Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 6-a › Unghiuri în plan: recapitulare

Unghiuri în plan: recapitulare

Clasificarea unghiurilor, măsurarea în grade și minute, bisectoarea unui unghi, unghiul dintre acele ceasornicului, numărul de unghiuri formate de mai multe semidrepte.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Ce este un unghi?

Un unghi este figura formată din două semidrepte cu aceeași origine. Origina se numește vârf, iar semidreptele sunt laturile unghiului. Unghiul ∠AOB are vârful O și laturile [OA și [OB. Se măsoară cu raportorul, în grade (°).

Tipuri de unghiuri

ABO

ascuțit: între 0° și 90°

ABO

drept: 90°

ABO

obtuz: între 90° și 180°

ABO

alungit: 180°

TipulMăsuraExemplu
nul0°semidrepte suprapuse
ascuțitîntre 0° și 90°35°
drept90°colțul unei foi
obtuzîntre 90° și 180°120°
alungit180°semidrepte opuse
plin360°o rotație completă

Grade și minute

1° = 60′ (minute) și 1′ = 60″ (secunde). Când adunăm sau scădem unghiuri, la fel ca la ore și minute, 60′ se transformă în 1°.

48°35′ + 25°40′ = 73°75′ = 74°15′  (75′ = 1°15′)
180° − 47°20′ = 179°60′ − 47°20′ = 132°40′

Bisectoarea unui unghi

ABMO
Bisectoarea unghiului ∠AOB este semidreapta [OM, interioară unghiului, care îl împarte în două unghiuri congruente.
m(∠AOM) = m(∠MOB) = m(∠AOB) : 2

Unghiul dintre acele ceasornicului

Cadranul are 12 ore, deci între două ore consecutive sunt 360° : 12 = 30°. Acul mare face 360° în 60 de minute (6° pe minut), iar acul mic face 30° în 60 de minute (0,5° pe minut).

12369

ora 4:00 → unghi de 4 · 30° = 120°

12369

ora 2:30 → unghi de 105°

Câte unghiuri formează mai multe semidrepte?

Din același punct O pornesc n semidrepte. Fiecare pereche de semidrepte determină un unghi, deci numărul de unghiuri este numărul perechilor: n(n − 1) : 2.

