Acasă › Clasa a 7-a › Teorema lui Thales

Teorema lui Thales

Teorema lui Thales într-un triunghi și într-un trapez, reciproca ei, aplicații.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Enunțul

Într-un triunghi ABC, dacă o dreaptă paralelă cu BC intersectează AB în D și AC în E, atunci segmentele determinate pe laturi sunt proporționale.

DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC
și AD/AB = AE/AC, DB/AB = EC/AC

Reciproca teoremei

Dacă AD/DB = AE/EC (cu D ∈ AB, E ∈ AC), atunci DE ∥ BC

Reciproca ne spune cum demonstrăm paralelismul: calculăm cele două rapoarte; dacă sunt egale, dreptele sunt paralele.

Teorema lui Thales într-un trapez

În trapezul ABCD cu AB ∥ CD, diagonalele se taie în O: AO/OC = BO/OD = AB/CD

Paralele care taie două secante

AB/BC = A′B′/B′C′ (paralelele determină segmente proporționale pe secante)

Exemplul 1. DE ∥ BC, AD = 9, DB = 5, AE = 45. Află EC.

Rezolvare (cu AD/DB). 9/5 = 45/EC ⇒ EC = 5·45/9 = 25.

Exemplul 2. DE ∥ BC, AD = 7, AB = 9, AC = 36. Află EC.

Metoda 1 (cu AD/AB). AE = 7·36/9 = 28, EC = 36 − 28 = 8.

Metoda 2 (cu DB/AB). DB = 2, DB/AB = EC/AC ⇒ EC = 2·36/9 = 8.

Exemplul 3. AD = 4, DB = 9, AE = 9, EC = 2. Este DE ∥ BC?

Rezolvare. 4/9 ≠ 9/2, deci nu este paralelă.

Exemplul 4. Trapezul ABCD, AB ∥ CD: AO = 3, OC = 6, BO = 4. Află OD.

Rezolvare. 3/6 = 4/OD ⇒ OD = 8.

Greșeli frecvente

Se pun în proporție segmente care nu corespund (de exemplu AD/DB = EC/AE).
Se aplică teorema fără să se verifice că DE ∥ BC.
Se confundă AD/DB cu AD/AB (ambele sunt corecte, dar nu se amestecă).

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 11, DB = 8, AE = 22, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 5, DB = 4 și AE = 25, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 9, DB = 11, AE = 18, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 4, DB = 6, AE = 8, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 8, DB = 5, AE = 16, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 9, DB = 5 și AE = 45, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 2, DB = 12, AE = 4, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 4, DB = 10, AE = 8, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 6, DB = 2 și AE = 12, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 9, DB = 3 și AE = 18, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 5, DB = 11, AE = 10, cât trebuie să fie EC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă AD = 2, AB = 14 și AE = 6, cât este AC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 3, DB = 9 și AE = 15, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 4, DB = 2 și AE = 8, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 5, DB = 9, AE = 10, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 6, DB = 9, AE = 12, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 7, DB = 10, AE = 14, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 7, DB = 8, AE = 14, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 2, DB = 3 și AE = 4, cât este EC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă AD = 4, AB = 8 și AE = 6, cât este AC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 5, DB = 9 și AE = 15, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 10, DB = 7, AE = 20, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 7, DB = 6, AE = 14, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 9, DB = 7 și AE = 36, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 4, DB = 5, AE = 8, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 2, DB = 6 și AE = 8, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 9, DB = 3 și AE = 36, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 9, DB = 9 și AE = 36, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 3, DB = 3 și AE = 18, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 9, DB = 9 și AE = 27, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 12, DB = 8, AE = 24, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 2, DB = 8 și AE = 8, cât este EC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă AD = 2, AB = 12 și AE = 2, cât este AC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 6, DB = 3 și AE = 18, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 2, DB = 4, AE = 4, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 4, DB = 9 și AE = 20, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 8, DB = 2 și AE = 32, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 2, DB = 8 și AE = 10, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 3, DB = 8 și AE = 18, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 5, DB = 9 și AE = 10, cât este EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 9, DB = 8 și AE = 45, cât este EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 6, DB = 5, AE = 12, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 7, DB = 4, AE = 14, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 6, DB = 2, AE = 12, cât trebuie să fie EC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC și DE ∥ BC. Dacă AD = 9, DB = 6 și AE = 18, cât este EC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă AD = 2, AB = 8 și AE = 6, cât este AC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 5, DB = 4, AE = 10, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 8, DB = 3, AE = 16, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 6, DB = 4, AE = 12, cât trebuie să fie EC?
Reciproca teoremei lui Thales: DE ∥ BC dacă AD/DB = AE/EC. Pentru AD = 2, DB = 5, AE = 4, cât trebuie să fie EC?

