Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 7-a › Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Poligoane regulate

Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Poligoane regulate

Aflarea elementelor unui triunghi dreptunghic, aplicații cu scări, înălțimi, poligoane regulate.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Ce înseamnă „a rezolva”

Se dau două elemente (o latură și un unghi, sau două laturi) și se află celelalte elemente: laturile și unghiurile. Instrumente: unghiuri complementare (B + C = 90°), Pitagora și sin, cos, tg.

kk√32k30°60°

30°–60°–90°: laturile sunt în raportul 1 : √3 : 2

kkk√245°45°

45°–45°–90°: laturile sunt în raportul 1 : 1 : √2

Cateta opusă lui 30° = jumătate din ipotenuză
Cateta mare (opusă lui 60°) = cateta mică·√3
Ipotenuza = cateta·√2 (la triunghiul isoscel)

Cazuri de rezolvare

Ipotenuza a și unghiul B: b = a·sin B, c = a·cos B
Cateta c și unghiul B: b = c·tg B, a = c/cos B
Două catete: a = √(b² + c²), tg B = b/c

Poligoane regulate (aplicații)

Hexagonul regulat cu latura l: raza cercului circumscris = l, apotema = l√3/2, aria = 3l²√3/2. Pătratul: d = l√2. Triunghiul echilateral: h = l√3/2, aria = l²√3/4.

