A ⊂ B dacă fiecare element al lui A este și element al lui B. Dacă A nu este inclusă în B, scriem A ⊄ B.

BA12345

În figură, A ⊂ B: elementele 1 și 2 ale lui A se află și în B.

A ⊂ B  ⇔  pentru orice x ∈ A avem x ∈ B
A = B  ⇔  A ⊂ B și B ⊂ A (aceleași elemente)

În această lecție scriem A ⊂ B și când A = B; dacă vrem să spunem că A este inclusă în B și diferită de B, spunem „A ⊂ B și A ≠ B” (submulțime proprie).

Proprietăți

Numărul submulțimilor

O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi
submulțimi proprii: 2n − 1 (fără A însăși) · submulțimi nevide: 2n − 1
Exemplul 1. Submulțimile lui A = {a, b, c} sunt: ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. În total 8 = 23.
Exemplul 2. A = {1, x, 5} și B = {5, 1, 7} sunt egale. Atunci x trebuie să fie 7, pentru că 1 și 5 apar în ambele mulțimi.
Exemplul 3. A = {2, 3} și B = {1, 2, 3, 4}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B? C conține pe 2 și 3, iar din 1 și 4 poate conține oricare, niciunul sau pe amândouă: 22 = 4 mulțimi.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA72519
  2. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA14242022
  3. Fie A = {2, 12, 14, 19} și B = {2, 4, 12, 14, 19}. Care afirmație este adevărată?
  4. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA7172822
  5. Fie A = {1, 12, 16, 19} și B = {1, 2, 12, 15, 16, 19, 22}. Care afirmație este adevărată?
  6. Fie A = {5, 10} și B = {3, 5, 6, 7, 10}. Care afirmație este adevărată?
  7. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA18282934
  8. Fie A = {7, 12, 15} și B = {7, 12, 15, 20}. Care afirmație este adevărată?
  9. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA61124224
  10. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA17284
  11. Fie A = {2, 17, 18} și B = {2, 12, 17, 18}. Care afirmație este adevărată?
  12. Fie A = {2, 12} și B = {2, 11, 12, 16, 20}. Care afirmație este adevărată?
  13. Fie A = {8, 11} și B = {5, 8, 11, 15}. Care afirmație este adevărată?
  14. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA2513925
  15. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA1215181321
  16. Fie A = {11, 18} și B = {11, 18, 23}. Care afirmație este adevărată?
  17. Fie A = {6, 11} și B = {1, 6, 10, 11, 16}. Care afirmație este adevărată?
  18. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA318524
  19. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA47231021
  20. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA242526
  21. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA3239166
  22. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA1124185
  23. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA22242012
  24. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA6192028
  25. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA15212216
  26. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA10193206
  27. Fie A = {11, 16} și B = {11, 16, 18, 21}. Care afirmație este adevărată?
  28. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA2527826
  29. Fie A = {12, 14} și B = {3, 12, 14}. Care afirmație este adevărată?
  30. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA227281729
  31. Fie A = {1, 4, 6, 9} și B = {1, 4, 6, 9, 16}. Care afirmație este adevărată?
  32. Fie A = {10, 17, 19} și B = {2, 5, 10, 17, 19}. Care afirmație este adevărată?
  33. Fie A = {1, 5, 17} și B = {1, 2, 5, 10, 17}. Care afirmație este adevărată?
  34. Fie A = {18, 19} și B = {1, 18, 19}. Care afirmație este adevărată?
  35. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA11152282625
  36. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA26523
  37. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA61526217
  38. Fie A = {5, 12, 18} și B = {1, 5, 6, 12, 18}. Care afirmație este adevărată?
  39. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA16281317
  40. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA22811
  41. Fie A = {4, 9, 17, 18} și B = {4, 7, 9, 11, 17, 18}. Care afirmație este adevărată?
  42. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA102329611
  43. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA72628171830
  44. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA925282022
  45. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA218292513
  46. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA1820233021
  47. Fie A = {2, 5, 8, 13} și B = {2, 5, 6, 8, 13, 24}. Care afirmație este adevărată?
  48. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA142021291913
  49. În diagramă, mulțimea A se află în interiorul mulțimii B. Care afirmație este adevărată?BA16724
  50. Câte elemente are mulțimea B din diagramă?BA91211
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 3 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 1 = 3.
  2. 4 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 2 = 4.