Exemplul 1. Calculează 48°35′ + 25°40′.
Metoda 1 (în coloană). Adunăm separat: 48° + 25° = 73° și 35′ + 40′ = 75′. Cum 75′ = 1°15′, rezultatul este 73° + 1°15′ = 74°15′.
Metoda 2 (totul în minute). 48°35′ = 48 · 60′ + 35′ = 2915′ și 25°40′ = 1540′. Suma este 4455′. Cum 4455 : 60 = 74 rest 15, rezultatul este 74°15′.
Exemplul 2. Calculează 180° − 47°20′.
Metoda 1 (împrumut). Scriem 180° = 179°60′. Atunci 179°60′ − 47°20′ = 132°40′.
Metoda 2 (totul în minute). 180° = 10 800′ și 47°20′ = 2 840′. Diferența este 7 960′ = 132° (7 920′) + 40′ = 132°40′.
Exemplul 3. Care este unghiul dintre acele ceasornicului la ora 2:30?
Metoda 1 (poziții față de ora 12). Acul mare indică 6 (jos), la 30 · 6 = 180° de ora 12. Acul mic a parcurs 2 ore și o jumătate de oră: 2 · 30° + 15° = 75°. Unghiul este 180° − 75° = 105°.
Metoda 2 (în „ore” de 30°). De la ora 2 la ora 6 sunt 4 intervale de 30°, adică 120°, dar acul mic a mers deja o jumătate de interval (15°) către ora 3. Unghiul este 120° − 15° = 105°.
Exemplul 4. Din punctul O pornesc 6 semidrepte distincte. Câte unghiuri se formează?
Metoda 1 (numărăm perechile). Prima semidreaptă formează unghiuri cu celelalte 5, a doua cu încă 4 (fără cea deja numărată), apoi 3, 2 și 1: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
Metoda 2 (formula). n(n − 1) : 2 = 6 · 5 : 2 = 15.
Exemplul 5. Bisectoarea unghiului AOB formează unghiuri de 35°. Cât este x, dacă m(∠AOB) = (2x + 10)°?
Rezolvare. m(∠AOB) = 2 · 35° = 70°. Atunci 2x + 10 = 70, deci 2x = 60 și x = 30.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Un unghi cu măsura de 0° este:
    Variante: A) nul  ·  B) ascuțit  ·  C) obtuz  ·  D) drept  ·  E) alungit
  2. Un unghi cu măsura de 176° este:
    Variante: A) drept  ·  B) alungit  ·  C) ascuțit  ·  D) obtuz  ·  E) nul
  3. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 11:00?
  4. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 162°. Cât este m(∠AOM)?
  5. Un unghi cu măsura de 49° este:
    Variante: A) obtuz  ·  B) alungit  ·  C) nul  ·  D) drept  ·  E) ascuțit
  6. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOM) = 34°. Cât este m(∠AOB)?
  7. Cu câte grade se rotește acul minutar în 45 de minute?
  8. Cu câte grade se rotește acul orar în 3 ore?
  9. Un unghi cu măsura de 90° este:
    Variante: A) obtuz  ·  B) drept  ·  C) nul  ·  D) ascuțit  ·  E) alungit
  10. Un unghi cu măsura de 171° este:
    Variante: A) alungit  ·  B) drept  ·  C) obtuz  ·  D) ascuțit  ·  E) nul
  11. Cu câte grade se rotește acul orar în 2 ore?
  12. Un unghi cu măsura de 120° este:
    Variante: A) nul  ·  B) ascuțit  ·  C) obtuz  ·  D) drept  ·  E) alungit
  13. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 46°. Cât este m(∠AOM)?
  14. Cu câte grade se rotește acul minutar în 30 de minute?
  15. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 7:00?
  16. Un unghi cu măsura de 107° este:
    Variante: A) drept  ·  B) nul  ·  C) alungit  ·  D) obtuz  ·  E) ascuțit
  17. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOM) = 32°. Cât este m(∠AOB)?
  18. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 74°. Cât este m(∠AOM)?
  19. Un unghi cu măsura de 10° este:
    Variante: A) alungit  ·  B) obtuz  ·  C) ascuțit  ·  D) nul  ·  E) drept
  20. Un unghi cu măsura de 31° este:
    Variante: A) alungit  ·  B) obtuz  ·  C) ascuțit  ·  D) nul  ·  E) drept
  21. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOM) = 68°. Cât este m(∠AOB)?
  22. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 164°. Cât este m(∠AOM)?
  23. Un unghi cu măsura de 54° este:
    Variante: A) drept  ·  B) alungit  ·  C) ascuțit  ·  D) nul  ·  E) obtuz
  24. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOM) = 70°. Cât este m(∠AOB)?
  25. Un unghi cu măsura de 9° este:
    Variante: A) ascuțit  ·  B) obtuz  ·  C) alungit  ·  D) nul  ·  E) drept
  26. Un unghi cu măsura de 178° este:
    Variante: A) alungit  ·  B) nul  ·  C) ascuțit  ·  D) drept  ·  E) obtuz
  27. Un unghi cu măsura de 16° este:
    Variante: A) alungit  ·  B) nul  ·  C) ascuțit  ·  D) obtuz  ·  E) drept
  28. Un unghi cu măsura de 180° este:
    Variante: A) obtuz  ·  B) ascuțit  ·  C) nul  ·  D) alungit  ·  E) drept
  29. Cu câte grade se rotește acul orar în 6 ore?
  30. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 1:00?
  31. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 24°. Cât este m(∠AOM)?
  32. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOM) = 85°. Cât este m(∠AOB)?
  33. Cu câte grade se rotește acul orar în 7 ore?
  34. Cu câte grade se rotește acul orar în 9 ore?
  35. Un unghi cu măsura de 95° este:
    Variante: A) nul  ·  B) alungit  ·  C) ascuțit  ·  D) drept  ·  E) obtuz
  36. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 134°. Cât este m(∠AOM)?
  37. Un unghi cu măsura de 60° este:
    Variante: A) nul  ·  B) drept  ·  C) ascuțit  ·  D) obtuz  ·  E) alungit
  38. Un unghi cu măsura de 113° este:
    Variante: A) drept  ·  B) nul  ·  C) obtuz  ·  D) ascuțit  ·  E) alungit
  39. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 14°. Cât este m(∠AOM)?
  40. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 10:00?
  41. Un unghi cu măsura de 82° este:
    Variante: A) alungit  ·  B) nul  ·  C) drept  ·  D) obtuz  ·  E) ascuțit
  42. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 9:00?
  43. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 70°. Cât este m(∠AOM)?
  44. Cu câte grade se rotește acul orar în 11 ore?
  45. Un unghi cu măsura de 73° este:
    Variante: A) ascuțit  ·  B) obtuz  ·  C) drept  ·  D) alungit  ·  E) nul
  46. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 160°. Cât este m(∠AOM)?
  47. Semidreapta [OM este bisectoarea unghiului AOB, iar m(∠AOB) = 72°. Cât este m(∠AOM)?
  48. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 8:00?
  49. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 2:00?
  50. Un unghi cu măsura de 101° este:
    Variante: A) drept  ·  B) alungit  ·  C) ascuțit  ·  D) obtuz  ·  E) nul
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. nul — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 0° este nul.
  2. obtuz — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 176° este obtuz.
  3. 30° — Între două numere consecutive de pe cadran sunt 360° : 12 = 30°. La ora 11:00 acele sunt la 1 numere distanță, deci unghiul este 30°.
  4. 81° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 162° : 2 = 81°.
  5. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 49° este ascuțit.
  6. 68° — Cele două unghiuri formate sunt congruente: m(∠AOB) = 2 · 34° = 68°.
  7. 270° — Într-o oră (60 de minute) acul minutar face 360°, deci într-un minut face 6°. În 45 minute: 6° · 45 = 270°.
  8. 90° — Acul orar face 360° în 12 ore, deci 30° într-o oră. În 3 ore: 30° · 3 = 90°.
  9. drept — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 90° este drept.
  10. obtuz — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 171° este obtuz.
  11. 60° — Acul orar face 360° în 12 ore, deci 30° într-o oră. În 2 ore: 30° · 2 = 60°.
  12. obtuz — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 120° este obtuz.
  13. 23° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 46° : 2 = 23°.
  14. 180° — Într-o oră (60 de minute) acul minutar face 360°, deci într-un minut face 6°. În 30 minute: 6° · 30 = 180°.
  15. 150° — Între două numere consecutive de pe cadran sunt 360° : 12 = 30°. La ora 7:00 acele sunt la 5 numere distanță, deci unghiul este 150°.
  16. obtuz — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 107° este obtuz.
  17. 64° — Cele două unghiuri formate sunt congruente: m(∠AOB) = 2 · 32° = 64°.
  18. 37° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 74° : 2 = 37°.
  19. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 10° este ascuțit.
  20. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 31° este ascuțit.
  21. 136° — Cele două unghiuri formate sunt congruente: m(∠AOB) = 2 · 68° = 136°.
