Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 7-a › Elemente de trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Elemente de trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă ale unui unghi ascuțit, valori pentru 30°, 45°, 60°, formule.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Definițiile

αcat. opusăcat. alăturatăipotenuzaABC
sin α = cateta opusă / ipotenuza
cos α = cateta alăturată / ipotenuza
tg α = cateta opusă / cateta alăturată
ctg α = cateta alăturată / cateta opusă

Valorile depind numai de unghiul α, nu de mărimea triunghiului (triunghiurile dreptunghice cu același unghi ascuțit sunt asemenea).

Valorile unghiurilor remarcabile

Unghisincostgctg
30°1/2√3/2√3/3√3
45°√2/2√2/211
60°√3/21/2√3√3/3
kk√32k30°60°

Triunghi 30°–60°–90°: laturile k, k√3, 2k

kkk√245°45°

Triunghi 45°–45°–90°: laturile k, k, k√2

Formule

sin²α + cos²α = 1
tg α = sin α / cos α, tg α·ctg α = 1
sin α = cos(90° − α), tg α = ctg(90° − α)
Exemplul 1. ΔABC dreptunghic în A, AB = 3, AC = 4, BC = 5. Calculează sin B, cos B, tg B.
Rezolvare (din definiție). sin B = AC/BC = 4/5, cos B = AB/BC = 3/5, tg B = AC/AB = 4/3.
Exemplul 2. sin α = 5/13. Află cos α și tg α.
Metoda 1 (cu formula). cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, cos α = 12/13, tg α = 5/12.
Metoda 2 (cu triunghiul). Catetele 5 și 12, ipotenuza 13.
Exemplul 3. Calculează sin 30° + cos 60°.
Rezolvare. 1/2 + 1/2 = 1.
Exemplul 4. Calculează tg 60°·ctg 30° − sin²45°.
Rezolvare. √3·√3 − (√2/2)² = 3 − 1/2 = 5/2.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DE = 24 cm, DF = 32 cm și EF = 40 cm. Cât este tg E?243240DEF
  2. În triunghiul RST, dreptunghic în R, RS = 40 cm, RT = 42 cm și ST = 58 cm. Cât este ctg S?404258RST
  3. Cât este ctg 45°?
  4. În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KL = 9 cm, KM = 12 cm și LM = 15 cm. Cât este tg L?91215KLM
  5. Care este valoarea lui sin 60°? Se știe că sin 60° = cos 30°.
  6. Cât este ctg 30°?
  7. Cât este tg 45°?
  8. Cât este tg 30°?
  9. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 18 cm, AC = 24 cm și BC = 30 cm. Cât este tg B?182430ABC
  10. Care este valoarea lui cos 45°? Se știe că cos 45° = sin 45°.
  11. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 9 cm, AC = 12 cm și BC = 15 cm. Cât este ctg B?91215ABC
  12. Cât este cos 60°?
  13. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 36 cm, AC = 48 cm și BC = 60 cm. Cât este ctg B?364860ABC
  14. Cât este tg 60°?
  15. Cât este cos 30°?
  16. Cât este cos 45°?
  17. Cât este sin 60°?
  18. Care este valoarea lui tg 60°? Se știe că tg 60° = ctg 30°.
  19. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 20 cm, AC = 48 cm și BC = 52 cm. Cât este tg B?204852ABC
  20. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 45 cm, AC = 60 cm și BC = 75 cm. Cât este tg B?456075ABC
  21. În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XY = 40 cm, XZ = 42 cm și YZ = 58 cm. Cât este ctg Y?404258XYZ
  22. Cât este sin 30°?
  23. Care este valoarea lui ctg 60°? Se știe că ctg 60° = tg 30°.
  24. Care este valoarea lui cos 30°? Se știe că cos 30° = sin 60°.
  25. În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KL = 20 cm, KM = 21 cm și LM = 29 cm. Cât este tg L?202129KLM
  26. Care este valoarea lui ctg 45°? Se știe că ctg 45° = tg 45°.
  27. În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DE = 7 cm, DF = 24 cm și EF = 25 cm. Cât este ctg E?72425DEF
  28. În triunghiul KLM, dreptunghic în K, KL = 40 cm, KM = 42 cm și LM = 58 cm. Cât este tg L?404258KLM
  29. Care este valoarea lui sin 45°? Se știe că sin 45° = cos 45°.
  30. Care este valoarea lui tg 30°? Se știe că tg 30° = ctg 60°.
  31. Care este valoarea lui sin 30°? Se știe că sin 30° = cos 60°.
  32. Cât este sin 45°?
  33. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 24 cm, AC = 32 cm și BC = 40 cm. Cât este tg B?243240ABC
  34. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 60 cm, AC = 63 cm și BC = 87 cm. Cât este tg B?606387ABC
  35. În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XY = 24 cm, XZ = 45 cm și YZ = 51 cm. Cât este ctg Y?244551XYZ
  36. Care este valoarea lui cos 60°? Se știe că cos 60° = sin 30°.
  37. În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XY = 6 cm, XZ = 8 cm și YZ = 10 cm. Cât este ctg Y?6810XYZ
  38. Care este valoarea lui tg 45°? Se știe că tg 45° = ctg 45°.
  39. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 27 cm, AC = 36 cm și BC = 45 cm. Cât este ctg B?273645ABC
  40. În triunghiul RST, dreptunghic în R, RS = 9 cm, RT = 12 cm și ST = 15 cm. Cât este tg S?91215RST
  41. În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DE = 18 cm, DF = 24 cm și EF = 30 cm. Cât este ctg E?182430DEF
  42. Cât este ctg 60°?