  3. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 4. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  4. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  5. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 2, 15, 22. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  6. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 3, 6, 7. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  7. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  8. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 20. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  9. 5 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 3 + 2 = 5.
  10. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  11. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 12. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  12. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 11, 16, 20. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  13. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 5, 15. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  14. 5 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 3 = 5.
  15. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  16. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 23. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  17. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 1, 10, 16. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  18. 4 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 2 = 4.
  19. 5 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 3 = 5.
  20. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  21. 5 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 3 = 5.
  22. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  23. 4 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 2 = 4.
  24. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  25. 4 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 2 = 4.
  26. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  27. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 18, 21. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  28. 5 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 3 = 5.
  29. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 3. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  30. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  31. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 16. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  32. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 2, 5. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  33. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 2, 10. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  34. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 1. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  35. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  36. 4 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 2 = 4.
  37. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  38. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 1, 6. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  39. 4 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 2 = 4.
  40. 3 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 1 = 3.
  41. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 7, 11. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  42. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  43. 6 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 3 + 3 = 6.
  44. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  45. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  46. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  47. A ⊂ B — Toate elementele lui A se află în B, iar B are în plus 6, 24. Deci A ⊂ B și A ≠ B.
  48. 6 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 3 + 3 = 6.
  49. A ⊂ B — Toate elementele lui A sunt și elemente ale lui B, deci A ⊂ B.
  50. 3 — B conține elementele lui A și cele din afara lui A: 2 + 1 = 3.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA20291
  2. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA20212371727
  3. Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?
    Variante: A) mulțimea divizorilor lui 6 este inclusă în mulțimea divizorilor lui 12  ·  B) 2 ∈ {{2}}  ·  C) {0} ⊂ N*  ·  D) mulțimea multiplilor lui 3 este inclusă în mulțimea multiplilor lui 6  ·  E) {3} ∈ {1, 2, 3}
  4. Fie A = {10, 13, 16, 17}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) {16} ∈ A  ·  B) 27 ∈ A  ·  C) 16 ⊂ A  ·  D) {16} ⊂ A  ·  E) {27} ⊂ A
  5. Câte submulțimi are mulțimea A = {5, 16}?
  6. Câte submulțimi are mulțimea A = {22, 33, 34}?
  7. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA35201127
  8. Fie A = {3, 4, 16, 21}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) {16} ∈ A  ·  B) 12 ∈ A  ·  C) {12} ⊂ A  ·  D) 16 ⊂ A  ·  E) {16} ⊂ A
  9. Fie A = {9, 13, 23}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) {9} ∈ A  ·  B) {9} ⊂ A  ·  C) {4} ⊂ A  ·  D) 9 ⊂ A  ·  E) 4 ∈ A
  10. Mulțimile A = {15, x, 4} și B = {4, 17, 15} sunt egale. Cât este x?
  11. Câte submulțimi are mulțimea A = {4, 12, 23, 34}?
  12. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA427121926
  13. Mulțimile A = {3, x, 7} și B = {7, 1, 3} sunt egale. Cât este x?
  14. Fie A = {6, 9, 17, 22}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) 4 ∈ A  ·  B) {9} ∈ A  ·  C) {9} ⊂ A  ·  D) 9 ⊂ A  ·  E) {4} ⊂ A
  15. Câte submulțimi are mulțimea A = {30, 31, 37}?
  16. Câte submulțimi are mulțimea A = {12, 22, 31, 34, 36}?
  17. Câte submulțimi are mulțimea A = {7, 11, 19}?
  18. Câte submulțimi are mulțimea A = {9, 20, 28, 37}?
  19. Fie A = {1, 16, 20, 24}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) {23} ⊂ A  ·  B) 1 ⊂ A  ·  C) {1} ⊂ A  ·  D) {1} ∈ A  ·  E) 23 ∈ A
  20. Fie A = {4, 5, 7, 14}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) {7} ∈ A  ·  B) {27} ⊂ A  ·  C) 27 ∈ A  ·  D) {7} ⊂ A  ·  E) 7 ⊂ A
  21. Fie A = {4, 14, 18}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) 29 ∈ A  ·  B) {18} ∈ A  ·  C) {18} ⊂ A  ·  D) {29} ⊂ A  ·  E) 18 ⊂ A
