Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Unghi la centru

Unghi la centru

Unghiul la centru, măsura unui arc de cerc, arce și unghiuri la centru congruente, corzi congruente.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Unghiul la centru

Un unghi la centru este un unghi cu vârful în centrul cercului. Laturile lui sunt raze și taie cercul în două puncte, care determină două arce: un arc mic (în interiorul unghiului) și un arc mare.

ABO

∠AOB este unghi la centru. Arcul mic AB (desenat îngroșat) corespunde acestui unghi.

m(arc mic AB) = m(∠AOB)  (măsura arcului = măsura unghiului la centru)
Arcul mare: 360° − m(∠AOB)
Un semicerc are 180°, iar cercul întreg are 360°.

Arce și unghiuri la centru

ABCO

Arcele AB, BC, CA au suma 360°

ABCO

AB diametru: ∠AOC și ∠COB sunt suplementare

ABOC

OC bisectoare: arc AC = arc CB

Exemplul 1. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce, cu m(arc AB) = 130° și m(arc BC) = 150°. Cât este m(arc CA)?
Metoda 1 (scădere din 360°). Suma celor trei arce este 360°: m(arc CA) = 360° − 130° − 150° = 80°.
Metoda 2 (ecuație). Notăm m(arc CA) = x. Atunci 130 + 150 + x = 360, deci x = 80°.
Exemplul 2. Un pentagon regulat are vârfurile pe un cerc de centru O. Cât este unghiul la centru determinat de o latură?
Rezolvare. Cele 5 laturi determină 5 arce congruente, deci 5 unghiuri la centru congruente cu suma 360°: 360° : 5 = 72°.
Exemplul 3. [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 100°. Cât este m(arc AC)?
Rezolvare. Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri de 100° : 2 = 50°, iar arcul are măsura unghiului la centru: m(arc AC) = 50°.
Exemplul 4. [AB] este diametru, C este pe cerc și m(∠AOC) = 65°. Cât este m(∠COB)?
Metoda 1 (adiacente suplementare). A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 65° = 115°.
Metoda 2 (prin arce). Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 65°, deci arcul CB are 180° − 65° = 115°; măsura unghiului este aceeași.
Exemplul 5. Arcele determinate de punctele A, B, C pe cerc sunt în raportul 3 : 7 : 8. Cât este cel mai mic arc?
Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 18, iar o parte are 360° : 18 = 20°. Cel mai mic arc are 3 · 20° = 60°.
Metoda 2 (ecuație). Arcele sunt 3k, 7k, 8k. Din 18k = 360 rezultă k = 20, deci cel mai mic arc este 60°.
Exemplul 6. Corzile [AB] și [CD] sunt congruente, iar m(∠AOB) = 70°. Cât este m(∠COD)?
Rezolvare. Corzi congruente determină unghiuri la centru congruente: m(∠COD) = 70°.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 45°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  2. O pizza este tăiată în 3 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  3. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 20°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  4. O pizza este tăiată în 4 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  5. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 150° și m(arc BC) = 90°, cât este m(arc CA)?ABCO
  6. O pizza este tăiată în 24 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  7. Cercul de centru O este împărțit prin 12 puncte în 12 arce congruente. Cât este măsura fiecărui arc?
  8. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 30° și m(arc BC) = 100°, cât este m(arc CA)?ABCO
  9. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 40°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  10. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 70°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  11. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 170°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  12. O pizza este tăiată în 9 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  13. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 130°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  14. O pizza este tăiată în 8 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  15. Cercul de centru O este împărțit prin 9 puncte în 9 arce congruente. Cât este măsura fiecărui arc?
  16. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 55°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  17. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 115°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  18. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 170° și m(arc BC) = 40°, cât este m(arc CA)?ABCO
  19. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 150°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  20. Cercul de centru O este împărțit prin 4 puncte în 4 arce congruente. Cât este măsura fiecărui arc?
  21. Cercul de centru O este împărțit prin 8 puncte în 8 arce congruente. Cât este măsura fiecărui arc?
  22. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 140° și m(arc BC) = 170°, cât este m(arc CA)?ABCO
  23. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 120°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  24. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 170°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  25. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 125°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  26. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 110° și m(arc BC) = 120°, cât este m(arc CA)?ABCO
  27. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 120°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  28. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 80° și m(arc BC) = 70°, cât este m(arc CA)?ABCO