  43. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 21 cm, AC = 72 cm și BC = 75 cm. Cât este ctg B?217275ABC
  44. În triunghiul MNP, dreptunghic în M, MN = 40 cm, MP = 96 cm și NP = 104 cm. Cât este ctg N?4096104MNP
  45. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 6 cm, AC = 8 cm și BC = 10 cm. Cât este ctg B?6810ABC
  46. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 16 cm, AC = 30 cm și BC = 34 cm. Cât este ctg B?163034ABC
  47. În triunghiul DEF, dreptunghic în D, DE = 9 cm, DF = 12 cm și EF = 15 cm. Cât este tg E?91215DEF
  48. În triunghiul XYZ, dreptunghic în X, XY = 60 cm, XZ = 80 cm și YZ = 100 cm. Cât este ctg Y?6080100XYZ
  49. În triunghiul RST, dreptunghic în R, RS = 10 cm, RT = 24 cm și ST = 26 cm. Cât este tg S?102426RST
  50. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, AB = 24 cm, AC = 45 cm și BC = 51 cm. Cât este ctg B?244551ABC
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 4/3 — tg E = cateta opusă / cateta alăturată = DF/DE = 32/24 = 4/3.
  2. 20/21 — ctg S = cateta alăturată / cateta opusă = RS/RT = 40/42 = 20/21.
  3. 1 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci ctg 45° = 1.
  4. 4/3 — tg L = cateta opusă / cateta alăturată = KM/KL = 12/9 = 4/3.
  5. √3/2 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). sin 60° = √3/2.
  6. √3 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci ctg 30° = √3.
  7. 1 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci tg 45° = 1.
  8. √3/3 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci tg 30° = √3/3.
  9. 4/3 — tg B = cateta opusă / cateta alăturată = AC/AB = 24/18 = 4/3.
  10. √2/2 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). cos 45° = √2/2.
  11. 3/4 — ctg B = cateta alăturată / cateta opusă = AB/AC = 9/12 = 3/4.
  12. 1/2 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci cos 60° = 1/2.
  13. 3/4 — ctg B = cateta alăturată / cateta opusă = AB/AC = 36/48 = 3/4.
  14. √3 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci tg 60° = √3.
  15. √3/2 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci cos 30° = √3/2.
  16. √2/2 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci cos 45° = √2/2.
  17. √3/2 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci sin 60° = √3/2.
  18. √3 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). tg 60° = √3.
  19. 12/5 — tg B = cateta opusă / cateta alăturată = AC/AB = 48/20 = 12/5.
  20. 4/3 — tg B = cateta opusă / cateta alăturată = AC/AB = 60/45 = 4/3.
  21. 20/21 — ctg Y = cateta alăturată / cateta opusă = XY/XZ = 40/42 = 20/21.
  22. 1/2 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci sin 30° = 1/2.
  23. √3/3 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). ctg 60° = √3/3.
  24. √3/2 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). cos 30° = √3/2.
  25. 21/20 — tg L = cateta opusă / cateta alăturată = KM/KL = 21/20.
  26. 1 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). ctg 45° = 1.
  27. 7/24 — ctg E = cateta alăturată / cateta opusă = DE/DF = 7/24.
  28. 21/20 — tg L = cateta opusă / cateta alăturată = KM/KL = 42/40 = 21/20.
  29. √2/2 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). sin 45° = √2/2.
  30. √3/3 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). tg 30° = √3/3.
  31. 1/2 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). sin 30° = 1/2.
  32. √2/2 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci sin 45° = √2/2.
  33. 4/3 — tg B = cateta opusă / cateta alăturată = AC/AB = 32/24 = 4/3.
  34. 21/20 — tg B = cateta opusă / cateta alăturată = AC/AB = 63/60 = 21/20.
  35. 8/15 — ctg Y = cateta alăturată / cateta opusă = XY/XZ = 24/45 = 8/15.
  36. 1/2 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). cos 60° = 1/2.
  37. 3/4 — ctg Y = cateta alăturată / cateta opusă = XY/XZ = 6/8 = 3/4.
  38. 1 — Pentru unghiuri complementare, sin α = cos(90° − α) și tg α = ctg(90° − α). tg 45° = 1.
  39. 3/4 — ctg B = cateta alăturată / cateta opusă = AB/AC = 27/36 = 3/4.
  40. 4/3 — tg S = cateta opusă / cateta alăturată = RT/RS = 12/9 = 4/3.
  41. 3/4 — ctg E = cateta alăturată / cateta opusă = DE/DF = 18/24 = 3/4.
  42. √3/3 — Valorile uzuale: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3, ctg 30° = √3; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = ctg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. Deci ctg 60° = √3/3.
  43. 7/24 — ctg B = cateta alăturată / cateta opusă = AB/AC = 21/72 = 7/24.
  44. 5/12 — ctg N = cateta alăturată / cateta opusă = MN/MP = 40/96 = 5/12.
  45. 3/4 — ctg B = cateta alăturată / cateta opusă = AB/AC = 6/8 = 3/4.
  46. 8/15 — ctg B = cateta alăturată / cateta opusă = AB/AC = 16/30 = 8/15.
  47. 4/3 — tg E = cateta opusă / cateta alăturată = DF/DE = 12/9 = 4/3.
  48. 3/4 — ctg Y = cateta alăturată / cateta opusă = XY/XZ = 60/80 = 3/4.