  22. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA11222312017
  23. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA10133420
  24. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA232521616
  25. Mulțimile A = {16, x, 10} și B = {10, 3, 16} sunt egale. Cât este x?
  26. Câte submulțimi are mulțimea A = {13, 24, 36}?
  27. Mulțimile A = {11, x, 15} și B = {15, 7, 11} sunt egale. Cât este x?
  28. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA5191611
  29. Câte submulțimi are mulțimea A = {8, 16, 36}?
  30. Mulțimile A = {10, x, 2} și B = {2, 8, 10} sunt egale. Cât este x?
  31. Mulțimile A = {16, x, 6} și B = {6, 15, 16} sunt egale. Cât este x?
  32. Fie A = {4, 8, 13, 24}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) 27 ∈ A  ·  B) {24} ∈ A  ·  C) {24} ⊂ A  ·  D) {27} ⊂ A  ·  E) 24 ⊂ A
  33. Mulțimile A = {4, x, 19} și B = {19, 2, 4} sunt egale. Cât este x?
  34. Fie A = {13, 19, 22}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) 19 ⊂ A  ·  B) 12 ∈ A  ·  C) {19} ⊂ A  ·  D) {12} ⊂ A  ·  E) {19} ∈ A
  35. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA810271119
  36. Mulțimile A = {4, x, 9} și B = {9, 17, 4} sunt egale. Cât este x?
  37. Câte submulțimi are mulțimea A = {5, 14, 29, 34}?
  38. Câte submulțimi are mulțimea A = {13, 14, 17, 20}?
  39. Fie A = {1, 9, 15, 22}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) {15} ⊂ A  ·  B) {15} ∈ A  ·  C) 7 ∈ A  ·  D) {7} ⊂ A  ·  E) 15 ⊂ A
  40. Mulțimile A = {4, x, 10} și B = {10, 11, 4} sunt egale. Cât este x?
  41. Fie A = {11, 17, 24}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) 23 ∈ A  ·  B) {23} ⊂ A  ·  C) 17 ⊂ A  ·  D) {17} ∈ A  ·  E) {17} ⊂ A
  42. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA913261043
  43. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA72225
  44. Mulțimile A = {10, x, 8} și B = {8, 20, 10} sunt egale. Cât este x?
  45. Fie A = {4, 19, 21}. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
    Variante: A) 1 ∈ A  ·  B) {1} ⊂ A  ·  C) {4} ⊂ A  ·  D) {4} ∈ A  ·  E) 4 ⊂ A
  46. Câte submulțimi are mulțimea A = {4, 6, 8, 32}?
  47. Câte submulțimi are mulțimea A = {5, 18, 19, 29, 36}?
  48. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA5182326
  49. Mulțimile A = {6, x, 7} și B = {7, 14, 6} sunt egale. Cât este x?
  50. Câte elemente are mulțimea B din diagramă, care nu aparțin lui A?BA61615
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 1 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 1, adică 1.
  2. 3 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 7, 17, 27, adică 3.
  3. mulțimea divizorilor lui 6 este inclusă în mulțimea divizorilor lui 12 — Verificăm pe rând: afirmația corectă este „mulțimea divizorilor lui 6 este inclusă în mulțimea divizorilor lui 12”, iar celelalte contrazic definiția incluziunii sau a apartenenței.
  4. {16} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {16} este o mulțime cu elementul 16 din A, deci {16} ⊂ A.
  5. 4 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 22 = 4.
  6. 8 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 23 = 8.
  7. 2 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 11, 27, adică 2.
  8. {16} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {16} este o mulțime cu elementul 16 din A, deci {16} ⊂ A.
  9. {9} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {9} este o mulțime cu elementul 9 din A, deci {9} ⊂ A.
  10. 17 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 15 și 4 apar în ambele, x = 17.
  11. 16 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 24 = 16.
  12. 3 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 12, 19, 26, adică 3.
  13. 1 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 3 și 7 apar în ambele, x = 1.
  14. {9} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {9} este o mulțime cu elementul 9 din A, deci {9} ⊂ A.
  15. 8 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 23 = 8.
  16. 32 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 25 = 32.
  17. 8 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 23 = 8.
  18. 16 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 24 = 16.
  19. {1} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {1} este o mulțime cu elementul 1 din A, deci {1} ⊂ A.
  20. {7} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {7} este o mulțime cu elementul 7 din A, deci {7} ⊂ A.
  21. {18} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {18} este o mulțime cu elementul 18 din A, deci {18} ⊂ A.
  22. 3 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 1, 20, 17, adică 3.
  23. 3 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 3, 4, 20, adică 3.
  24. 3 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 21, 6, 16, adică 3.
  25. 3 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 16 și 10 apar în ambele, x = 3.