Arată răspunsurile: nivel ușor

16 — 11/8 = 22/EC ⇒ EC = 16.
20 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 5/4 = 25/EC ⇒ EC = 4·25:5 = 20.
22 — 9/11 = 18/EC ⇒ EC = 22.
12 — 4/6 = 8/EC ⇒ EC = 12.
10 — 8/5 = 16/EC ⇒ EC = 10.
25 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 9/5 = 45/EC ⇒ EC = 5·45:9 = 25.
24 — 2/12 = 4/EC ⇒ EC = 24.
20 — 4/10 = 8/EC ⇒ EC = 20.
4 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 6/2 = 12/EC ⇒ EC = 2·12:6 = 4.
6 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 9/3 = 18/EC ⇒ EC = 3·18:9 = 6.
22 — 5/11 = 10/EC ⇒ EC = 22.
42 — AD/AB = AE/AC ⇒ 2/14 = 6/AC ⇒ AC = 14·6:2 = 42.
45 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 3/9 = 15/EC ⇒ EC = 9·15:3 = 45.
4 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 4/2 = 8/EC ⇒ EC = 2·8:4 = 4.
18 — 5/9 = 10/EC ⇒ EC = 18.
18 — 6/9 = 12/EC ⇒ EC = 18.
20 — 7/10 = 14/EC ⇒ EC = 20.
16 — 7/8 = 14/EC ⇒ EC = 16.
6 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 2/3 = 4/EC ⇒ EC = 3·4:2 = 6.
12 — AD/AB = AE/AC ⇒ 4/8 = 6/AC ⇒ AC = 8·6:4 = 12.
27 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 5/9 = 15/EC ⇒ EC = 9·15:5 = 27.
14 — 10/7 = 20/EC ⇒ EC = 14.
12 — 7/6 = 14/EC ⇒ EC = 12.
28 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 9/7 = 36/EC ⇒ EC = 7·36:9 = 28.
10 — 4/5 = 8/EC ⇒ EC = 10.
24 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 2/6 = 8/EC ⇒ EC = 6·8:2 = 24.
12 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 9/3 = 36/EC ⇒ EC = 3·36:9 = 12.
36 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 9/9 = 36/EC ⇒ EC = 9·36:9 = 36.
18 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 3/3 = 18/EC ⇒ EC = 3·18:3 = 18.
27 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 9/9 = 27/EC ⇒ EC = 9·27:9 = 27.
16 — 12/8 = 24/EC ⇒ EC = 16.
32 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 2/8 = 8/EC ⇒ EC = 8·8:2 = 32.
12 — AD/AB = AE/AC ⇒ 2/12 = 2/AC ⇒ AC = 12·2:2 = 12.
9 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 6/3 = 18/EC ⇒ EC = 3·18:6 = 9.
8 — 2/4 = 4/EC ⇒ EC = 8.
45 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 4/9 = 20/EC ⇒ EC = 9·20:4 = 45.
8 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 8/2 = 32/EC ⇒ EC = 2·32:8 = 8.
40 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 2/8 = 10/EC ⇒ EC = 8·10:2 = 40.
48 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 3/8 = 18/EC ⇒ EC = 8·18:3 = 48.
18 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 5/9 = 10/EC ⇒ EC = 9·10:5 = 18.
40 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 9/8 = 45/EC ⇒ EC = 8·45:9 = 40.
10 — 6/5 = 12/EC ⇒ EC = 10.
8 — 7/4 = 14/EC ⇒ EC = 8.
4 — 6/2 = 12/EC ⇒ EC = 4.
12 — Teorema lui Thales: AD/DB = AE/EC ⇒ 9/6 = 18/EC ⇒ EC = 6·18:9 = 12.
24 — AD/AB = AE/AC ⇒ 2/8 = 6/AC ⇒ AC = 8·6:2 = 24.
8 — 5/4 = 10/EC ⇒ EC = 8.
6 — 8/3 = 16/EC ⇒ EC = 6.
8 — 6/4 = 12/EC ⇒ EC = 8.
10 — 2/5 = 4/EC ⇒ EC = 10.