  49. 12/5 — tg S = cateta opusă / cateta alăturată = RT/RS = 24/10 = 12/5.
  50. 8/15 — ctg B = cateta alăturată / cateta opusă = AB/AC = 24/45 = 8/15.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 28 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??28ABC30°
  2. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 18 cm și 24 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 24 cm?
  3. Unghiul ascuțit α are sin α = 7/25. Cât este cos α?
  4. Unghiul ascuțit α are sin α = 3/5. Cât este cos α?
  5. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 5 cm și 12 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 12 cm?
  6. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 7 cm. Cât este o catetă (în cm)???7ABC45°
  7. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 12 cm și 16 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 16 cm?
  8. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 40 cm și 42 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 42 cm?
  9. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 6 cm. Cât este o catetă (în cm)???6ABC45°
  10. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 20 cm și 48 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 48 cm?
  11. Unghiul ascuțit α are sin α = 8/17. Cât este cos α?
  12. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 10 cm. Cât este o catetă (în cm)???10ABC45°
  13. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 9 cm. Cât este o catetă (în cm)???9ABC45°
  14. Unghiul ascuțit α are sin α = 12/13. Cât este cos α?
  15. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 26 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??26ABC30°
  16. Unghiul ascuțit α are sin α = 20/29. Cât este cos α?
  17. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 14 cm. Cât este o catetă (în cm)???14ABC45°
  18. Unghiul ascuțit α are sin α = 4/5. Cât este cos α?
  19. Unghiul ascuțit α are sin α = 21/29. Cât este cos α?
  20. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 22 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??22ABC30°
  21. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 9 cm și 12 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 12 cm?
  22. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 8 cm. Cât este o catetă (în cm)???8ABC45°
  23. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 12 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??12ABC30°
  24. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 20 cm. Cât este o catetă (în cm)???20ABC45°
  25. Unghiul ascuțit α are sin α = 15/17. Cât este cos α?
  26. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 13 cm. Cât este o catetă (în cm)???13ABC45°
  27. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 12 cm. Cât este o catetă (în cm)???12ABC45°
  28. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 24 cm și 45 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 45 cm?
  29. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 19 cm. Cât este o catetă (în cm)???19ABC45°
  30. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 10 cm și 24 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 24 cm?
  31. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 44 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??44ABC30°
  32. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 18 cm. Cât este o catetă (în cm)???18ABC45°
  33. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 38 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??38ABC30°
  34. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 15 cm. Cât este o catetă (în cm)???15ABC45°
  35. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 45 cm și 60 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 60 cm?
  36. Unghiul ascuțit α are sin α = 5/13. Cât este cos α?
  37. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 20 cm și 21 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 21 cm?
  38. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 11 cm. Cât este o catetă (în cm)???11ABC45°
  39. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 16 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??16ABC30°
  40. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 15 cm și 20 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 20 cm?
  41. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 27 cm și 36 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 36 cm?
  42. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 46 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??46ABC30°
  43. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 42 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??42ABC30°
  44. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 21 cm și 72 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 72 cm?