  26. 8 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 23 = 8.
  27. 7 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 11 și 15 apar în ambele, x = 7.
  28. 2 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 16, 11, adică 2.
  29. 8 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 23 = 8.
  30. 8 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 10 și 2 apar în ambele, x = 8.
  31. 15 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 16 și 6 apar în ambele, x = 15.
  32. {24} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {24} este o mulțime cu elementul 24 din A, deci {24} ⊂ A.
  33. 2 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 4 și 19 apar în ambele, x = 2.
  34. {19} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {19} este o mulțime cu elementul 19 din A, deci {19} ⊂ A.
  35. 2 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 11, 19, adică 2.
  36. 17 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 4 și 9 apar în ambele, x = 17.
  37. 16 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 24 = 16.
  38. 16 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 24 = 16.
  39. {15} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {15} este o mulțime cu elementul 15 din A, deci {15} ⊂ A.
  40. 11 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 4 și 10 apar în ambele, x = 11.
  41. {17} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {17} este o mulțime cu elementul 17 din A, deci {17} ⊂ A.
  42. 3 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 10, 4, 3, adică 3.
  43. 1 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 25, adică 1.
  44. 20 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 10 și 8 apar în ambele, x = 20.
  45. {4} ⊂ A — Un element se leagă de mulțime prin ∈ (x ∈ A), iar o mulțime se leagă de altă mulțime prin ⊂. {4} este o mulțime cu elementul 4 din A, deci {4} ⊂ A.
  46. 16 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 24 = 16.
  47. 32 — O mulțime cu n elemente are 2n submulțimi (inclusiv ∅ și mulțimea însăși): 25 = 32.
  48. 2 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 23, 26, adică 2.
  49. 14 — A = B înseamnă că au aceleași elemente. Cum 6 și 7 apar în ambele, x = 14.
  50. 1 — Elementele lui B \ A sunt cele din afara cercului A: 15, adică 1.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Câte submulțimi cu exact 2 elemente are mulțimea A = {4, 19, 21, 29}?
  2. Fie A = {x ∈ N* | x < 4} și B = {x ∈ N | 4 < x ≤ 7}. Care afirmație este adevărată?
  3. Câte submulțimi cu exact 2 elemente are mulțimea A = {2, 4, 5, 20, 28}?
  4. Câte submulțimi proprii (diferite de A) are mulțimea A = {9, 13, 22, 35, 38}?
  5. Fie A = {x ∈ N* | x < 5} și B = {x ∈ N | x ≤ 9}. Care afirmație este adevărată?
  6. Fie A = {2, 5} și B = {2, 5, 11, 14, 18}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  7. Fie A = {1, 6, 9} și B = {1, 6, 9, 13}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  8. Fie A = {x ∈ N | x ≤ 4} și B = {x ∈ N | x + 2 < 8}. Care afirmație este adevărată?
  9. Fie A = {1, 3, 7, 8, 13, x} cu x ∈ N, card(A) = 6, și B = {1, 3, 7, 8, 13, 17, 19, 20, 27}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  10. Fie A = {x ∈ N | 2x + 1 ≤ 17} și B = {x ∈ N* | x este multiplu de 7, x ≤ 42}. Care afirmație este adevărată?
  11. Fie A = {3, 4, 5} și B = {3, 4, 5, 15}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  12. Câte submulțimi proprii (diferite de A) are mulțimea A = {1, 12, 20, 26, 29, 33}?
  13. Fie A = {x ∈ N | 4 ≤ x < 10} și B = {x ∈ N | x ≤ 4}. Care afirmație este adevărată?
  14. Fie A = {8} și B = {8, 12, 13, 16}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  15. Fie A = {x ∈ N* | x < 5} și B = {x ∈ N | x ≤ 7}. Care afirmație este adevărată?
  16. Fie A = {x ∈ N | 2x + 1 ≤ 13} și B = {x ∈ N | x2 < 50}. Care afirmație este adevărată?
  17. Fie A = {1, 4, 11, 12, x} cu x ∈ N, card(A) = 5, și B = {1, 4, 11, 12, 18, 23}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  18. Fie A = {x ∈ N | x + 5 < 10} și B = {x ∈ N | 1 ≤ x < 4}. Care afirmație este adevărată?
  19. Fie A = {1, 7} și B = {1, 7, 17, 27, 28}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  20. Fie A = {x ∈ N | 2 ≤ x < 8} și B = {x ∈ N | x ≤ 8}. Care afirmație este adevărată?