Nivel mediu (50 de exerciții)

DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 6, AB = 10 și CE = 24, cât este AC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 8, AB = 10 și CE = 32, cât este AC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 3, AB = 11 și CE = 12, cât este AC?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 9, OC = 4 și BO = 36, cât este OD?
Trei paralele taie două secante. Pe prima: AB = 9, BC = 4. Pe a doua: A′B′ = 54. Cât este B′C′?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 2, AB = 5 și CE = 4, cât este AC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 5, AB = 8 și CE = 20, cât este AC?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 3, OC = 4 și BO = 12, cât este OD?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 8, OC = 4 și BO = 40, cât este OD?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 6, OC = 2 și BO = 18, cât este OD?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 9, DB = 7, AE = 36, EC = 28. Este DE paralelă cu BC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 2, AB = 8 și CE = 8, cât este AC?
Trei paralele taie două secante. Pe prima: AB = 6, BC = 3. Pe a doua: A′B′ = 18. Cât este B′C′?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 2, AB = 9 și CE = 6, cât este AC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 3, DB = 2, AE = 9, EC = 4. Este DE paralelă cu BC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 9, DB = 9, AE = 27, EC = 27. Este DE paralelă cu BC?
În triunghiul ABC, M ∈ AB, N ∈ AC, MN ∥ BC, AM/MB = 1/2 și AB = 6 cm. Cât este AM?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 3, AB = 11 și CE = 9, cât este AC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 5, AB = 8 și CE = 15, cât este AC?
În triunghiul ABC, M ∈ AB, N ∈ AC, MN ∥ BC, AM/MB = 2/6 și AB = 48 cm. Cât este AM?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 5, DB = 5, AE = 20, EC = 20. Este DE paralelă cu BC?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 4, OC = 5 și BO = 12, cât este OD?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 5, AB = 13 și CE = 10, cât este AC?
În triunghiul ABC, M ∈ AB, N ∈ AC, MN ∥ BC, AM/MB = 7/8 și AB = 105 cm. Cât este AM?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 7, AB = 15 și CE = 28, cât este AC?
Trei paralele taie două secante. Pe prima: AB = 6, BC = 2. Pe a doua: A′B′ = 24. Cât este B′C′?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 3, AB = 5 și CE = 6, cât este AC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 8, DB = 8, AE = 32, EC = 32. Este DE paralelă cu BC?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 4, OC = 2 și BO = 8, cât este OD?
Trei paralele taie două secante. Pe prima: AB = 2, BC = 3. Pe a doua: A′B′ = 12. Cât este B′C′?
În triunghiul ABC, M ∈ AB, N ∈ AC, MN ∥ BC, AM/MB = 2/4 și AB = 24 cm. Cât este AM?
Trei paralele taie două secante. Pe prima: AB = 7, BC = 3. Pe a doua: A′B′ = 42. Cât este B′C′?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 5, DB = 5, AE = 5, EC = 7. Este DE paralelă cu BC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 4, AB = 12 și CE = 16, cât este AC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 7, AB = 14 și CE = 28, cât este AC?
Trei paralele taie două secante. Pe prima: AB = 2, BC = 6. Pe a doua: A′B′ = 12. Cât este B′C′?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 3, DB = 8, AE = 9, EC = 24. Este DE paralelă cu BC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 6, AB = 10 și CE = 12, cât este AC?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 8, OC = 5 și BO = 40, cât este OD?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 2, DB = 6, AE = 4, EC = 12. Este DE paralelă cu BC?
Trei paralele taie două secante. Pe prima: AB = 8, BC = 3. Pe a doua: A′B′ = 32. Cât este B′C′?
Trei paralele taie două secante. Pe prima: AB = 7, BC = 8. Pe a doua: A′B′ = 21. Cât este B′C′?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 6, AB = 8 și CE = 18, cât este AC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 4, DB = 9, AE = 9, EC = 2. Este DE paralelă cu BC?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 6, OC = 3 și BO = 12, cât este OD?
ABCD este trapez cu AB ∥ CD, iar diagonalele se taie în O. Dacă AO = 7, OC = 3 și BO = 28, cât este OD?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 4, AB = 7 și CE = 8, cât este AC?
DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. Dacă BD = 5, AB = 10 și CE = 10, cât este AC?
În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu AD = 5, DB = 9, AE = 9, EC = 2. Este DE paralelă cu BC?
În triunghiul ABC, M ∈ AB, N ∈ AC, MN ∥ BC, AM/MB = 2/9 și AB = 22 cm. Cât este AM?