  22. 82° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 164° : 2 = 82°.
  23. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 54° este ascuțit.
  24. 140° — Cele două unghiuri formate sunt congruente: m(∠AOB) = 2 · 70° = 140°.
  25. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 9° este ascuțit.
  26. obtuz — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 178° este obtuz.
  27. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 16° este ascuțit.
  28. alungit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 180° este alungit.
  29. 180° — Acul orar face 360° în 12 ore, deci 30° într-o oră. În 6 ore: 30° · 6 = 180°.
  30. 30° — Între două numere consecutive de pe cadran sunt 360° : 12 = 30°. La ora 1:00 acele sunt la 1 numere distanță, deci unghiul este 30°.
  31. 12° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 24° : 2 = 12°.
  32. 170° — Cele două unghiuri formate sunt congruente: m(∠AOB) = 2 · 85° = 170°.
  33. 210° — Acul orar face 360° în 12 ore, deci 30° într-o oră. În 7 ore: 30° · 7 = 210°.
  34. 270° — Acul orar face 360° în 12 ore, deci 30° într-o oră. În 9 ore: 30° · 9 = 270°.
  35. obtuz — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 95° este obtuz.
  36. 67° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 134° : 2 = 67°.
  37. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 60° este ascuțit.
  38. obtuz — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 113° este obtuz.
  39. 7° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 14° : 2 = 7°.
  40. 60° — Între două numere consecutive de pe cadran sunt 360° : 12 = 30°. La ora 10:00 acele sunt la 2 numere distanță, deci unghiul este 60°.
  41. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 82° este ascuțit.
  42. 90° — Între două numere consecutive de pe cadran sunt 360° : 12 = 30°. La ora 9:00 acele sunt la 3 numere distanță, deci unghiul este 90°.
  43. 35° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 70° : 2 = 35°.
  44. 330° — Acul orar face 360° în 12 ore, deci 30° într-o oră. În 11 ore: 30° · 11 = 330°.
  45. ascuțit — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 73° este ascuțit.
  46. 80° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 160° : 2 = 80°.
  47. 36° — Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente: m(∠AOM) = 72° : 2 = 36°.
  48. 120° — Între două numere consecutive de pe cadran sunt 360° : 12 = 30°. La ora 8:00 acele sunt la 4 numere distanță, deci unghiul este 120°.
  49. 60° — Între două numere consecutive de pe cadran sunt 360° : 12 = 30°. La ora 2:00 acele sunt la 2 numere distanță, deci unghiul este 60°.
  50. obtuz — Unghi nul: 0°; ascuțit: între 0° și 90°; drept: 90°; obtuz: între 90° și 180°; alungit: 180°. Deci 101° este obtuz.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Calculează 59° 48′ + 9° 54′.
  2. Calculează 50° 11′ + 39° 4′.
  3. Calculează 31° 59′ + 64° 52′.
  4. Calculează 76° 12′ + 14° 13′.
  5. Calculează 53° 6′ + 60° 50′.
  6. Calculează 48° 45′ + 24° 19′.
  7. Calculează 39° 47′ + 55° 42′.
  8. Calculează 65° 33′ + 32° 57′.
  9. Calculează 23° 2′ + 15° 41′.
  10. Calculează 63° 42′ + 35° 13′.
  11. Calculează 11° 18′ + 12° 13′.
  12. Calculează 12° 36′ + 32° 20′.
  13. Calculează 80° 52′ + 57° 1′.
  14. Calculează 27° 17′ + 66° 53′.
  15. Calculează 43° 20′ + 6° 36′.
  16. Calculează 65° 2′ + 14° 24′.
  17. Calculează 73° 40′ + 52° 57′.
  18. Calculează 52° 35′ + 36° 38′.
  19. Calculează 31° 6′ + 62° 36′.
  20. Calculează 78° 17′ + 69° 41′.
  21. Calculează 65° 46′ + 62° 58′.
  22. Calculează 26° 47′ + 11° 14′.
  23. Calculează 77° 50′ + 38° 43′.
  24. Calculează 25° 31′ + 23° 44′.
  25. Calculează 67° 24′ + 69° 41′.
  26. Calculează 41° 36′ + 41° 18′.
  27. Calculează 32° 25′ + 57° 3′.
  28. Calculează 76° 5′ + 41° 17′.
  29. Calculează 30° 17′ + 38° 31′.
  30. Calculează 78° 54′ + 26° 42′.
  31. Calculează 12° 27′ + 17° 23′.
  32. Calculează 59° 44′ + 19° 52′.
  33. Calculează 17° 4′ + 25° 28′.
  34. Calculează 52° 41′ + 16° 42′.
