Acasă › Clasa a 7-a › Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii

Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii

Proiecția unui punct, a unui segment pe o dreaptă; proiecțiile catetelor pe ipotenuză; teorema înălțimii.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Proiecții ortogonale

Proiecția unui punct P pe o dreaptă d este piciorul perpendicularei duse din P pe d. Proiecția unui segment AB pe d este segmentul determinat de proiecțiile capetelor sale.

Triunghiul dreptunghic și înălțimea

Fie ΔABC dreptunghic în A și AD ⊥ BC (D ∈ BC). Atunci BD este proiecția catetei AB pe ipotenuză, iar DC este proiecția catetei AC. Înălțimea AD ≡ h.

BC = BD + DC (ipotenuza este suma proiecțiilor)
Teorema înălțimii: AD² = BD·DC (h² = p·q)

Demonstrația

Triunghiurile ABD și CAD sunt asemenea (UU): ∠ADB = ∠CDA = 90° și ∠BAD = ∠ACD (ambele sunt complementele unghiului B). Din asemănare, AD/CD = BD/AD, adică AD² = BD·DC.

Exemplul 1. BD = 4 cm, DC = 9 cm. Află AD.

Rezolvare (cu teorema înălțimii). AD² = 4·9 = 36, deci AD = 6 cm.

Exemplul 2. AD = 6 cm și BD = 4 cm. Află DC.

Rezolvare. AD² = BD·DC ⇒ 36 = 4·DC ⇒ DC = 9 cm.

Exemplul 3. BC = 13 cm, BD = 4 cm. Află AD și aria ΔABC.

Rezolvare. DC = 13 − 4 = 9. AD = √(4·9) = 6. Aria = (13·6)/2 = 39 cm².

Exemplul 4. AD = 6, BD = 4. Află AB.

Rezolvare (cu Pitagora în ΔABD). AB² = AD² + BD² = 36 + 16 = 52, AB = 2√13 cm.

Greșeli frecvente

Se confundă proiecția cu cateta (BD cu AB).
Se scrie AD = BD·DC (fără pătrat).
Se uită că BC este suma proiecțiilor, nu una dintre ele.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF. Care este proiecția catetei DE pe ipotenuză?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP. Care este proiecția catetei MN pe ipotenuză?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 19 cm și DC = 5 cm. Cât este BC?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 1 cm și DC = 25 cm. Cât este înălțimea AD (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 1 cm și HM = 25 cm. Cât este înălțimea KH (în cm)?
În triunghiul RST, dreptunghic în R, RU ⊥ ST. Care este proiecția catetei RS pe ipotenuză?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 2 cm și HM = 50 cm. Cât este înălțimea KH (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 9 cm și DC = 19 cm. Cât este BC?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 4 cm și TZ = 9 cm. Cât este înălțimea XT (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC. Care este proiecția catetei AB pe ipotenuză?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 9 cm și HM = 27 cm. Cât este LM?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 18 cm și HM = 32 cm. Cât este înălțimea KH (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 26 cm și DC = 23 cm. Cât este BC?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 1 cm și GF = 4 cm. Cât este înălțimea DG (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 2 cm și HM = 32 cm. Cât este înălțimea KH (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 1 cm și GF = 25 cm. Cât este înălțimea DG (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 9 cm și DC = 25 cm. Cât este înălțimea AD (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 4 cm și HM = 25 cm. Cât este înălțimea KH (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 32 cm și GF = 50 cm. Cât este înălțimea DG (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 29 cm și GF = 27 cm. Cât este EF?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP, NQ = 3 cm și QP = 20 cm. Cât este NP?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 1 cm și DC = 16 cm. Cât este înălțimea AD (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 12 cm și DC = 16 cm. Cât este BC?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 22 cm și DC = 8 cm. Cât este BC?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 25 cm și DC = 5 cm. Cât este BC?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ. Care este proiecția catetei XY pe ipotenuză?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 22 cm și DC = 9 cm. Cât este BC?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 17 cm și TZ = 17 cm. Cât este YZ?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM. Care este proiecția catetei KL pe ipotenuză?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 10 cm și TZ = 27 cm. Cât este YZ?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 8 cm și DC = 50 cm. Cât este înălțimea AD (în cm)?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 9 cm și TZ = 4 cm. Cât este YZ?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 5 cm și DC = 23 cm. Cât este BC?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 4 cm și GF = 9 cm. Cât este înălțimea DG (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 20 cm și GF = 27 cm. Cât este EF?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 28 cm și DC = 12 cm. Cât este BC?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 16 cm și DC = 25 cm. Cât este înălțimea AD (în cm)?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 7 cm și TZ = 9 cm. Cât este YZ?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 29 cm și DC = 22 cm. Cât este BC?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 30 cm și DC = 8 cm. Cât este BC?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP, NQ = 30 cm și QP = 22 cm. Cât este NP?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 10 cm și DC = 26 cm. Cât este BC?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 9 cm și TZ = 16 cm. Cât este înălțimea XT (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 21 cm și GF = 2 cm. Cât este EF?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 2 cm și GF = 32 cm. Cât este înălțimea DG (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 25 cm și DC = 20 cm. Cât este BC?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 24 cm și GF = 21 cm. Cât este EF?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 9 cm și HM = 16 cm. Cât este înălțimea KH (în cm)?
În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XT ⊥ YZ, YT = 27 cm și TZ = 23 cm. Cât este YZ?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP, NQ = 4 cm și QP = 25 cm. Cât este înălțimea MQ (în cm)?