Arată răspunsurile: nivel mediu

40 — BD/AB = CE/AC ⇒ 6/10 = 24/AC ⇒ AC = 10·24:6 = 40.
40 — BD/AB = CE/AC ⇒ 8/10 = 32/AC ⇒ AC = 10·32:8 = 40.
44 — BD/AB = CE/AC ⇒ 3/11 = 12/AC ⇒ AC = 11·12:3 = 44.
16 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 9/4 = 36/OD ⇒ OD = 16.
24 — Teorema paralelelor (Thales): AB/BC = A′B′/B′C′ ⇒ 9/4 = 54/B′C′ ⇒ B′C′ = 24.
10 — BD/AB = CE/AC ⇒ 2/5 = 4/AC ⇒ AC = 5·4:2 = 10.
32 — BD/AB = CE/AC ⇒ 5/8 = 20/AC ⇒ AC = 8·20:5 = 32.
16 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 3/4 = 12/OD ⇒ OD = 16.
20 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 8/4 = 40/OD ⇒ OD = 20.
6 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 6/2 = 18/OD ⇒ OD = 6.
da — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 9/7 și AE/EC = 36/28. Rapoartele sunt egale, deci DE ∥ BC.
32 — BD/AB = CE/AC ⇒ 2/8 = 8/AC ⇒ AC = 8·8:2 = 32.
9 — Teorema paralelelor (Thales): AB/BC = A′B′/B′C′ ⇒ 6/3 = 18/B′C′ ⇒ B′C′ = 9.
27 — BD/AB = CE/AC ⇒ 2/9 = 6/AC ⇒ AC = 9·6:2 = 27.
nu — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 3/2 și AE/EC = 9/4. Rapoartele sunt diferite, deci DE nu este paralelă cu BC.
da — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 9/9 și AE/EC = 27/27. Rapoartele sunt egale, deci DE ∥ BC.
2 — AM = 1k, MB = 2k, AB = 3k = 6 ⇒ k = 2. AM = 2 cm.
33 — BD/AB = CE/AC ⇒ 3/11 = 9/AC ⇒ AC = 11·9:3 = 33.
24 — BD/AB = CE/AC ⇒ 5/8 = 15/AC ⇒ AC = 8·15:5 = 24.
12 — AM = 2k, MB = 6k, AB = 8k = 48 ⇒ k = 6. AM = 12 cm.
da — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 5/5 și AE/EC = 20/20. Rapoartele sunt egale, deci DE ∥ BC.
15 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 4/5 = 12/OD ⇒ OD = 15.
26 — BD/AB = CE/AC ⇒ 5/13 = 10/AC ⇒ AC = 13·10:5 = 26.
49 — AM = 7k, MB = 8k, AB = 15k = 105 ⇒ k = 7. AM = 49 cm.
60 — BD/AB = CE/AC ⇒ 7/15 = 28/AC ⇒ AC = 15·28:7 = 60.
8 — Teorema paralelelor (Thales): AB/BC = A′B′/B′C′ ⇒ 6/2 = 24/B′C′ ⇒ B′C′ = 8.
10 — BD/AB = CE/AC ⇒ 3/5 = 6/AC ⇒ AC = 5·6:3 = 10.
da — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 8/8 și AE/EC = 32/32. Rapoartele sunt egale, deci DE ∥ BC.
4 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 4/2 = 8/OD ⇒ OD = 4.
18 — Teorema paralelelor (Thales): AB/BC = A′B′/B′C′ ⇒ 2/3 = 12/B′C′ ⇒ B′C′ = 18.
8 — AM = 2k, MB = 4k, AB = 6k = 24 ⇒ k = 4. AM = 8 cm.
18 — Teorema paralelelor (Thales): AB/BC = A′B′/B′C′ ⇒ 7/3 = 42/B′C′ ⇒ B′C′ = 18.
nu — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 5/5 și AE/EC = 5/7. Rapoartele sunt diferite, deci DE nu este paralelă cu BC.
48 — BD/AB = CE/AC ⇒ 4/12 = 16/AC ⇒ AC = 12·16:4 = 48.
56 — BD/AB = CE/AC ⇒ 7/14 = 28/AC ⇒ AC = 14·28:7 = 56.
36 — Teorema paralelelor (Thales): AB/BC = A′B′/B′C′ ⇒ 2/6 = 12/B′C′ ⇒ B′C′ = 36.
da — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 3/8 și AE/EC = 9/24. Rapoartele sunt egale, deci DE ∥ BC.
20 — BD/AB = CE/AC ⇒ 6/10 = 12/AC ⇒ AC = 10·12:6 = 20.
25 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 8/5 = 40/OD ⇒ OD = 25.
da — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 2/6 și AE/EC = 4/12. Rapoartele sunt egale, deci DE ∥ BC.
12 — Teorema paralelelor (Thales): AB/BC = A′B′/B′C′ ⇒ 8/3 = 32/B′C′ ⇒ B′C′ = 12.
24 — Teorema paralelelor (Thales): AB/BC = A′B′/B′C′ ⇒ 7/8 = 21/B′C′ ⇒ B′C′ = 24.
24 — BD/AB = CE/AC ⇒ 6/8 = 18/AC ⇒ AC = 8·18:6 = 24.
nu — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 4/9 și AE/EC = 9/2. Rapoartele sunt diferite, deci DE nu este paralelă cu BC.
6 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 6/3 = 12/OD ⇒ OD = 6.
12 — Din AB ∥ CD, triunghiurile OAB și OCD dau AO/OC = BO/OD ⇒ 7/3 = 28/OD ⇒ OD = 12.
14 — BD/AB = CE/AC ⇒ 4/7 = 8/AC ⇒ AC = 7·8:4 = 14.
20 — BD/AB = CE/AC ⇒ 5/10 = 10/AC ⇒ AC = 10·10:5 = 20.
nu — Verificăm reciproca teoremei lui Thales: AD/DB = 5/9 și AE/EC = 9/2. Rapoartele sunt diferite, deci DE nu este paralelă cu BC.
4 — AM = 2k, MB = 9k, AB = 11k = 22 ⇒ k = 2. AM = 4 cm.