  29. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 25°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  30. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 140°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  31. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 35°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  32. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 165°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  33. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 70° și m(arc BC) = 100°, cât este m(arc CA)?ABCO
  34. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 160°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  35. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 150° și m(arc BC) = 100°, cât este m(arc CA)?ABCO
  36. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 80°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  37. O pizza este tăiată în 6 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  38. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 150°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  39. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 100°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  40. O pizza este tăiată în 5 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  41. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 60°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  42. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 160°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  43. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 140°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  44. O pizza este tăiată în 10 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  45. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 155°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  46. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 40°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  47. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 30°. Care este măsura arcului mic AB?ABO
  48. O pizza este tăiată în 18 felii egale, fiecare cu vârful în centru. Ce unghi are o felie?
  49. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 140° și m(arc BC) = 90°, cât este m(arc CA)?ABCO
  50. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 10°. Cât este m(∠COB)?ABCO
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 45° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 45°.
  2. 120° — Felia este un unghi la centru. Cele 3 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 3 = 120°.
  3. 160° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 20° = 160°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 20°; arcul CB are 180° − 20° = 160°.
  4. 90° — Felia este un unghi la centru. Cele 4 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 4 = 90°.
  5. 120° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 150° + 90° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 240° = 120°.
  6. 15° — Felia este un unghi la centru. Cele 24 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 24 = 15°.
  7. 30° — Cele 12 arce egale acoperă cercul întreg: 360° : 12 = 30°.
  8. 230° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 30° + 100° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 130° = 230°.
  9. 140° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 40° = 140°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 40°; arcul CB are 180° − 40° = 140°.
  10. 110° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 70° = 110°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 70°; arcul CB are 180° − 70° = 110°.
  11. 170° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 170°.
  12. 40° — Felia este un unghi la centru. Cele 9 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 9 = 40°.
  13. 50° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 130° = 50°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 130°; arcul CB are 180° − 130° = 50°.
  14. 45° — Felia este un unghi la centru. Cele 8 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 8 = 45°.
  15. 40° — Cele 9 arce egale acoperă cercul întreg: 360° : 9 = 40°.
  16. 55° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 55°.
  17. 115° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 115°.
  18. 150° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 170° + 40° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 210° = 150°.
  19. 30° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 150° = 30°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 150°; arcul CB are 180° − 150° = 30°.
  20. 90° — Cele 4 arce egale acoperă cercul întreg: 360° : 4 = 90°.
  21. 45° — Cele 8 arce egale acoperă cercul întreg: 360° : 8 = 45°.
  22. 50° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 140° + 170° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 310° = 50°.
  23. 60° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 120° = 60°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 120°; arcul CB are 180° − 120° = 60°.
  24. 10° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 170° = 10°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 170°; arcul CB are 180° − 170° = 10°.
  25. 125° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 125°.
  26. 130° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 110° + 120° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 230° = 130°.
  27. 120° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 120°.
  28. 210° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 80° + 70° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 150° = 210°.
  29. 25° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 25°.