  21. Fie A = {3, 5, 6, 11, x} cu x ∈ N, card(A) = 5, și B = {3, 5, 6, 11, 16, 26, 29}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  22. Câte submulțimi cu exact 4 elemente are mulțimea A = {1, 4, 15, 18, 23}?
  23. Câte submulțimi proprii (diferite de A) are mulțimea A = {2, 29, 38}?
  24. Fie A = {8} și B = {8, 12, 24, 29}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  25. Fie A = {4, 5, 7, 8, 9, x} cu x ∈ N, card(A) = 6, și B = {4, 5, 7, 8, 9, 16, 24, 29}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  26. Câte submulțimi cu exact 1 element are mulțimea A = {2, 12, 18, 19, 24}?
  27. Câte submulțimi cu exact 4 elemente are mulțimea A = {5, 15, 20, 22, 27}?
  28. Câte submulțimi cu exact 4 elemente are mulțimea A = {1, 5, 15, 16, 21, 23}?
  29. Fie A = {x ∈ N | 2x + 1 ≤ 13} și B = {x ∈ N | x ≤ 7}. Care afirmație este adevărată?
  30. Câte submulțimi proprii (diferite de A) are mulțimea A = {8, 11, 26, 34}?
  31. Fie A = {4, 5, 9, 11, x} cu x ∈ N, card(A) = 5, și B = {4, 5, 9, 11, 19, 25}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  32. Câte submulțimi proprii (diferite de A) are mulțimea A = {14, 20, 33}?
  33. Fie A = {5, 14, x} cu x ∈ N, card(A) = 3, și B = {5, 14, 24, 25}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  34. Fie A = {x ∈ N* | x este multiplu de 6, x ≤ 18} și B = {x ∈ N | x + 5 < 14}. Care afirmație este adevărată?
  35. Câte submulțimi nevide are mulțimea A = {17, 23, 30, 33, 38}?
  36. Fie A = {x ∈ N | 4 ≤ x < 9} și B = {x ∈ N | 2 ≤ x < 5}. Care afirmație este adevărată?
  37. Fie A = {4, 7, 8, 10, x} cu x ∈ N, card(A) = 5, și B = {4, 7, 8, 10, 23, 24, 28}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  38. Fie A = {x ∈ N | x < 4} și B = {x ∈ N | x ≤ 4}. Care afirmație este adevărată?
  39. Fie A = {4} și B = {4, 14, 15}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  40. Fie A = {6, 10, 13, x} cu x ∈ N, card(A) = 4, și B = {6, 10, 13, 21, 23, 25, 27}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  41. Câte submulțimi cu exact 3 elemente are mulțimea A = {11, 19, 22, 27}?
  42. Fie A = {8} și B = {8, 12}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  43. Câte submulțimi proprii (diferite de A) are mulțimea A = {1, 5, 6, 15, 18, 30}?
  44. Câte submulțimi nevide are mulțimea A = {24, 30, 32}?
  45. Fie A = {2, 9, 12, 13, 14, x} cu x ∈ N, card(A) = 6, și B = {2, 9, 12, 13, 14, 21, 27}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
  46. Fie A = {5, 6, 7} și B = {5, 6, 7, 12, 26}. Câte mulțimi C verifică A ⊂ C ⊂ B (se admit și egalitățile C = A, C = B)?
  47. Câte submulțimi nevide are mulțimea A = {18, 20, 38}?
  48. Câte submulțimi cu exact 3 elemente are mulțimea A = {6, 7, 14, 16, 17}?
  49. Fie A = {x ∈ N | x2 < 50} și B = {x ∈ N | 2 ≤ 2x ≤ 7}. Care afirmație este adevărată?
  50. Fie A = {11, 12, x} cu x ∈ N, card(A) = 3, și B = {11, 12, 20, 24, 29}. Dacă A ⊂ B, câte valori poate lua x?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 6 — Alegem 2 elemente din 4: 6 posibilități.
  2. A ∩ B = ∅ — A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 7}. De aici: A ∩ B = ∅.
  3. 10 — Alegem 2 elemente din 5: 10 posibilități.
  4. 31 — Sunt 25 = 32 submulțimi, iar A însăși nu este proprie: 32 − 1 = 31.
  5. A ⊂ B și A ≠ B — A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. De aici: A ⊂ B și A ≠ B.
  6. 8 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 3 elemente. Sunt 23 = 8 mulțimi.