Nivel dificil (50 de exerciții)

În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 8, AB = 10, AC = 30. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC cu D ∈ AB, E ∈ AC, AD = x, DB = x + 5, iar AE/EC = 4/8. Cât este x?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 2, AB = 10, AC = 40. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 8, AB = 11, AC = 22. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 8, DB = 14 și AC = 33. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 6, AB = 14, AC = 56. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC cu D ∈ AB, E ∈ AC, AD = x, DB = x + 2, iar AE/EC = 2/4. Cât este x?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 2, AB = 11, AC = 33. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 12, DB = 9 și AC = 21. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 9, AB = 12, AC = 24. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 6, AB = 14, AC = 28. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 7, AB = 11, AC = 22. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 45, DB = 15 și AC = 36. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 7, AB = 10, AC = 40. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 21, DB = 15 și AC = 48. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 9, AB = 11, AC = 22. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 3, AB = 11, AC = 33. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 45, DB = 20 și AC = 65. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC cu D ∈ AB, E ∈ AC, AD = x, DB = x + 3, iar AE/EC = 5/8. Cât este x?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 2, AB = 11, AC = 22. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 6, DB = 6 și AC = 12. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 5, AB = 11, AC = 22. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 36, DB = 12 și AC = 60. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 7, AB = 9, AC = 27. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC cu D ∈ AB, E ∈ AC, AD = x, DB = x + 2, iar AE/EC = 5/7. Cât este x?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 8, DB = 14 și AC = 22. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 7, AB = 15, AC = 30. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 12, DB = 18 și AC = 60. Cât este AE?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 25, DB = 30 și AC = 33. Cât este AE?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 16, DB = 16 și AC = 32. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 6, AB = 9, AC = 27. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 4, DB = 6 și AC = 15. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 9, AB = 14, AC = 42. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 10, DB = 12 și AC = 33. Cât este AE?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 45, DB = 30 și AC = 45. Cât este AE?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 10, DB = 4 și AC = 28. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 5, AB = 12, AC = 24. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 4, AB = 7, AC = 28. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 3, AB = 12, AC = 48. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 21, DB = 24 și AC = 75. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 8, AB = 10, AC = 40. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 4, DB = 4 și AC = 20. Cât este AE?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 10, DB = 10 și AC = 30. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 3, AB = 8, AC = 16. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 9, AB = 11, AC = 33. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 6, AB = 10, AC = 20. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 16, DB = 12 și AC = 28. Cât este AE?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 7, AB = 9, AC = 36. Cât este EC?
În triunghiul ABC, DE ∥ BC, AD = 2, AB = 8, AC = 16. Cât este EC?
DE ∥ BC în triunghiul ABC (D ∈ AB, E ∈ AC). AD = 18, DB = 16 și AC = 34. Cât este AE?