  30. 40° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 140° = 40°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 140°; arcul CB are 180° − 140° = 40°.
  31. 35° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 35°.
  32. 165° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 165°.
  33. 190° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 70° + 100° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 170° = 190°.
  34. 160° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 160°.
  35. 110° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 150° + 100° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 250° = 110°.
  36. 100° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 80° = 100°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 80°; arcul CB are 180° − 80° = 100°.
  37. 60° — Felia este un unghi la centru. Cele 6 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 6 = 60°.
  38. 150° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 150°.
  39. 80° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 100° = 80°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 100°; arcul CB are 180° − 100° = 80°.
  40. 72° — Felia este un unghi la centru. Cele 5 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 5 = 72°.
  41. 120° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 60° = 120°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 60°; arcul CB are 180° − 60° = 120°.
  42. 20° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 160° = 20°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 160°; arcul CB are 180° − 160° = 20°.
  43. 140° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 140°.
  44. 36° — Felia este un unghi la centru. Cele 10 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 10 = 36°.
  45. 155° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 155°.
  46. 40° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 40°.
  47. 30° — Măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: arcul mic AB are 30°.
  48. 20° — Felia este un unghi la centru. Cele 18 felii formează un unghi plin de 360°, deci o felie are 360° : 18 = 20°.
  49. 130° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 140° + 90° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 230° = 130°.
  50. 170° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 10° = 170°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 10°; arcul CB are 180° − 10° = 170°.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 135°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  2. Cercul de centru O este împărțit prin 120 puncte în 120 arce congruente. Cât este măsura fiecărui arc?
  3. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 115°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  4. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 185° și m(arc BC) = 95°, cât este m(arc CA)?ABCO
  5. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 145° și m(arc BC) = 135°, cât este m(arc CA)?ABCO
  6. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 100°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  7. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 24°. Cât este m(arc AC)?ABOC
  8. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 80°. Care este măsura arcului mare AB?ABO
  9. Cercul de centru O este împărțit prin 45 puncte în 45 arce congruente. Cât este măsura fiecărui arc?
  10. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 142°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  11. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 100°. Care este măsura arcului mare AB?ABO
  12. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 135°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  13. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 154°. Cât este m(arc AC)?ABOC
  14. În figură, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 135°. Care este măsura arcului mare AB?ABO
  15. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 76°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  16. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 132°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  17. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 102°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  18. Un unghi la centru are 36°. Câte arce de această măsură acoperă cercul întreg?
  19. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 135° și m(arc BC) = 180°, cât este m(arc CA)?ABCO
  20. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 140° și m(arc BC) = 35°, cât este m(arc CA)?ABCO
  21. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 105° și m(arc BC) = 100°, cât este m(arc CA)?ABCO
  22. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 128°. Cât este m(arc AC)?ABOC
  23. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 78°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  24. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 40°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  25. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 45°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  26. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 170°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  27. Un poligon regulat cu 18 laturi are vârfurile pe un cerc de centru O. Care este măsura unghiului la centru determinat de o latură?
  28. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 140°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  29. Un unghi la centru are 15°. Câte arce de această măsură acoperă cercul întreg?