OAB
Exemplul 1. Triunghi dreptunghic cu ipotenuza 8 și un unghi de 30°. Află catetele și aria.
Metoda 1 (cu 30°–60°–90°). Cateta mică 4, cateta mare 4√3. Aria = 4·4√3/2 = 8√3.
Metoda 2 (cu sin/cos). 8·sin 30° = 4 și 8·cos 30° = 4√3.
Exemplul 2. O scară de 16 m face cu solul 60°. La ce înălțime atinge zidul?
Rezolvare. h = 16·sin 60° = 8√3 m. Baza este la 16·cos 60° = 8 m de zid.
Exemplul 3. Triunghi isoscel cu baza 12 și unghiuri la bază de 30°. Înălțimea?
Rezolvare. Semibaza 6. h = 6·tg 30° = 6√3/3 = 2√3.
Exemplul 4. Hexagon regulat cu latura 10. Apotema și aria?
Rezolvare. Apotema = 5√3. Aria = 3·100·√3/2 = 150√3.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 20 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??20ABC30°
  2. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 10 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??10ABC30°
  3. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 67°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC67°
  4. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 42°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC42°
  5. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 36 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??36ABC30°
  6. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 74 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??74ABC30°
  7. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 76 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??76ABC30°
  8. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC30°
  9. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 39°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC39°
  10. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 42 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??42ABC30°
  11. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 79°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC79°
  12. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 66°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC66°
  13. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 58 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??58ABC30°
  14. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 68°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC68°
  15. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 32°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC32°
  16. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 21°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC21°
  17. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 68 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??68ABC30°
  18. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 20°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC20°
  19. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 16 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??16ABC30°
  20. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 65°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC65°
  21. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 44 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??44ABC30°
  22. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 31°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC31°
  23. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 25°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC25°
  24. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 26°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC26°
  25. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 80°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC80°
  26. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 23°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC23°
  27. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 77°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC77°
  28. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 22 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??22ABC30°
  29. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 32 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??32ABC30°
  30. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 4 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??4ABC30°
  31. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 52°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC52°
  32. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 57°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC57°
  33. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 8 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??8ABC30°
  34. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 36°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC36°
  35. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 60 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??60ABC30°
  36. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 44°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC44°
  37. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 56 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??56ABC30°
  38. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 61°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC61°
  39. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 70 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??70ABC30°
  40. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 54 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??54ABC30°
  41. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 69°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC69°
  42. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 48°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC48°
  43. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 28°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC28°
  44. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 75°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC75°
  45. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 62°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC62°