Arată răspunsurile: nivel dificil

6 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 8·30:10 = 24. EC = AC − AE = 30 − 24 = 6.
5 — AD/DB = AE/EC ⇒ x/(x + 5) = 4/8 ⇒ 8x = 4x + 20 ⇒ 4x = 20 ⇒ x = 5.
32 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 2·40:10 = 8. EC = AC − AE = 40 − 8 = 32.
6 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 8·22:11 = 16. EC = AC − AE = 22 − 16 = 6.
12 — AD/DB = 8/14 = 4/7. AE/EC = 4/7, AE = 4t, EC = 7t, 11t = 33 ⇒ t = 3. AE = 4·3 = 12.
32 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 6·56:14 = 24. EC = AC − AE = 56 − 24 = 32.
2 — AD/DB = AE/EC ⇒ x/(x + 2) = 2/4 ⇒ 4x = 2x + 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2.
27 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 2·33:11 = 6. EC = AC − AE = 33 − 6 = 27.
12 — AD/DB = 12/9 = 4/3. AE/EC = 4/3, AE = 4t, EC = 3t, 7t = 21 ⇒ t = 3. AE = 4·3 = 12.
6 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 9·24:12 = 18. EC = AC − AE = 24 − 18 = 6.
16 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 6·28:14 = 12. EC = AC − AE = 28 − 12 = 16.
8 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 7·22:11 = 14. EC = AC − AE = 22 − 14 = 8.
27 — AD/DB = 45/15 = 9/3. AE/EC = 9/3, AE = 9t, EC = 3t, 12t = 36 ⇒ t = 3. AE = 9·3 = 27.
12 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 7·40:10 = 28. EC = AC − AE = 40 − 28 = 12.
28 — AD/DB = 21/15 = 7/5. AE/EC = 7/5, AE = 7t, EC = 5t, 12t = 48 ⇒ t = 4. AE = 7·4 = 28.
4 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 9·22:11 = 18. EC = AC − AE = 22 − 18 = 4.
24 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 3·33:11 = 9. EC = AC − AE = 33 − 9 = 24.
45 — AD/DB = 45/20 = 9/4. AE/EC = 9/4, AE = 9t, EC = 4t, 13t = 65 ⇒ t = 5. AE = 9·5 = 45.
5 — AD/DB = AE/EC ⇒ x/(x + 3) = 5/8 ⇒ 8x = 5x + 15 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5.
18 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 2·22:11 = 4. EC = AC − AE = 22 − 4 = 18.
6 — AD/DB = 6/6 = 3/3. AE/EC = 3/3, AE = 3t, EC = 3t, 6t = 12 ⇒ t = 2. AE = 3·2 = 6.
12 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 5·22:11 = 10. EC = AC − AE = 22 − 10 = 12.
45 — AD/DB = 36/12 = 9/3. AE/EC = 9/3, AE = 9t, EC = 3t, 12t = 60 ⇒ t = 5. AE = 9·5 = 45.
6 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 7·27:9 = 21. EC = AC − AE = 27 − 21 = 6.
5 — AD/DB = AE/EC ⇒ x/(x + 2) = 5/7 ⇒ 7x = 5x + 10 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5.