  30. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 50°. Cât este m(arc AC)?ABOC
  31. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 84°. Cât este m(arc AC)?ABOC
  32. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 104°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  33. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 185° și m(arc BC) = 100°, cât este m(arc CA)?ABCO
  34. Cercul de centru O este împărțit prin 24 puncte în 24 arce congruente. Cât este măsura fiecărui arc?
  35. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 115°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  36. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 20°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  37. Cercul de centru O este împărțit prin 90 puncte în 90 arce congruente. Cât este măsura fiecărui arc?
  38. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 152°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  39. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 134°. Cât este m(arc AC)?ABOC
  40. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 52°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  41. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 150°. Cât este m(arc AC)?ABOC
  42. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 135° și m(arc BC) = 35°, cât este m(arc CA)?ABCO
  43. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 55°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  44. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 175° și m(arc BC) = 145°, cât este m(arc CA)?ABCO
  45. Punctele A, B, C împart cercul de centru O în trei arce. Dacă m(arc AB) = 55° și m(arc BC) = 120°, cât este m(arc CA)?ABCO
  46. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(∠AOC) = 65°. Cât este m(∠COB)?ABCO
  47. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, cu m(∠AOB) = 92°. Cât este m(arc AC)?ABOC
  48. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 155°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
  49. În cercul de centru O, ∠AOB este unghi la centru și m(∠AOB) = 90°. Cât este m(∠OAB)?ABO
  50. [AB] este diametru în cercul de centru O, iar C este un punct al cercului cu m(arc AC) = 25°. Cât este m(arc CB) (pe același semicerc)?ABCO
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 45° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 135°, deci arcul CB are 180° − 135° = 45°.
  2. 3° — Cele 120 arce egale acoperă cercul întreg: 360° : 120 = 3°.
  3. 65° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 115°, deci arcul CB are 180° − 115° = 65°.
  4. 80° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 185° + 95° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 280° = 80°.
  5. 80° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 145° + 135° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 280° = 80°.
  6. 80° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 100°, deci arcul CB are 180° − 100° = 80°.
  7. 12° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente de 24° : 2 = 12°. Arcul are măsura unghiului la centru corespunzător, deci m(arc AC) = 12°.
  8. 280° — Cercul întreg are 360°. Arcul mic are 80°, iar arcul mare este restul: 360° − 80° = 280°.
  9. 8° — Cele 45 arce egale acoperă cercul întreg: 360° : 45 = 8°.
  10. 19° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 142° = 38°, deci m(∠OAB) = 19°.
  11. 260° — Cercul întreg are 360°. Arcul mic are 100°, iar arcul mare este restul: 360° − 100° = 260°.
  12. 45° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 135° = 45°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 135°; arcul CB are 180° − 135° = 45°.
  13. 77° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente de 154° : 2 = 77°. Arcul are măsura unghiului la centru corespunzător, deci m(arc AC) = 77°.
  14. 225° — Cercul întreg are 360°. Arcul mic are 135°, iar arcul mare este restul: 360° − 135° = 225°.
  15. 52° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 76° = 104°, deci m(∠OAB) = 52°.
  16. 24° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 132° = 48°, deci m(∠OAB) = 24°.
  17. 39° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 102° = 78°, deci m(∠OAB) = 39°.
  18. 10 — Numărul arcelor este 360° : 36° = 10.
  19. 45° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 135° + 180° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 315° = 45°.
  20. 185° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 140° + 35° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 175° = 185°.
  21. 155° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 105° + 100° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 205° = 155°.
  22. 64° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente de 128° : 2 = 64°. Arcul are măsura unghiului la centru corespunzător, deci m(arc AC) = 64°.
  23. 51° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 78° = 102°, deci m(∠OAB) = 51°.
  24. 140° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 40°, deci arcul CB are 180° − 40° = 140°.
  25. 135° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 45°, deci arcul CB are 180° − 45° = 135°.
  26. 10° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 170°, deci arcul CB are 180° − 170° = 10°.
  27. 20° — Cele 18 laturi determină 18 unghiuri la centru congruente, cu suma 360°. Fiecare are 360° : 18 = 20°.
  28. 20° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 140° = 40°, deci m(∠OAB) = 20°.
  29. 24 — Numărul arcelor este 360° : 15° = 24.
  30. 25° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente de 50° : 2 = 25°. Arcul are măsura unghiului la centru corespunzător, deci m(arc AC) = 25°.