  46. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 50°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC50°
  47. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 12 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??12ABC30°
  48. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza 62 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??62ABC30°
  49. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 51°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC51°
  50. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 41°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?ABC41°
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 10 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 20:2 = 10 cm.
  2. 5 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 10:2 = 5 cm.
  3. 23 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 67° = 23°.
  4. 48 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 42° = 48°.
  5. 18 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 36:2 = 18 cm.
  6. 37 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 74:2 = 37 cm.
  7. 38 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 76:2 = 38 cm.
  8. 60 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 30° = 60°.
  9. 51 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 39° = 51°.
  10. 21 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 42:2 = 21 cm.
  11. 11 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 79° = 11°.
  12. 24 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 66° = 24°.
  13. 29 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 58:2 = 29 cm.
  14. 22 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 68° = 22°.
  15. 58 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 32° = 58°.
  16. 69 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 21° = 69°.
  17. 34 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 68:2 = 34 cm.
  18. 70 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 20° = 70°.
  19. 8 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 16:2 = 8 cm.
  20. 25 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 65° = 25°.
  21. 22 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 44:2 = 22 cm.
  22. 59 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 31° = 59°.
  23. 65 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 25° = 65°.
  24. 64 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 26° = 64°.
  25. 10 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 80° = 10°.
  26. 67 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 23° = 67°.
  27. 13 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 77° = 13°.
  28. 11 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 22:2 = 11 cm.
  29. 16 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 32:2 = 16 cm.
  30. 2 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 4:2 = 2 cm.
  31. 38 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 52° = 38°.
  32. 33 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 57° = 33°.
  33. 4 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 8:2 = 4 cm.
  34. 54 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 36° = 54°.
  35. 30 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 60:2 = 30 cm.
  36. 46 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 44° = 46°.
  37. 28 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 56:2 = 28 cm.
  38. 29 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 61° = 29°.
  39. 35 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 70:2 = 35 cm.
  40. 27 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 54:2 = 27 cm.
  41. 21 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 69° = 21°.
  42. 42 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 48° = 42°.
  43. 62 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 28° = 62°.
  44. 15 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 75° = 15°.
  45. 28 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 62° = 28°.
  46. 40 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 50° = 40°.
  47. 6 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 12:2 = 6 cm.
  48. 31 — Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: 62:2 = 31 cm.
  49. 39 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 51° = 39°.
  50. 49 — Unghiurile ascuțite sunt complementare: 90° − 41° = 49°.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 8 cm. Cât este cateta mare (în cm)?
  2. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 20 cm și un unghi de 30°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??20ABC30°
  3. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 22 cm și un unghi de 30°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??22ABC30°
  4. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 4 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  5. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 14 cm. Cât este cateta mare (în cm)?
  6. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 4 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?44?ABC45°
  7. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 14 cm și un unghi de 45°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??14ABC45°
  8. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 19 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  9. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 4 cm și un unghi de 60°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??4ABC60°
  10. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 10 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  11. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 16 cm și un unghi de 30°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??16ABC30°
  12. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 6 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?66?ABC45°
  13. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 17 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?1717?ABC45°
  14. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 8 cm și un unghi de 45°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??8ABC45°