  35. Calculează 27° 16′ + 5° 58′.
  36. Calculează 21° 56′ + 36° 48′.
  37. Calculează 68° 58′ + 42° 29′.
  38. Calculează 17° 29′ + 9° 10′.
  39. Calculează 28° 25′ + 56° 38′.
  40. Calculează 22° 19′ + 46° 11′.
  41. Calculează 69° 5′ + 61° 14′.
  42. Calculează 47° 30′ + 53° 19′.
  43. Calculează 30° 30′ + 45° 2′.
  44. Calculează 63° 19′ + 63° 29′.
  45. Calculează 15° 37′ + 55° 22′.
  46. Calculează 42° 58′ + 6° 6′.
  47. Calculează 27° 17′ + 17° 40′.
  48. Calculează 12° 42′ + 24° 17′.
  49. Calculează 35° 28′ + 17° 28′.
  50. Calculează 65° 7′ + 15° 5′.
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 69° 42′ — Adunăm minutele (48′ + 54′ = 102′) și gradele (59° + 9° = 68°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 69° 42′.
  2. 89° 15′ — Adunăm minutele (11′ + 4′ = 15′) și gradele (50° + 39° = 89°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 89° 15′.
  3. 96° 51′ — Adunăm minutele (59′ + 52′ = 111′) și gradele (31° + 64° = 95°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 96° 51′.
  4. 90° 25′ — Adunăm minutele (12′ + 13′ = 25′) și gradele (76° + 14° = 90°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 90° 25′.
  5. 113° 56′ — Adunăm minutele (6′ + 50′ = 56′) și gradele (53° + 60° = 113°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 113° 56′.
  6. 73° 4′ — Adunăm minutele (45′ + 19′ = 64′) și gradele (48° + 24° = 72°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 73° 4′.
  7. 95° 29′ — Adunăm minutele (47′ + 42′ = 89′) și gradele (39° + 55° = 94°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 95° 29′.
  8. 98° 30′ — Adunăm minutele (33′ + 57′ = 90′) și gradele (65° + 32° = 97°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 98° 30′.
  9. 38° 43′ — Adunăm minutele (2′ + 41′ = 43′) și gradele (23° + 15° = 38°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 38° 43′.
  10. 98° 55′ — Adunăm minutele (42′ + 13′ = 55′) și gradele (63° + 35° = 98°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 98° 55′.
  11. 23° 31′ — Adunăm minutele (18′ + 13′ = 31′) și gradele (11° + 12° = 23°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 23° 31′.
  12. 44° 56′ — Adunăm minutele (36′ + 20′ = 56′) și gradele (12° + 32° = 44°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 44° 56′.
  13. 137° 53′ — Adunăm minutele (52′ + 1′ = 53′) și gradele (80° + 57° = 137°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 137° 53′.
  14. 94° 10′ — Adunăm minutele (17′ + 53′ = 70′) și gradele (27° + 66° = 93°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 94° 10′.
  15. 49° 56′ — Adunăm minutele (20′ + 36′ = 56′) și gradele (43° + 6° = 49°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 49° 56′.
  16. 79° 26′ — Adunăm minutele (2′ + 24′ = 26′) și gradele (65° + 14° = 79°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 79° 26′.
  17. 126° 37′ — Adunăm minutele (40′ + 57′ = 97′) și gradele (73° + 52° = 125°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 126° 37′.
  18. 89° 13′ — Adunăm minutele (35′ + 38′ = 73′) și gradele (52° + 36° = 88°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 89° 13′.
  19. 93° 42′ — Adunăm minutele (6′ + 36′ = 42′) și gradele (31° + 62° = 93°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 93° 42′.
  20. 147° 58′ — Adunăm minutele (17′ + 41′ = 58′) și gradele (78° + 69° = 147°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 147° 58′.
  21. 128° 44′ — Adunăm minutele (46′ + 58′ = 104′) și gradele (65° + 62° = 127°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 128° 44′.
  22. 38° 1′ — Adunăm minutele (47′ + 14′ = 61′) și gradele (26° + 11° = 37°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 38° 1′.
  23. 116° 33′ — Adunăm minutele (50′ + 43′ = 93′) și gradele (77° + 38° = 115°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 116° 33′.
  24. 49° 15′ — Adunăm minutele (31′ + 44′ = 75′) și gradele (25° + 23° = 48°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 49° 15′.