  31. 42° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente de 84° : 2 = 42°. Arcul are măsura unghiului la centru corespunzător, deci m(arc AC) = 42°.
  32. 38° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 104° = 76°, deci m(∠OAB) = 38°.
  33. 75° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 185° + 100° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 285° = 75°.
  34. 15° — Cele 24 arce egale acoperă cercul întreg: 360° : 24 = 15°.
  35. 65° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 115° = 65°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 115°; arcul CB are 180° − 115° = 65°.
  36. 160° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 20°, deci arcul CB are 180° − 20° = 160°.
  37. 4° — Cele 90 arce egale acoperă cercul întreg: 360° : 90 = 4°.
  38. 14° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 152° = 28°, deci m(∠OAB) = 14°.
  39. 67° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente de 134° : 2 = 67°. Arcul are măsura unghiului la centru corespunzător, deci m(arc AC) = 67°.
  40. 64° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 52° = 128°, deci m(∠OAB) = 64°.
  41. 75° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente de 150° : 2 = 75°. Arcul are măsura unghiului la centru corespunzător, deci m(arc AC) = 75°.
  42. 190° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 135° + 35° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 170° = 190°.
  43. 125° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 55°, deci arcul CB are 180° − 55° = 125°.
  44. 40° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 175° + 145° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 320° = 40°.
  45. 185° — Cele trei arce formează tot cercul, deci au suma 360°: 55° + 120° + m(arc CA) = 360°. De aici m(arc CA) = 360° − 175° = 185°.
  46. 115° — Metoda 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∠AOC și ∠COB sunt adiacente suplementare: m(∠COB) = 180° − 65° = 115°.
    Metoda 2. Semicercul AB are 180°, iar arcul AC are 65°; arcul CB are 180° − 65° = 115°.
  47. 46° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente de 92° : 2 = 46°. Arcul are măsura unghiului la centru corespunzător, deci m(arc AC) = 46°.
  48. 25° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 155°, deci arcul CB are 180° − 155° = 25°.
  49. 45° — OA = OB (raze), deci triunghiul OAB este isoscel. Cele două unghiuri de la bază au suma 180° − 90° = 90°, deci m(∠OAB) = 45°.
  50. 155° — Semicercul AB are 180°. Arcul AC are 25°, deci arcul CB are 180° − 25° = 155°.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (5x + 7)°, m(arc BC) = (4x + 15)° și m(arc CA) = (x + 78)°. Cât este x?
  2. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 62°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  3. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 19°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  4. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 1 : 5 : 6. Cât este măsura celui mai mic arc?
  5. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 2 : 4 : 6. Cât este măsura celui mai mic arc?
  6. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 71°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  7. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (4x + 11)°, m(arc BC) = (5x + 13)° și m(arc CA) = (2x + 6)°. Cât este x?
  8. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (x + 11)°, m(arc BC) = (2x + 17)° și m(arc CA) = (4x + 143)°. Cât este x?
  9. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 1 : 3 : 5. Cât este măsura celui mai mic arc?
  10. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 27°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  11. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 47°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  12. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (3x)°, m(arc BC) = (x + 9)° și m(arc CA) = (4x + 135)°. Cât este m(arc AB)?
  13. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (3x + 13)°, m(arc BC) = (4x + 14)° și m(arc CA) = (5x + 69)°. Cât este x?
  14. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 3 : 5 : 7. Cât este măsura celui mai mic arc?
  15. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (4x)°, m(arc BC) = (5x + 2)° și m(arc CA) = (2x + 28)°. Cât este m(arc AB)?
  16. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 1 : 3 : 6. Cât este măsura celui mai mic arc?
  17. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 3 : 4 : 8. Cât este măsura celui mai mic arc?
  18. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 46°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  19. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 25°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  20. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 77°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  21. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 17°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  22. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 2 : 5 : 8. Cât este măsura celui mai mic arc?
  23. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 84°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  24. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 5 : 6 : 7. Cât este măsura celui mai mic arc?
  25. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 1 : 4 : 7. Cât este măsura celui mai mic arc?
  26. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 2 : 3 : 5. Cât este măsura celui mai mic arc?