  15. Într-un hexagon regulat cu latura 8 cm, cât este distanța dintre două vârfuri opuse (în cm)?OAB
  16. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 20 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  17. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 11 cm. Cât este cateta mare (în cm)?
  18. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 9 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?99?ABC45°
  19. Într-un hexagon regulat cu latura 10 cm, cât este distanța dintre două vârfuri opuse (în cm)?OAB
  20. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 3 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?33?ABC45°
  21. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 4 cm și un unghi de 45°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??4ABC45°
  22. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 16 cm și un unghi de 45°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??16ABC45°
  23. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 2 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  24. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 9 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  25. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 8 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?88?ABC45°
  26. Într-un hexagon regulat cu latura 6 cm, cât este distanța dintre două vârfuri opuse (în cm)?OAB
  27. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 20 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?2020?ABC45°
  28. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 18 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?1818?ABC45°
  29. Într-un hexagon regulat cu latura 4 cm, cât este distanța dintre două vârfuri opuse (în cm)?OAB
  30. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 14 cm și un unghi de 30°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??14ABC30°
  31. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 2 cm. Cât este cateta mare (în cm)?
  32. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 15 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  33. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 12 cm. Cât este cateta mare (în cm)?
  34. Într-un hexagon regulat cu latura 9 cm, cât este distanța dintre două vârfuri opuse (în cm)?OAB
  35. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 7 cm. Cât este cateta mare (în cm)?
  36. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 18 cm și un unghi de 30°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??18ABC30°
  37. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 11 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  38. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 13 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?1313?ABC45°
  39. Într-un hexagon regulat cu latura 5 cm, cât este distanța dintre două vârfuri opuse (în cm)?OAB
  40. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 13 cm. Cât este cateta mare (în cm)?
  41. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 7 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?77?ABC45°
  42. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 15 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?1515?ABC45°
  43. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 7 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  44. Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de 10 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?1010?ABC45°
  45. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 24 cm și un unghi de 45°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??24ABC45°
  46. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 18 cm și un unghi de 60°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??18ABC60°
  47. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 18 cm și un unghi de 45°. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??18ABC45°
  48. Într-un hexagon regulat cu latura 11 cm, cât este distanța dintre două vârfuri opuse (în cm)?OAB
  49. Într-un hexagon regulat cu latura 7 cm, cât este distanța dintre două vârfuri opuse (în cm)?OAB
  50. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiuri de 30° și 60°, cateta mică are 6 cm. Cât este cateta mare (în cm)?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 8√3 — Cateta mare = cateta mică·tg 60° = 8√3 cm.
  2. 10 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 30° = 20·1/2 = 10 cm.
  3. 11 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 30° = 22·1/2 = 11 cm.
  4. 8 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·4 = 8 cm.
  5. 14√3 — Cateta mare = cateta mică·tg 60° = 14√3 cm.
  6. 4√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 4√2 cm.
  7. 7√2 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 45° = 14·√2/2 = 7√2 cm.
  8. 38 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·19 = 38 cm.
  9. 2√3 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 60° = 4·√3/2 = 2√3 cm.
  10. 20 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·10 = 20 cm.
  11. 8 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 30° = 16·1/2 = 8 cm.
  12. 6√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 6√2 cm.
  13. 17√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 17√2 cm.
  14. 4√2 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 45° = 8·√2/2 = 4√2 cm.
  15. 16 — Distanța dintre vârfurile opuse este diametrul cercului circumscris: 2R = 2·8 = 16 cm (latura hexagonului este egală cu raza).
  16. 40 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·20 = 40 cm.
  17. 11√3 — Cateta mare = cateta mică·tg 60° = 11√3 cm.
  18. 9√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 9√2 cm.
  19. 20 — Distanța dintre vârfurile opuse este diametrul cercului circumscris: 2R = 2·10 = 20 cm (latura hexagonului este egală cu raza).
  20. 3√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 3√2 cm.
  21. 2√2 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 45° = 4·√2/2 = 2√2 cm.
  22. 8√2 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 45° = 16·√2/2 = 8√2 cm.