Arată răspunsurile: nivel ușor

EG — Proiecția unui punct pe dreaptă este piciorul perpendicularei. Proiecția lui D pe EF este G, deci proiecția catetei DE este EG.
NQ — Proiecția unui punct pe dreaptă este piciorul perpendicularei. Proiecția lui M pe NP este Q, deci proiecția catetei MN este NQ.
24 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 19 + 5 = 24 cm.
5 — Teorema înălțimii: AD² = BD·DC = 1·25 = 25, deci AD = 5 cm.
5 — Teorema înălțimii: KH² = LH·HM = 1·25 = 25, deci KH = 5 cm.
SU — Proiecția unui punct pe dreaptă este piciorul perpendicularei. Proiecția lui R pe ST este U, deci proiecția catetei RS este SU.
10 — Teorema înălțimii: KH² = LH·HM = 2·50 = 100, deci KH = 10 cm.
28 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 9 + 19 = 28 cm.
6 — Teorema înălțimii: XT² = YT·TZ = 4·9 = 36, deci XT = 6 cm.
BD — Proiecția unui punct pe dreaptă este piciorul perpendicularei. Proiecția lui A pe BC este D, deci proiecția catetei AB este BD.
36 — H este pe ipotenuza LM: LM = LH + HM = 9 + 27 = 36 cm.
24 — Teorema înălțimii: KH² = LH·HM = 18·32 = 576, deci KH = 24 cm.
49 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 26 + 23 = 49 cm.
2 — Teorema înălțimii: DG² = EG·GF = 1·4 = 4, deci DG = 2 cm.
8 — Teorema înălțimii: KH² = LH·HM = 2·32 = 64, deci KH = 8 cm.
5 — Teorema înălțimii: DG² = EG·GF = 1·25 = 25, deci DG = 5 cm.
15 — Teorema înălțimii: AD² = BD·DC = 9·25 = 225, deci AD = 15 cm.
10 — Teorema înălțimii: KH² = LH·HM = 4·25 = 100, deci KH = 10 cm.
40 — Teorema înălțimii: DG² = EG·GF = 32·50 = 1600, deci DG = 40 cm.
56 — G este pe ipotenuza EF: EF = EG + GF = 29 + 27 = 56 cm.
23 — Q este pe ipotenuza NP: NP = NQ + QP = 3 + 20 = 23 cm.
4 — Teorema înălțimii: AD² = BD·DC = 1·16 = 16, deci AD = 4 cm.
28 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 12 + 16 = 28 cm.
30 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 22 + 8 = 30 cm.
30 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 25 + 5 = 30 cm.
YT — Proiecția unui punct pe dreaptă este piciorul perpendicularei. Proiecția lui X pe YZ este T, deci proiecția catetei XY este YT.
31 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 22 + 9 = 31 cm.
34 — T este pe ipotenuza YZ: YZ = YT + TZ = 17 + 17 = 34 cm.
LH — Proiecția unui punct pe dreaptă este piciorul perpendicularei. Proiecția lui K pe LM este H, deci proiecția catetei KL este LH.
37 — T este pe ipotenuza YZ: YZ = YT + TZ = 10 + 27 = 37 cm.
20 — Teorema înălțimii: AD² = BD·DC = 8·50 = 400, deci AD = 20 cm.
13 — T este pe ipotenuza YZ: YZ = YT + TZ = 9 + 4 = 13 cm.
28 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 5 + 23 = 28 cm.
6 — Teorema înălțimii: DG² = EG·GF = 4·9 = 36, deci DG = 6 cm.
47 — G este pe ipotenuza EF: EF = EG + GF = 20 + 27 = 47 cm.
40 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 28 + 12 = 40 cm.
20 — Teorema înălțimii: AD² = BD·DC = 16·25 = 400, deci AD = 20 cm.
16 — T este pe ipotenuza YZ: YZ = YT + TZ = 7 + 9 = 16 cm.
51 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 29 + 22 = 51 cm.
38 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 30 + 8 = 38 cm.
52 — Q este pe ipotenuza NP: NP = NQ + QP = 30 + 22 = 52 cm.
36 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 10 + 26 = 36 cm.
12 — Teorema înălțimii: XT² = YT·TZ = 9·16 = 144, deci XT = 12 cm.
23 — G este pe ipotenuza EF: EF = EG + GF = 21 + 2 = 23 cm.
8 — Teorema înălțimii: DG² = EG·GF = 2·32 = 64, deci DG = 8 cm.
45 — D este pe ipotenuza BC: BC = BD + DC = 25 + 20 = 45 cm.
45 — G este pe ipotenuza EF: EF = EG + GF = 24 + 21 = 45 cm.
12 — Teorema înălțimii: KH² = LH·HM = 9·16 = 144, deci KH = 12 cm.
50 — T este pe ipotenuza YZ: YZ = YT + TZ = 27 + 23 = 50 cm.
10 — Teorema înălțimii: MQ² = NQ·QP = 4·25 = 100, deci MQ = 10 cm.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 16 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 4:16. Care este ipotenuza (în cm)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 34 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 15 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 20 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 6 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 32 cm și 50 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 50 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 10 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 1:25. Care este ipotenuza (în cm)?
Într-un triunghi ABC dreptunghic în A, înălțimea AD = 6 cm, iar BD = 4 cm. Cât este DC (în cm)?