  25. 137° 5′ — Adunăm minutele (24′ + 41′ = 65′) și gradele (67° + 69° = 136°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 137° 5′.
  26. 82° 54′ — Adunăm minutele (36′ + 18′ = 54′) și gradele (41° + 41° = 82°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 82° 54′.
  27. 89° 28′ — Adunăm minutele (25′ + 3′ = 28′) și gradele (32° + 57° = 89°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 89° 28′.
  28. 117° 22′ — Adunăm minutele (5′ + 17′ = 22′) și gradele (76° + 41° = 117°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 117° 22′.
  29. 68° 48′ — Adunăm minutele (17′ + 31′ = 48′) și gradele (30° + 38° = 68°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 68° 48′.
  30. 105° 36′ — Adunăm minutele (54′ + 42′ = 96′) și gradele (78° + 26° = 104°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 105° 36′.
  31. 29° 50′ — Adunăm minutele (27′ + 23′ = 50′) și gradele (12° + 17° = 29°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 29° 50′.
  32. 79° 36′ — Adunăm minutele (44′ + 52′ = 96′) și gradele (59° + 19° = 78°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 79° 36′.
  33. 42° 32′ — Adunăm minutele (4′ + 28′ = 32′) și gradele (17° + 25° = 42°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 42° 32′.
  34. 69° 23′ — Adunăm minutele (41′ + 42′ = 83′) și gradele (52° + 16° = 68°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 69° 23′.
  35. 33° 14′ — Adunăm minutele (16′ + 58′ = 74′) și gradele (27° + 5° = 32°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 33° 14′.
  36. 58° 44′ — Adunăm minutele (56′ + 48′ = 104′) și gradele (21° + 36° = 57°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 58° 44′.
  37. 111° 27′ — Adunăm minutele (58′ + 29′ = 87′) și gradele (68° + 42° = 110°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 111° 27′.
  38. 26° 39′ — Adunăm minutele (29′ + 10′ = 39′) și gradele (17° + 9° = 26°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 26° 39′.
  39. 85° 3′ — Adunăm minutele (25′ + 38′ = 63′) și gradele (28° + 56° = 84°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 85° 3′.
  40. 68° 30′ — Adunăm minutele (19′ + 11′ = 30′) și gradele (22° + 46° = 68°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 68° 30′.
  41. 130° 19′ — Adunăm minutele (5′ + 14′ = 19′) și gradele (69° + 61° = 130°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 130° 19′.
  42. 100° 49′ — Adunăm minutele (30′ + 19′ = 49′) și gradele (47° + 53° = 100°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 100° 49′.
  43. 75° 32′ — Adunăm minutele (30′ + 2′ = 32′) și gradele (30° + 45° = 75°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 75° 32′.
  44. 126° 48′ — Adunăm minutele (19′ + 29′ = 48′) și gradele (63° + 63° = 126°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 126° 48′.
  45. 70° 59′ — Adunăm minutele (37′ + 22′ = 59′) și gradele (15° + 55° = 70°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 70° 59′.
  46. 49° 4′ — Adunăm minutele (58′ + 6′ = 64′) și gradele (42° + 6° = 48°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 49° 4′.
  47. 44° 57′ — Adunăm minutele (17′ + 40′ = 57′) și gradele (27° + 17° = 44°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 44° 57′.
  48. 36° 59′ — Adunăm minutele (42′ + 17′ = 59′) și gradele (12° + 24° = 36°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 36° 59′.
  49. 52° 56′ — Adunăm minutele (28′ + 28′ = 56′) și gradele (35° + 17° = 52°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 52° 56′.
  50. 80° 12′ — Adunăm minutele (7′ + 5′ = 12′) și gradele (65° + 15° = 80°), apoi 60′ = 1°: rezultatul este 80° 12′.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Din punctul O pornesc 4 semidrepte, oricare două formând un unghi diferit de cel alungit. Câte unghiuri se formează?
  2. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 1:30?
  3. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 5:30?
  4. Calculează 180° − 67° 12′.