  23. 4 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·2 = 4 cm.
  24. 18 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·9 = 18 cm.
  25. 8√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 8√2 cm.
  26. 12 — Distanța dintre vârfurile opuse este diametrul cercului circumscris: 2R = 2·6 = 12 cm (latura hexagonului este egală cu raza).
  27. 20√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 20√2 cm.
  28. 18√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 18√2 cm.
  29. 8 — Distanța dintre vârfurile opuse este diametrul cercului circumscris: 2R = 2·4 = 8 cm (latura hexagonului este egală cu raza).
  30. 7 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 30° = 14·1/2 = 7 cm.
  31. 2√3 — Cateta mare = cateta mică·tg 60° = 2√3 cm.
  32. 30 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·15 = 30 cm.
  33. 12√3 — Cateta mare = cateta mică·tg 60° = 12√3 cm.
  34. 18 — Distanța dintre vârfurile opuse este diametrul cercului circumscris: 2R = 2·9 = 18 cm (latura hexagonului este egală cu raza).
  35. 7√3 — Cateta mare = cateta mică·tg 60° = 7√3 cm.
  36. 9 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 30° = 18·1/2 = 9 cm.
  37. 22 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·11 = 22 cm.
  38. 13√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 13√2 cm.
  39. 10 — Distanța dintre vârfurile opuse este diametrul cercului circumscris: 2R = 2·5 = 10 cm (latura hexagonului este egală cu raza).
  40. 13√3 — Cateta mare = cateta mică·tg 60° = 13√3 cm.
  41. 7√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 7√2 cm.
  42. 15√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 15√2 cm.
  43. 14 — Cateta opusă lui 30° este ipotenuza/2, deci ipotenuza = 2·7 = 14 cm.
  44. 10√2 — Unghiurile ascuțite sunt de 45°; ipotenuza = 10√2 cm.
  45. 12√2 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 45° = 24·√2/2 = 12√2 cm.
  46. 9√3 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 60° = 18·√3/2 = 9√3 cm.
  47. 9√2 — Cateta opusă = ipotenuza·sin 45° = 18·√2/2 = 9√2 cm.
  48. 22 — Distanța dintre vârfurile opuse este diametrul cercului circumscris: 2R = 2·11 = 22 cm (latura hexagonului este egală cu raza).
  49. 14 — Distanța dintre vârfurile opuse este diametrul cercului circumscris: 2R = 2·7 = 14 cm (latura hexagonului este egală cu raza).
  50. 6√3 — Cateta mare = cateta mică·tg 60° = 6√3 cm.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 14 cm (în cm²)? (Se folosește înălțimea l√3/2.)ABCD1414
  2. Care este lungimea celei mai scurte diagonale a unui hexagon regulat cu latura 5 cm (în cm)?OAB
  3. Un triunghi dreptunghic are unghiurile ascuțite de 45° și 45°, iar ipotenuza 22 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  4. Care este lungimea celei mai scurte diagonale a unui hexagon regulat cu latura 9 cm (în cm)?OAB
  5. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 10 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  6. Un triunghi dreptunghic are unghiurile ascuțite de 30° și 60°, iar ipotenuza 20 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  7. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 12 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  8. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 16 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  9. Un triunghi isoscel are baza 10 cm și unghiurile de la bază de 30°. Care este înălțimea corespunzătoare bazei (în cm)?
  10. Care este apotema unui hexagon regulat cu latura 9 cm (în cm)?OAB
  11. Care este lungimea celei mai scurte diagonale a unui hexagon regulat cu latura 12 cm (în cm)?OAB
  12. Un triunghi isoscel are baza 4 cm și unghiurile de la bază de 30°. Care este înălțimea corespunzătoare bazei (în cm)?
  13. Care este lungimea celei mai scurte diagonale a unui hexagon regulat cu latura 8 cm (în cm)?OAB
  14. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 18 cm (în cm²)? (Se folosește înălțimea l√3/2.)ABCD1818
  15. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 14 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  16. Un triunghi dreptunghic are unghiurile ascuțite de 30° și 60°, iar ipotenuza 16 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  17. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 6 cm (în cm²)? (Se folosește înălțimea l√3/2.)ABCD66
  18. O scară de 16 m formează cu solul un unghi de 60°. La ce înălțime atinge zidul (în m)?1660°
  19. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 16 cm (în cm²)? (Se folosește înălțimea l√3/2.)ABCD1616
  20. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 6 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  21. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 20 cm (în cm²)? (Se folosește înălțimea l√3/2.)ABCD2020
  22. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 20 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  23. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 8 cm (în cm²)? (Se folosește înălțimea l√3/2.)ABCD88
  24. Un triunghi isoscel are baza 20 cm și unghiurile de la bază de 30°. Care este înălțimea corespunzătoare bazei (în cm)?
  25. O scară de 12 m formează cu solul un unghi de 60°. La ce înălțime atinge zidul (în m)?1260°
  26. Un triunghi dreptunghic are unghiurile ascuțite de 60° și 30°, iar ipotenuza 22 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  27. Care este apotema unui hexagon regulat cu latura 4 cm (în cm)?OAB
  28. Un triunghi isoscel are baza 8 cm și unghiurile de la bază de 30°. Care este înălțimea corespunzătoare bazei (în cm)?
  29. Un triunghi dreptunghic are unghiurile ascuțite de 45° și 45°, iar ipotenuza 12 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  30. O scară de 14 m formează cu solul un unghi de 60°. La ce înălțime atinge zidul (în m)?1460°
  31. Un triunghi isoscel are baza 16 cm și unghiurile de la bază de 30°. Care este înălțimea corespunzătoare bazei (în cm)?
  32. Un triunghi isoscel are baza 6 cm și unghiurile de la bază de 30°. Care este înălțimea corespunzătoare bazei (în cm)?