Într-un triunghi ABC dreptunghic în A, înălțimea AD = 30 cm, iar BD = 12 cm. Cât este DC (în cm)?
Într-un triunghi ABC dreptunghic în A, înălțimea AD = 30 cm, iar BD = 18 cm. Cât este DC (în cm)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 40 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 16 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 26 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 12 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 45 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 9:25. Care este ipotenuza (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 18 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 82 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 40 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 12 cm și 27 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 24 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 4:16. Care este ipotenuza (în cm)?
Într-un triunghi ABC dreptunghic în A, înălțimea AD = 12 cm, iar BD = 8 cm. Cât este DC (în cm)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 41 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 20 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 3 cm și 27 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 15 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 9:25. Care este ipotenuza (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 20 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 4:25. Care este ipotenuza (în cm)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 20 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 8 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 32 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 26 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 5 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 12 cm și 48 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 4 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 1:16. Care este ipotenuza (în cm)?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP, NQ = 9 cm și QP = 12 cm. Cât este MQ (în cm)?
Într-un triunghi RST dreptunghic în R, înălțimea RU = 12 cm, iar SU = 8 cm. Cât este UT (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 8 cm și DC = 11 cm. Cât este AD (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 12 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 4:9. Care este ipotenuza (în cm)?
În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KH ⊥ LM, LH = 9 cm și HM = 12 cm. Cât este KH (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 8 cm și 32 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 16 cm și 25 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi RST dreptunghic în R, înălțimea RU = 16 cm, iar SU = 8 cm. Cât este UT (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 20 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 16:25. Care este ipotenuza (în cm)?
Într-un triunghi MNP dreptunghic în M, înălțimea MQ = 4 cm, iar NQ = 2 cm. Cât este QP (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 11 cm și DC = 10 cm. Cât este AD (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 18 cm și 50 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 8 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 50 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 24 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Într-un triunghi RST dreptunghic în R, înălțimea RU = 20 cm, iar SU = 16 cm. Cât este UT (în cm)?
În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DG ⊥ EF, EG = 10 cm și GF = 4 cm. Cât este DG (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este 36 cm, iar proiecțiile catetelor sunt în raportul 9:16. Care este ipotenuza (în cm)?
În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MQ ⊥ NP, NQ = 7 cm și QP = 11 cm. Cât este MQ (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 8 cm și 18 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 3 cm și 75 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi ABC dreptunghic în A, înălțimea AD = 18 cm, iar BD = 12 cm. Cât este DC (în cm)?
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 29 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei 10 cm. Care este aria lui (în cm²)?
Într-un triunghi MNP dreptunghic în M, înălțimea MQ = 8 cm, iar NQ = 4 cm. Cât este QP (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 18 cm și 32 cm. Cât este lungimea ipotenuzei (în cm)?