  27. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 51°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  28. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 12°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  29. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (5x + 9)°, m(arc BC) = (5x + 7)° și m(arc CA) = (3x + 97)°. Cât este x?
  30. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 39°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  31. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 28°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  32. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (5x + 18)°, m(arc BC) = (2x)° și m(arc CA) = (5x + 6)°. Cât este m(arc AB)?
  33. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 23°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  34. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 3 : 7 : 8. Cât este măsura celui mai mic arc?
  35. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 16°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  36. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (5x + 1)°, m(arc BC) = (3x + 17)° și m(arc CA) = (5x + 82)°. Cât este x?
  37. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 44°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  38. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 58°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  39. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 2 : 6 : 7. Cât este măsura celui mai mic arc?
  40. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 10°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  41. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 69°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  42. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 1 : 4 : 5. Cât este măsura celui mai mic arc?
  43. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 1 : 6 : 8. Cât este măsura celui mai mic arc?
  44. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 72°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  45. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (4x + 3)°, m(arc BC) = (4x + 8)° și m(arc CA) = (3x + 107)°. Cât este m(arc AB)?
  46. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 61°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
  47. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (2x + 12)°, m(arc BC) = (3x + 9)° și m(arc CA) = (5x + 59)°. Cât este m(arc AB)?
  48. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce cu măsurile în raportul 4 : 5 : 6. Cât este măsura celui mai mic arc?
  49. Punctele A, B, C împart cercul în trei arce: m(arc AB) = (2x + 5)°, m(arc BC) = (4x + 4)° și m(arc CA) = (5x + 65)°. Cât este x?
  50. În figură, [OC este bisectoarea unghiului la centru AOB, iar m(arc AC) = 15°. Cât este m(∠AOB)?ABOC
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 26 — Cele trei arce au suma 360°: (5x + 7) + (4x + 15) + (x + 78) = 360, deci 10x + 100 = 360, adică 10x = 260 și x = 26.
    Verificare: 137° + 119° + 104° = 360°.
  2. 124° — Arcul AC are 62°, deci ∠AOC are 62°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 62° = 124°.
  3. 38° — Arcul AC are 19°, deci ∠AOC are 19°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 19° = 38°.
  4. 30° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 5 + 6 = 12, iar o parte are 360° : 12 = 30°. Cel mai mic arc are 1 · 30° = 30°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 1k, 5k, 6k, iar 12k = 360, deci k = 30; cel mai mic arc este 30°.
  5. 60° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 2 + 4 + 6 = 12, iar o parte are 360° : 12 = 30°. Cel mai mic arc are 2 · 30° = 60°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 2k, 4k, 6k, iar 12k = 360, deci k = 30; cel mai mic arc este 60°.
  6. 142° — Arcul AC are 71°, deci ∠AOC are 71°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 71° = 142°.
  7. 30 — Cele trei arce au suma 360°: (4x + 11) + (5x + 13) + (2x + 6) = 360, deci 11x + 30 = 360, adică 11x = 330 și x = 30.
    Verificare: 131° + 163° + 66° = 360°.
  8. 27 — Cele trei arce au suma 360°: (x + 11) + (2x + 17) + (4x + 143) = 360, deci 7x + 171 = 360, adică 7x = 189 și x = 27.
    Verificare: 38° + 71° + 251° = 360°.
  9. 40° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 3 + 5 = 9, iar o parte are 360° : 9 = 40°. Cel mai mic arc are 1 · 40° = 40°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 1k, 3k, 5k, iar 9k = 360, deci k = 40; cel mai mic arc este 40°.
  10. 54° — Arcul AC are 27°, deci ∠AOC are 27°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 27° = 54°.
  11. 94° — Arcul AC are 47°, deci ∠AOC are 47°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 47° = 94°.
  12. 81° — Suma arcelor este 360°: 8x + 144 = 360, deci 8x = 216 și x = 27. Atunci m(arc AB) = 3·27 + 0 = 81°.
  13. 22 — Cele trei arce au suma 360°: (3x + 13) + (4x + 14) + (5x + 69) = 360, deci 12x + 96 = 360, adică 12x = 264 și x = 22.
    Verificare: 79° + 102° + 179° = 360°.
  14. 72° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 3 + 5 + 7 = 15, iar o parte are 360° : 15 = 24°. Cel mai mic arc are 3 · 24° = 72°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 3k, 5k, 7k, iar 15k = 360, deci k = 24; cel mai mic arc este 72°.
  15. 120° — Suma arcelor este 360°: 11x + 30 = 360, deci 11x = 330 și x = 30. Atunci m(arc AB) = 4·30 + 0 = 120°.
  16. 36° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 3 + 6 = 10, iar o parte are 360° : 10 = 36°. Cel mai mic arc are 1 · 36° = 36°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 1k, 3k, 6k, iar 10k = 360, deci k = 36; cel mai mic arc este 36°.