  5. Din punctul O pornesc 5 semidrepte, oricare două formând un unghi diferit de cel alungit. Câte unghiuri se formează?
  6. Calculează 180° − 80° 30′.
  7. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 6:30?
  8. [OM este bisectoarea ∠AOB, cu m(∠AOB) = (5x + 40)° și m(∠AOM) = (3x + 8)°. Care este valoarea lui x?
  9. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 7:30?
  10. Calculează 180° − 62° 50′.
  11. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 2:30?
  12. Calculează 180° − 61° 55′.
  13. Calculează 180° − 38° 48′.
  14. Din punctul O pornesc 8 semidrepte, oricare două formând un unghi diferit de cel alungit. Câte unghiuri se formează?
  15. Calculează 180° − 36° 41′.
  16. [OM este bisectoarea ∠AOB, cu m(∠AOB) = (9x + 56)° și m(∠AOM) = (6x + 16)°. Care este valoarea lui x?
  17. Calculează 180° − 119° 13′.
  18. Din punctul O pornesc 9 semidrepte, oricare două formând un unghi diferit de cel alungit. Câte unghiuri se formează?
  19. Din punctul O pornesc 6 semidrepte, oricare două formând un unghi diferit de cel alungit. Câte unghiuri se formează?
  20. Calculează 180° − 28° 51′.
  21. Calculează 180° − 92° 51′.
  22. Calculează 180° − 73° 57′.
  23. [OM este bisectoarea ∠AOB, cu m(∠AOB) = (6x + 40)° și m(∠AOM) = (5x + 8)°. Care este valoarea lui x?
  24. Calculează 180° − 27° 13′.
  25. Din punctul O pornesc 7 semidrepte, oricare două formând un unghi diferit de cel alungit. Câte unghiuri se formează?
  26. Calculează 180° − 107° 25′.
  27. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 9:30?
  28. Calculează 180° − 76° 2′.
  29. Calculează 180° − 76° 41′.
  30. Calculează 180° − 108° 19′.
  31. Calculează 180° − 25° 22′.
  32. Calculează 180° − 50° 15′.
  33. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 3:30?
  34. Calculează 180° − 63° 1′.
  35. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 10:30?
  36. Calculează 180° − 65° 10′.
  37. Calculează 180° − 25° 13′.
  38. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 4:30?
  39. Calculează 180° − 61° 8′.
  40. Calculează 180° − 105° 25′.
  41. [OM este bisectoarea ∠AOB, cu m(∠AOB) = (9x + 54)° și m(∠AOM) = (6x + 15)°. Care este valoarea lui x?
  42. [OM este bisectoarea ∠AOB, cu m(∠AOB) = (7x + 30)° și m(∠AOM) = (5x + 3)°. Care este valoarea lui x?
  43. Calculează 180° − 90° 28′.
  44. Calculează 180° − 57° 3′.
  45. Calculează 180° − 34° 42′.
  46. Calculează 180° − 100° 6′.
  47. [OM este bisectoarea ∠AOB, cu m(∠AOB) = (9x + 31)° și m(∠AOM) = (5x + 8)°. Care este valoarea lui x?
  48. [OM este bisectoarea ∠AOB, cu m(∠AOB) = (5x + 18)° și m(∠AOM) = (2x + 21)°. Care este valoarea lui x?
  49. Care este măsura (convexă) a unghiului format de acele ceasornicului la ora 8:30?
  50. [OM este bisectoarea ∠AOB, cu m(∠AOB) = (5x + 53)° și m(∠AOM) = (4x + 4)°. Care este valoarea lui x?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 6 — Fiecare pereche de semidrepte determină un unghi, adică 4·3:2 = 6 unghiuri.
  2. 135° — La ora 1:30 acul orar este la 45° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |45 − 180| = 135°, deci unghiul convex este 135°.
  3. 15° — La ora 5:30 acul orar este la 165° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |165 − 180| = 15°, deci unghiul convex este 15°.
  4. 112° 48′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 67° 12′ = 112° 48′.
  5. 10 — Fiecare pereche de semidrepte determină un unghi, adică 5·4:2 = 10 unghiuri.
  6. 99° 30′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 80° 30′ = 99° 30′.
  7. 15° — La ora 6:30 acul orar este la 195° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |195 − 180| = 15°, deci unghiul convex este 15°.
  8. 24 — m(∠AOB) = 2 · m(∠AOM), deci 5x + 40 = 2(3x + 8) = 6x + 16. Rezultă −1x = −24, deci x = 24.
  9. 45° — La ora 7:30 acul orar este la 225° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |225 − 180| = 45°, deci unghiul convex este 45°.
  10. 117° 10′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 62° 50′ = 117° 10′.