Arată răspunsurile: nivel mediu

40 — Proiecțiile sunt 4k și 16k. h² = 4k·16k = 64k² = 256 ⇒ k = 2. Ipotenuza = 20·2 = 40 cm.
255 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (34·15)/2 = 255 cm².
60 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (20·6)/2 = 60 cm².
82 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 32 + 50 = 82 cm.
52 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 2 + 50 = 52 cm.
52 — Proiecțiile sunt 1k și 25k. h² = 1k·25k = 25k² = 100 ⇒ k = 2. Ipotenuza = 26·2 = 52 cm.
9 — AD² = BD·DC ⇒ 36 = 4·DC ⇒ DC = 36:4 = 9 cm.
75 — AD² = BD·DC ⇒ 900 = 12·DC ⇒ DC = 900:12 = 75 cm.
50 — AD² = BD·DC ⇒ 900 = 18·DC ⇒ DC = 900:18 = 50 cm.
320 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (40·16)/2 = 320 cm².
156 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (26·12)/2 = 156 cm².
102 — Proiecțiile sunt 9k și 25k. h² = 9k·25k = 225k² = 2025 ⇒ k = 3. Ipotenuza = 34·3 = 102 cm.
20 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 2 + 18 = 20 cm.
1640 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (82·40)/2 = 1640 cm².
39 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 12 + 27 = 39 cm.
60 — Proiecțiile sunt 4k și 16k. h² = 4k·16k = 64k² = 576 ⇒ k = 3. Ipotenuza = 20·3 = 60 cm.
18 — AD² = BD·DC ⇒ 144 = 8·DC ⇒ DC = 144:8 = 18 cm.
410 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (41·20)/2 = 410 cm².
30 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 3 + 27 = 30 cm.
34 — Proiecțiile sunt 9k și 25k. h² = 9k·25k = 225k² = 225 ⇒ k = 1. Ipotenuza = 34·1 = 34 cm.
58 — Proiecțiile sunt 4k și 25k. h² = 4k·25k = 100k² = 400 ⇒ k = 2. Ipotenuza = 29·2 = 58 cm.
80 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (20·8)/2 = 80 cm².
34 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 2 + 32 = 34 cm.
65 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (26·5)/2 = 65 cm².
60 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 12 + 48 = 60 cm.
17 — Proiecțiile sunt 1k și 16k. h² = 1k·16k = 16k² = 16 ⇒ k = 1. Ipotenuza = 17·1 = 17 cm.
6√3 — MQ² = 9·12 = 108, deci MQ = 6√3 cm.
18 — RU² = SU·UT ⇒ 144 = 8·UT ⇒ UT = 144:8 = 18 cm.
2√22 — AD² = 8·11 = 88, deci AD = 2√22 cm.
26 — Proiecțiile sunt 4k și 9k. h² = 4k·9k = 36k² = 144 ⇒ k = 2. Ipotenuza = 13·2 = 26 cm.
6√3 — KH² = 9·12 = 108, deci KH = 6√3 cm.
40 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 8 + 32 = 40 cm.
41 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 16 + 25 = 41 cm.
32 — RU² = SU·UT ⇒ 256 = 8·UT ⇒ UT = 256:8 = 32 cm.
41 — Proiecțiile sunt 16k și 25k. h² = 16k·25k = 400k² = 400 ⇒ k = 1. Ipotenuza = 41·1 = 41 cm.
8 — MQ² = NQ·QP ⇒ 16 = 2·QP ⇒ QP = 16:2 = 8 cm.
√110 — AD² = 11·10 = 110, deci AD = √110 cm.
68 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 18 + 50 = 68 cm.
10 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 2 + 8 = 10 cm.
600 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (50·24)/2 = 600 cm².
25 — RU² = SU·UT ⇒ 400 = 16·UT ⇒ UT = 400:16 = 25 cm.
2√10 — DG² = 10·4 = 40, deci DG = 2√10 cm.
75 — Proiecțiile sunt 9k și 16k. h² = 9k·16k = 144k² = 1296 ⇒ k = 3. Ipotenuza = 25·3 = 75 cm.
√77 — MQ² = 7·11 = 77, deci MQ = √77 cm.
26 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 8 + 18 = 26 cm.
78 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 3 + 75 = 78 cm.
27 — AD² = BD·DC ⇒ 324 = 12·DC ⇒ DC = 324:12 = 27 cm.
145 — Aria = (ipotenuza·înălțimea)/2 = (29·10)/2 = 145 cm².
16 — MQ² = NQ·QP ⇒ 64 = 4·QP ⇒ QP = 64:4 = 16 cm.
50 — Ipotenuza este suma proiecțiilor: 18 + 32 = 50 cm.