  33. Care este apotema unui hexagon regulat cu latura 3 cm (în cm)?OAB
  34. Care este lungimea celei mai scurte diagonale a unui hexagon regulat cu latura 7 cm (în cm)?OAB
  35. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 8 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  36. Un triunghi dreptunghic are unghiurile ascuțite de 45° și 45°, iar ipotenuza 4 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  37. Care este apotema unui hexagon regulat cu latura 12 cm (în cm)?OAB
  38. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 18 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  39. Care este lungimea celei mai scurte diagonale a unui hexagon regulat cu latura 2 cm (în cm)?OAB
  40. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° și ipotenuza de 24 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  41. Un triunghi dreptunghic are unghiurile ascuțite de 45° și 45°, iar ipotenuza 16 cm. Care este aria lui (în cm²)?
  42. Un triunghi isoscel are baza 22 cm și unghiurile de la bază de 30°. Care este înălțimea corespunzătoare bazei (în cm)?
  43. O scară de 18 m formează cu solul un unghi de 60°. La ce înălțime atinge zidul (în m)?1860°
  44. Care este lungimea celei mai scurte diagonale a unui hexagon regulat cu latura 6 cm (în cm)?OAB
  45. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 12 cm (în cm²)? (Se folosește înălțimea l√3/2.)ABCD1212
  46. Care este lungimea celei mai scurte diagonale a unui hexagon regulat cu latura 11 cm (în cm)?OAB
  47. Care este apotema unui hexagon regulat cu latura 5 cm (în cm)?OAB
  48. Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 10 cm (în cm²)? (Se folosește înălțimea l√3/2.)ABCD1010
  49. Care este apotema unui hexagon regulat cu latura 8 cm (în cm)?OAB
  50. O scară de 6 m formează cu solul un unghi de 60°. La ce înălțime atinge zidul (în m)?660°
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 49√3 — h = 7√3, A = (14·7√3)/2 = 49√3 cm².
  2. 5√3 — Diagonala scurtă unește două vârfuri aflate la un vârf distanță; în triunghiul isoscel cu unghiul de 120° la vârf, baza = l√3 = 5√3 cm.
  3. 121 — Catetele: 22·sin 45° și 22·cos 45°. Aria = (L²·sin 45°·cos 45°)/2 = 121 cm².
  4. 9√3 — Diagonala scurtă unește două vârfuri aflate la un vârf distanță; în triunghiul isoscel cu unghiul de 120° la vârf, baza = l√3 = 9√3 cm.
  5. 25√3/2 — Cateta mică: 5; cateta mare: 5√3. Aria = (5·5√3)/2 = 25√3/2 cm².
  6. 50√3 — Catetele: 20·sin 30° și 20·cos 30°. Aria = (L²·sin 30°·cos 30°)/2 = 50√3 cm².
  7. 18√3 — Cateta mică: 6; cateta mare: 6√3. Aria = (6·6√3)/2 = 18√3 cm².
  8. 32√3 — Cateta mică: 8; cateta mare: 8√3. Aria = (8·8√3)/2 = 32√3 cm².
  9. 5√3/3 — Jumătate din bază: 5. h = 5·tg 30° = 5·√3/3 = 5√3/3 cm.
  10. 9√3/2 — Apotema este înălțimea unui triunghi echilateral de latură 9: 9√3/2 = 9√3/2 cm.
  11. 12√3 — Diagonala scurtă unește două vârfuri aflate la un vârf distanță; în triunghiul isoscel cu unghiul de 120° la vârf, baza = l√3 = 12√3 cm.
  12. 2√3/3 — Jumătate din bază: 2. h = 2·tg 30° = 2·√3/3 = 2√3/3 cm.
  13. 8√3 — Diagonala scurtă unește două vârfuri aflate la un vârf distanță; în triunghiul isoscel cu unghiul de 120° la vârf, baza = l√3 = 8√3 cm.
  14. 81√3 — h = 9√3, A = (18·9√3)/2 = 81√3 cm².
  15. 49√3/2 — Cateta mică: 7; cateta mare: 7√3. Aria = (7·7√3)/2 = 49√3/2 cm².
  16. 32√3 — Catetele: 16·sin 30° și 16·cos 30°. Aria = (L²·sin 30°·cos 30°)/2 = 32√3 cm².
  17. 9√3 — h = 3√3, A = (6·3√3)/2 = 9√3 cm².
  18. 8√3 — h = L·sin 60° = 16·√3/2 = 8√3 m.
  19. 64√3 — h = 8√3, A = (16·8√3)/2 = 64√3 cm².
  20. 9√3/2 — Cateta mică: 3; cateta mare: 3√3. Aria = (3·3√3)/2 = 9√3/2 cm².
  21. 100√3 — h = 10√3, A = (20·10√3)/2 = 100√3 cm².
  22. 50√3 — Cateta mică: 10; cateta mare: 10√3. Aria = (10·10√3)/2 = 50√3 cm².
  23. 16√3 — h = 4√3, A = (8·4√3)/2 = 16√3 cm².
  24. 10√3/3 — Jumătate din bază: 10. h = 10·tg 30° = 10·√3/3 = 10√3/3 cm.
  25. 6√3 — h = L·sin 60° = 12·√3/2 = 6√3 m.
  26. 121√3/2 — Catetele: 22·sin 60° și 22·cos 60°. Aria = (L²·sin 60°·cos 60°)/2 = 121√3/2 cm².
  27. 2√3 — Apotema este înălțimea unui triunghi echilateral de latură 4: 4√3/2 = 2√3 cm.
  28. 4√3/3 — Jumătate din bază: 4. h = 4·tg 30° = 4·√3/3 = 4√3/3 cm.
  29. 36 — Catetele: 12·sin 45° și 12·cos 45°. Aria = (L²·sin 45°·cos 45°)/2 = 36 cm².
  30. 7√3 — h = L·sin 60° = 14·√3/2 = 7√3 m.
  31. 8√3/3 — Jumătate din bază: 8. h = 8·tg 30° = 8·√3/3 = 8√3/3 cm.
  32. √3 — Jumătate din bază: 3. h = 3·tg 30° = 3·√3/3 = √3 cm.
  33. 3√3/2 — Apotema este înălțimea unui triunghi echilateral de latură 3: 3√3/2 = 3√3/2 cm.
  34. 7√3 — Diagonala scurtă unește două vârfuri aflate la un vârf distanță; în triunghiul isoscel cu unghiul de 120° la vârf, baza = l√3 = 7√3 cm.
  35. 8√3 — Cateta mică: 4; cateta mare: 4√3. Aria = (4·4√3)/2 = 8√3 cm².
  36. 4 — Catetele: 4·sin 45° și 4·cos 45°. Aria = (L²·sin 45°·cos 45°)/2 = 4 cm².
  37. 6√3 — Apotema este înălțimea unui triunghi echilateral de latură 12: 12√3/2 = 6√3 cm.
  38. 81√3/2 — Cateta mică: 9; cateta mare: 9√3. Aria = (9·9√3)/2 = 81√3/2 cm².
  39. 2√3 — Diagonala scurtă unește două vârfuri aflate la un vârf distanță; în triunghiul isoscel cu unghiul de 120° la vârf, baza = l√3 = 2√3 cm.
  40. 72√3 — Cateta mică: 12; cateta mare: 12√3. Aria = (12·12√3)/2 = 72√3 cm².
  41. 64 — Catetele: 16·sin 45° și 16·cos 45°. Aria = (L²·sin 45°·cos 45°)/2 = 64 cm².
  42. 11√3/3 — Jumătate din bază: 11. h = 11·tg 30° = 11·√3/3 = 11√3/3 cm.
  43. 9√3 — h = L·sin 60° = 18·√3/2 = 9√3 m.
  44. 6√3 — Diagonala scurtă unește două vârfuri aflate la un vârf distanță; în triunghiul isoscel cu unghiul de 120° la vârf, baza = l√3 = 6√3 cm.
  45. 36√3 — h = 6√3, A = (12·6√3)/2 = 36√3 cm².
  46. 11√3 — Diagonala scurtă unește două vârfuri aflate la un vârf distanță; în triunghiul isoscel cu unghiul de 120° la vârf, baza = l√3 = 11√3 cm.
  47. 5√3/2 — Apotema este înălțimea unui triunghi echilateral de latură 5: 5√3/2 = 5√3/2 cm.
  48. 25√3 — h = 5√3, A = (10·5√3)/2 = 25√3 cm².
  49. 4√3 — Apotema este înălțimea unui triunghi echilateral de latură 8: 8√3/2 = 4√3 cm.
  50. 3√3 — h = L·sin 60° = 6·√3/2 = 3√3 m.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a