  7. 2 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 1 element. Sunt 21 = 2 mulțimi.
  8. A ⊂ B și A ≠ B — A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. De aici: A ⊂ B și A ≠ B.
  9. 4 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 5 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 17, 19, 20, 27: 4 valori.
  10. niciuna dintre mulțimi nu este inclusă în cealaltă — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {7, 14, 21, 28, 35, 42}. De aici: niciuna dintre mulțimi nu este inclusă în cealaltă.
  11. 2 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 1 element. Sunt 21 = 2 mulțimi.
  12. 63 — Sunt 26 = 64 submulțimi, iar A însăși nu este proprie: 64 − 1 = 63.
  13. niciuna dintre mulțimi nu este inclusă în cealaltă — A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {0, 1, 2, 3, 4}. De aici: niciuna dintre mulțimi nu este inclusă în cealaltă.
  14. 8 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 3 elemente. Sunt 23 = 8 mulțimi.
  15. A ⊂ B și A ≠ B — A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. De aici: A ⊂ B și A ≠ B.
  16. A ⊂ B și A ≠ B — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. De aici: A ⊂ B și A ≠ B.
  17. 2 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 4 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 18, 23: 2 valori.
  18. B ⊂ A și B ≠ A — A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3}. De aici: B ⊂ A și B ≠ A.
  19. 8 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 3 elemente. Sunt 23 = 8 mulțimi.
  20. A ⊂ B și A ≠ B — A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. De aici: A ⊂ B și A ≠ B.
  21. 3 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 4 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 16, 26, 29: 3 valori.
  22. 5 — Alegem 4 elemente din 5: 5 posibilități.
  23. 7 — Sunt 23 = 8 submulțimi, iar A însăși nu este proprie: 8 − 1 = 7.
  24. 8 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 3 elemente. Sunt 23 = 8 mulțimi.
  25. 3 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 5 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 16, 24, 29: 3 valori.
  26. 5 — Fiecare element dă o submulțime cu un element: 5.
  27. 5 — Alegem 4 elemente din 5: 5 posibilități.
  28. 15 — Alegem 4 elemente din 6: 15 posibilități.
  29. A ⊂ B și A ≠ B — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. De aici: A ⊂ B și A ≠ B.
  30. 15 — Sunt 24 = 16 submulțimi, iar A însăși nu este proprie: 16 − 1 = 15.
  31. 2 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 4 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 19, 25: 2 valori.
  32. 7 — Sunt 23 = 8 submulțimi, iar A însăși nu este proprie: 8 − 1 = 7.
  33. 2 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 2 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 24, 25: 2 valori.
  34. niciuna dintre mulțimi nu este inclusă în cealaltă — A = {6, 12, 18}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. De aici: niciuna dintre mulțimi nu este inclusă în cealaltă.
  35. 31 — Din cele 25 = 32 submulțimi scoatem ∅: 31.
  36. niciuna dintre mulțimi nu este inclusă în cealaltă — A = {4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 3, 4}. De aici: niciuna dintre mulțimi nu este inclusă în cealaltă.
  37. 3 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 4 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 23, 24, 28: 3 valori.
  38. A ⊂ B și A ≠ B — A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4}. De aici: A ⊂ B și A ≠ B.
  39. 4 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 2 elemente. Sunt 22 = 4 mulțimi.
  40. 4 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 3 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 21, 23, 25, 27: 4 valori.
  41. 4 — Alegem 3 elemente din 4: 4 posibilități.
  42. 2 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 1 element. Sunt 21 = 2 mulțimi.
  43. 63 — Sunt 26 = 64 submulțimi, iar A însăși nu este proprie: 64 − 1 = 63.
  44. 7 — Din cele 23 = 8 submulțimi scoatem ∅: 7.
  45. 2 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 5 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 21, 27: 2 valori.
  46. 4 — C conține elementele lui A și, în plus, orice submulțime a mulțimii B \ A, care are 2 elemente. Sunt 22 = 4 mulțimi.
  47. 7 — Din cele 23 = 8 submulțimi scoatem ∅: 7.
  48. 10 — Alegem 3 elemente din 5: 10 posibilități.
  49. B ⊂ A și B ≠ A — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 2, 3}. De aici: B ⊂ A și B ≠ A.
  50. 3 — x trebuie să fie element al lui B și diferit de cele 2 elemente deja scrise (altfel A ar avea mai puține elemente). Rămân elementele 20, 24, 29: 3 valori.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a