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 2 cm și 18 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 12 cm și BD = 9 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 3 cm și BD = 1 cm. Cât este AB (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 18 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 7 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 12 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 4 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 48 cm și 75 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 2 cm și 8 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 10 cm și BD = 4 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 16 cm și BD = 8 cm. Cât este AB (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 15 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 6 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 12 cm și 48 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 17 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 5 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 11 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 3 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 12 cm și 75 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 6 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 4 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 5 cm și BD = 1 cm. Cât este AB (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 15 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 8 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 6 cm și BD = 4 cm. Cât este AB (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 3 cm și 27 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 12 cm și BD = 8 cm. Cât este AB (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 15 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 13 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 2 cm și BD = 1 cm. Cât este AB (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 9 cm și 16 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 14 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 2 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 16 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 1 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 9 cm și 25 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 9 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 2 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 30 cm și BD = 18 cm. Cât este AB (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 3 cm și 75 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 18 cm și 32 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 10 cm și BD = 2 cm. Cât este AB (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 27 cm și 48 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 6 cm și BD = 2 cm. Cât este AB (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 40 cm și BD = 32 cm. Cât este AB (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 12 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 1 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 2 cm și 50 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 19 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 15 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 14 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 5 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 16 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 7 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 15 cm și BD = 9 cm. Cât este AB (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 5 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 3 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 6 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 5 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 4 cm și 25 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 7 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 4 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 16 cm și 25 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 19 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 6 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 15 cm, iar o proiecție a unei catete pe ipotenuză are 14 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 1 cm și 25 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?
În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AD ⊥ BC, AD = 8 cm și BD = 4 cm. Cât este AB (în cm)?
Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic o împarte în segmente de 8 cm și 50 cm. Care este aria triunghiului (în cm²)?