  11. 105° — La ora 2:30 acul orar este la 75° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |75 − 180| = 105°, deci unghiul convex este 105°.
  12. 118° 5′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 61° 55′ = 118° 5′.
  13. 141° 12′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 38° 48′ = 141° 12′.
  14. 28 — Fiecare pereche de semidrepte determină un unghi, adică 8·7:2 = 28 unghiuri.
  15. 143° 19′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 36° 41′ = 143° 19′.
  16. 8 — m(∠AOB) = 2 · m(∠AOM), deci 9x + 56 = 2(6x + 16) = 12x + 32. Rezultă −3x = −24, deci x = 8.
  17. 60° 47′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 119° 13′ = 60° 47′.
  18. 36 — Fiecare pereche de semidrepte determină un unghi, adică 9·8:2 = 36 unghiuri.
  19. 15 — Fiecare pereche de semidrepte determină un unghi, adică 6·5:2 = 15 unghiuri.
  20. 151° 9′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 28° 51′ = 151° 9′.
  21. 87° 9′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 92° 51′ = 87° 9′.
  22. 106° 3′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 73° 57′ = 106° 3′.
  23. 6 — m(∠AOB) = 2 · m(∠AOM), deci 6x + 40 = 2(5x + 8) = 10x + 16. Rezultă −4x = −24, deci x = 6.
  24. 152° 47′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 27° 13′ = 152° 47′.
  25. 21 — Fiecare pereche de semidrepte determină un unghi, adică 7·6:2 = 21 unghiuri.
  26. 72° 35′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 107° 25′ = 72° 35′.
  27. 105° — La ora 9:30 acul orar este la 285° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |285 − 180| = 105°, deci unghiul convex este 105°.
  28. 103° 58′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 76° 2′ = 103° 58′.
  29. 103° 19′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 76° 41′ = 103° 19′.
  30. 71° 41′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 108° 19′ = 71° 41′.
  31. 154° 38′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 25° 22′ = 154° 38′.
  32. 129° 45′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 50° 15′ = 129° 45′.
  33. 75° — La ora 3:30 acul orar este la 105° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |105 − 180| = 75°, deci unghiul convex este 75°.
  34. 116° 59′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 63° 1′ = 116° 59′.
  35. 135° — La ora 10:30 acul orar este la 315° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |315 − 180| = 135°, deci unghiul convex este 135°.
  36. 114° 50′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 65° 10′ = 114° 50′.
  37. 154° 47′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 25° 13′ = 154° 47′.
  38. 45° — La ora 4:30 acul orar este la 135° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |135 − 180| = 45°, deci unghiul convex este 45°.
  39. 118° 52′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 61° 8′ = 118° 52′.
  40. 74° 35′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 105° 25′ = 74° 35′.
  41. 8 — m(∠AOB) = 2 · m(∠AOM), deci 9x + 54 = 2(6x + 15) = 12x + 30. Rezultă −3x = −24, deci x = 8.
  42. 8 — m(∠AOB) = 2 · m(∠AOM), deci 7x + 30 = 2(5x + 3) = 10x + 6. Rezultă −3x = −24, deci x = 8.
  43. 89° 32′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 90° 28′ = 89° 32′.
  44. 122° 57′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 57° 3′ = 122° 57′.
  45. 145° 18′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 34° 42′ = 145° 18′.
  46. 79° 54′ — 180° = 179° 60′. Scădem: 179° 60′ − 100° 6′ = 79° 54′.
  47. 15 — m(∠AOB) = 2 · m(∠AOM), deci 9x + 31 = 2(5x + 8) = 10x + 16. Rezultă −1x = −15, deci x = 15.
  48. 24 — m(∠AOB) = 2 · m(∠AOM), deci 5x + 18 = 2(2x + 21) = 4x + 42. Rezultă x = 24, deci x = 24.
  49. 75° — La ora 8:30 acul orar este la 255° (față de 12), iar cel minutar la 180°. Diferența este |255 − 180| = 75°, deci unghiul convex este 75°.
  50. 15 — m(∠AOB) = 2 · m(∠AOM), deci 5x + 53 = 2(4x + 4) = 8x + 8. Rezultă −3x = −45, deci x = 15.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 6-a