  17. 72° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 3 + 4 + 8 = 15, iar o parte are 360° : 15 = 24°. Cel mai mic arc are 3 · 24° = 72°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 3k, 4k, 8k, iar 15k = 360, deci k = 24; cel mai mic arc este 72°.
  18. 92° — Arcul AC are 46°, deci ∠AOC are 46°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 46° = 92°.
  19. 50° — Arcul AC are 25°, deci ∠AOC are 25°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 25° = 50°.
  20. 154° — Arcul AC are 77°, deci ∠AOC are 77°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 77° = 154°.
  21. 34° — Arcul AC are 17°, deci ∠AOC are 17°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 17° = 34°.
  22. 48° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 2 + 5 + 8 = 15, iar o parte are 360° : 15 = 24°. Cel mai mic arc are 2 · 24° = 48°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 2k, 5k, 8k, iar 15k = 360, deci k = 24; cel mai mic arc este 48°.
  23. 168° — Arcul AC are 84°, deci ∠AOC are 84°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 84° = 168°.
  24. 100° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 5 + 6 + 7 = 18, iar o parte are 360° : 18 = 20°. Cel mai mic arc are 5 · 20° = 100°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 5k, 6k, 7k, iar 18k = 360, deci k = 20; cel mai mic arc este 100°.
  25. 30° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 4 + 7 = 12, iar o parte are 360° : 12 = 30°. Cel mai mic arc are 1 · 30° = 30°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 1k, 4k, 7k, iar 12k = 360, deci k = 30; cel mai mic arc este 30°.
  26. 72° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 2 + 3 + 5 = 10, iar o parte are 360° : 10 = 36°. Cel mai mic arc are 2 · 36° = 72°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 2k, 3k, 5k, iar 10k = 360, deci k = 36; cel mai mic arc este 72°.
  27. 102° — Arcul AC are 51°, deci ∠AOC are 51°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 51° = 102°.
  28. 24° — Arcul AC are 12°, deci ∠AOC are 12°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 12° = 24°.
  29. 19 — Cele trei arce au suma 360°: (5x + 9) + (5x + 7) + (3x + 97) = 360, deci 13x + 113 = 360, adică 13x = 247 și x = 19.
    Verificare: 104° + 102° + 154° = 360°.
  30. 78° — Arcul AC are 39°, deci ∠AOC are 39°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 39° = 78°.
  31. 56° — Arcul AC are 28°, deci ∠AOC are 28°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 28° = 56°.
  32. 158° — Suma arcelor este 360°: 12x + 24 = 360, deci 12x = 336 și x = 28. Atunci m(arc AB) = 5·28 + 18 = 158°.
  33. 46° — Arcul AC are 23°, deci ∠AOC are 23°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 23° = 46°.
  34. 60° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 3 + 7 + 8 = 18, iar o parte are 360° : 18 = 20°. Cel mai mic arc are 3 · 20° = 60°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 3k, 7k, 8k, iar 18k = 360, deci k = 20; cel mai mic arc este 60°.
  35. 32° — Arcul AC are 16°, deci ∠AOC are 16°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 16° = 32°.
  36. 20 — Cele trei arce au suma 360°: (5x + 1) + (3x + 17) + (5x + 82) = 360, deci 13x + 100 = 360, adică 13x = 260 și x = 20.
    Verificare: 101° + 77° + 182° = 360°.
  37. 88° — Arcul AC are 44°, deci ∠AOC are 44°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 44° = 88°.
  38. 116° — Arcul AC are 58°, deci ∠AOC are 58°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 58° = 116°.
  39. 48° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 2 + 6 + 7 = 15, iar o parte are 360° : 15 = 24°. Cel mai mic arc are 2 · 24° = 48°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 2k, 6k, 7k, iar 15k = 360, deci k = 24; cel mai mic arc este 48°.
  40. 20° — Arcul AC are 10°, deci ∠AOC are 10°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 10° = 20°.
  41. 138° — Arcul AC are 69°, deci ∠AOC are 69°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 69° = 138°.
  42. 36° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 4 + 5 = 10, iar o parte are 360° : 10 = 36°. Cel mai mic arc are 1 · 36° = 36°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 1k, 4k, 5k, iar 10k = 360, deci k = 36; cel mai mic arc este 36°.
  43. 24° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 1 + 6 + 8 = 15, iar o parte are 360° : 15 = 24°. Cel mai mic arc are 1 · 24° = 24°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 1k, 6k, 8k, iar 15k = 360, deci k = 24; cel mai mic arc este 24°.
  44. 144° — Arcul AC are 72°, deci ∠AOC are 72°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 72° = 144°.
  45. 91° — Suma arcelor este 360°: 11x + 118 = 360, deci 11x = 242 și x = 22. Atunci m(arc AB) = 4·22 + 3 = 91°.
  46. 122° — Arcul AC are 61°, deci ∠AOC are 61°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 61° = 122°.
  47. 68° — Suma arcelor este 360°: 10x + 80 = 360, deci 10x = 280 și x = 28. Atunci m(arc AB) = 2·28 + 12 = 68°.
  48. 96° — Metoda 1 (părți egale). Suma părților este 4 + 5 + 6 = 15, iar o parte are 360° : 15 = 24°. Cel mai mic arc are 4 · 24° = 96°.
    Metoda 2 (ecuație). Arcurile sunt 4k, 5k, 6k, iar 15k = 360, deci k = 24; cel mai mic arc este 96°.
  49. 26 — Cele trei arce au suma 360°: (2x + 5) + (4x + 4) + (5x + 65) = 360, deci 11x + 74 = 360, adică 11x = 286 și x = 26.
    Verificare: 57° + 108° + 195° = 360°.
  50. 30° — Arcul AC are 15°, deci ∠AOC are 15°. Bisectoarea dă ∠AOC = ∠COB, deci m(∠AOB) = 2 · 15° = 30°.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a