Arată răspunsurile: nivel dificil

60 — h = √(2·18) = 6; ipotenuza = 20. Aria = (20·6)/2 = 60 cm².
15 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 144 + 81 = 225, deci AB = 15 cm.
√10 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 9 + 1 = 10, deci AB = √10 cm.
√77 — Cealaltă proiecție: 18 − 7 = 11. h² = 7·11 = 77, h = √77 cm.
4√2 — Cealaltă proiecție: 12 − 4 = 8. h² = 4·8 = 32, h = 4√2 cm.
3690 — h = √(48·75) = 60; ipotenuza = 123. Aria = (123·60)/2 = 3690 cm².
20 — h = √(2·8) = 4; ipotenuza = 10. Aria = (10·4)/2 = 20 cm².
2√29 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 100 + 16 = 116, deci AB = 2√29 cm.
8√5 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 256 + 64 = 320, deci AB = 8√5 cm.
3√6 — Cealaltă proiecție: 15 − 6 = 9. h² = 6·9 = 54, h = 3√6 cm.
720 — h = √(12·48) = 24; ipotenuza = 60. Aria = (60·24)/2 = 720 cm².
2√15 — Cealaltă proiecție: 17 − 5 = 12. h² = 5·12 = 60, h = 2√15 cm.
2√6 — Cealaltă proiecție: 11 − 3 = 8. h² = 3·8 = 24, h = 2√6 cm.
1305 — h = √(12·75) = 30; ipotenuza = 87. Aria = (87·30)/2 = 1305 cm².
2√2 — Cealaltă proiecție: 6 − 4 = 2. h² = 4·2 = 8, h = 2√2 cm.
√26 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 25 + 1 = 26, deci AB = √26 cm.
2√14 — Cealaltă proiecție: 15 − 8 = 7. h² = 8·7 = 56, h = 2√14 cm.
2√13 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 36 + 16 = 52, deci AB = 2√13 cm.
135 — h = √(3·27) = 9; ipotenuza = 30. Aria = (30·9)/2 = 135 cm².
4√13 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 144 + 64 = 208, deci AB = 4√13 cm.
√26 — Cealaltă proiecție: 15 − 13 = 2. h² = 13·2 = 26, h = √26 cm.
√5 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 4 + 1 = 5, deci AB = √5 cm.
150 — h = √(9·16) = 12; ipotenuza = 25. Aria = (25·12)/2 = 150 cm².
2√6 — Cealaltă proiecție: 14 − 2 = 12. h² = 2·12 = 24, h = 2√6 cm.
√15 — Cealaltă proiecție: 16 − 1 = 15. h² = 1·15 = 15, h = √15 cm.
255 — h = √(9·25) = 15; ipotenuza = 34. Aria = (34·15)/2 = 255 cm².
√14 — Cealaltă proiecție: 9 − 2 = 7. h² = 2·7 = 14, h = √14 cm.
6√34 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 900 + 324 = 1224, deci AB = 6√34 cm.
585 — h = √(3·75) = 15; ipotenuza = 78. Aria = (78·15)/2 = 585 cm².
600 — h = √(18·32) = 24; ipotenuza = 50. Aria = (50·24)/2 = 600 cm².
2√26 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 100 + 4 = 104, deci AB = 2√26 cm.
1350 — h = √(27·48) = 36; ipotenuza = 75. Aria = (75·36)/2 = 1350 cm².
2√10 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 36 + 4 = 40, deci AB = 2√10 cm.
8√41 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 1600 + 1024 = 2624, deci AB = 8√41 cm.
√11 — Cealaltă proiecție: 12 − 1 = 11. h² = 1·11 = 11, h = √11 cm.
260 — h = √(2·50) = 10; ipotenuza = 52. Aria = (52·10)/2 = 260 cm².
2√15 — Cealaltă proiecție: 19 − 15 = 4. h² = 15·4 = 60, h = 2√15 cm.
3√5 — Cealaltă proiecție: 14 − 5 = 9. h² = 5·9 = 45, h = 3√5 cm.
3√7 — Cealaltă proiecție: 16 − 7 = 9. h² = 7·9 = 63, h = 3√7 cm.
3√34 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 225 + 81 = 306, deci AB = 3√34 cm.
√6 — Cealaltă proiecție: 5 − 3 = 2. h² = 3·2 = 6, h = √6 cm.
√5 — Cealaltă proiecție: 6 − 5 = 1. h² = 5·1 = 5, h = √5 cm.
145 — h = √(4·25) = 10; ipotenuza = 29. Aria = (29·10)/2 = 145 cm².
2√3 — Cealaltă proiecție: 7 − 4 = 3. h² = 4·3 = 12, h = 2√3 cm.
410 — h = √(16·25) = 20; ipotenuza = 41. Aria = (41·20)/2 = 410 cm².
√78 — Cealaltă proiecție: 19 − 6 = 13. h² = 6·13 = 78, h = √78 cm.
√14 — Cealaltă proiecție: 15 − 14 = 1. h² = 14·1 = 14, h = √14 cm.
65 — h = √(1·25) = 5; ipotenuza = 26. Aria = (26·5)/2 = 65 cm².
4√5 — ΔABD este dreptunghic în D: AB² = AD² + BD² = 64 + 16 = 80, deci AB = 4√5 cm.
580 — h = √(8·50) = 20; ipotenuza = 58. Aria = (58·20)/2 = 580 cm².

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a