8 — AD/DB = 8/14 = 4/7. AE/EC = 4/7, AE = 4t, EC = 7t, 11t = 22 ⇒ t = 2. AE = 4·2 = 8.
16 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 7·30:15 = 14. EC = AC − AE = 30 − 14 = 16.
24 — AD/DB = 12/18 = 6/9. AE/EC = 6/9, AE = 6t, EC = 9t, 15t = 60 ⇒ t = 4. AE = 6·4 = 24.
15 — AD/DB = 25/30 = 5/6. AE/EC = 5/6, AE = 5t, EC = 6t, 11t = 33 ⇒ t = 3. AE = 5·3 = 15.
16 — AD/DB = 16/16 = 4/4. AE/EC = 4/4, AE = 4t, EC = 4t, 8t = 32 ⇒ t = 4. AE = 4·4 = 16.
9 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 6·27:9 = 18. EC = AC − AE = 27 − 18 = 9.
6 — AD/DB = 4/6 = 2/3. AE/EC = 2/3, AE = 2t, EC = 3t, 5t = 15 ⇒ t = 3. AE = 2·3 = 6.
15 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 9·42:14 = 27. EC = AC − AE = 42 − 27 = 15.
15 — AD/DB = 10/12 = 5/6. AE/EC = 5/6, AE = 5t, EC = 6t, 11t = 33 ⇒ t = 3. AE = 5·3 = 15.
27 — AD/DB = 45/30 = 9/6. AE/EC = 9/6, AE = 9t, EC = 6t, 15t = 45 ⇒ t = 3. AE = 9·3 = 27.
20 — AD/DB = 10/4 = 5/2. AE/EC = 5/2, AE = 5t, EC = 2t, 7t = 28 ⇒ t = 4. AE = 5·4 = 20.
14 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 5·24:12 = 10. EC = AC − AE = 24 − 10 = 14.
12 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 4·28:7 = 16. EC = AC − AE = 28 − 16 = 12.
36 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 3·48:12 = 12. EC = AC − AE = 48 − 12 = 36.
35 — AD/DB = 21/24 = 7/8. AE/EC = 7/8, AE = 7t, EC = 8t, 15t = 75 ⇒ t = 5. AE = 7·5 = 35.
8 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 8·40:10 = 32. EC = AC − AE = 40 − 32 = 8.
10 — AD/DB = 4/4 = 2/2. AE/EC = 2/2, AE = 2t, EC = 2t, 4t = 20 ⇒ t = 5. AE = 2·5 = 10.
15 — AD/DB = 10/10 = 5/5. AE/EC = 5/5, AE = 5t, EC = 5t, 10t = 30 ⇒ t = 3. AE = 5·3 = 15.
10 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 3·16:8 = 6. EC = AC − AE = 16 − 6 = 10.
6 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 9·33:11 = 27. EC = AC − AE = 33 − 27 = 6.
8 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 6·20:10 = 12. EC = AC − AE = 20 − 12 = 8.
16 — AD/DB = 16/12 = 8/6. AE/EC = 8/6, AE = 8t, EC = 6t, 14t = 28 ⇒ t = 2. AE = 8·2 = 16.
8 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 7·36:9 = 28. EC = AC − AE = 36 − 28 = 8.
12 — AD/AB = AE/AC ⇒ AE = 2·16:8 = 4. EC = AC − AE = 16 − 4 = 12.
18 — AD/DB = 18/16 = 9/8. AE/EC = 9/8, AE = 9t, EC = 8t, 17t = 34 ⇒ t = 2. AE = 9·2 = 18.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a