  45. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 6 cm și 8 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 8 cm?
  46. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 30°, iar ipotenuza are 6 cm. Cât este cateta opusă acestui unghi (în cm)??6ABC30°
  47. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 7 cm și 24 cm. Cât este tangenta unghiului opus catetei de 24 cm?
  48. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 2 cm. Cât este o catetă (în cm)???2ABC45°
  49. Unghiul ascuțit α are sin α = 24/25. Cât este cos α?
  50. Un triunghi dreptunghic are un unghi de 45° și ipotenuza de 17 cm. Cât este o catetă (în cm)???17ABC45°
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 14 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 28:2 = 14 cm.
  2. 4/3 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 24/18 = 4/3.
  3. 24/25 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 7²/25² = 576/625, deci cos α = 24/25.
  4. 4/5 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 3²/5² = 16/25, deci cos α = 4/5.
  5. 12/5 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 12/5.
  6. 7√2/2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 7·√2/2 = 7√2/2 cm.
  7. 4/3 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 16/12 = 4/3.
  8. 21/20 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 42/40 = 21/20.
  9. 3√2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 6·√2/2 = 3√2 cm.
  10. 12/5 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 48/20 = 12/5.
  11. 15/17 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 8²/17² = 225/289, deci cos α = 15/17.
  12. 5√2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 10·√2/2 = 5√2 cm.
  13. 9√2/2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 9·√2/2 = 9√2/2 cm.
  14. 5/13 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 12²/13² = 25/169, deci cos α = 5/13.
  15. 13 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 26:2 = 13 cm.
  16. 21/29 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 20²/29² = 441/841, deci cos α = 21/29.
  17. 7√2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 14·√2/2 = 7√2 cm.
  18. 3/5 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 4²/5² = 9/25, deci cos α = 3/5.
  19. 20/29 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 21²/29² = 400/841, deci cos α = 20/29.
  20. 11 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 22:2 = 11 cm.
  21. 4/3 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 12/9 = 4/3.
  22. 4√2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 8·√2/2 = 4√2 cm.
  23. 6 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 12:2 = 6 cm.
  24. 10√2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 20·√2/2 = 10√2 cm.
  25. 8/17 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 15²/17² = 64/289, deci cos α = 8/17.
  26. 13√2/2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 13·√2/2 = 13√2/2 cm.
  27. 6√2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 12·√2/2 = 6√2 cm.
  28. 15/8 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 45/24 = 15/8.
  29. 19√2/2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 19·√2/2 = 19√2/2 cm.
  30. 12/5 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 24/10 = 12/5.
  31. 22 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 44:2 = 22 cm.
  32. 9√2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 18·√2/2 = 9√2 cm.
  33. 19 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 38:2 = 19 cm.
  34. 15√2/2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 15·√2/2 = 15√2/2 cm.
  35. 4/3 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 60/45 = 4/3.
  36. 12/13 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 5²/13² = 144/169, deci cos α = 12/13.
  37. 21/20 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 21/20.
  38. 11√2/2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 11·√2/2 = 11√2/2 cm.
  39. 8 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 16:2 = 8 cm.
  40. 4/3 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 20/15 = 4/3.
  41. 4/3 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 36/27 = 4/3.
  42. 23 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 46:2 = 23 cm.
  43. 21 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 42:2 = 21 cm.
  44. 24/7 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 72/21 = 24/7.
  45. 4/3 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 8/6 = 4/3.
  46. 3 — sin 30° = cateta opusă/ipotenuză = 1/2, deci cateta = 6:2 = 3 cm.
  47. 24/7 — tg = cateta opusă / cateta alăturată = 24/7.
  48. √2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 2·√2/2 = √2 cm.
  49. 7/25 — sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − 24²/25² = 49/625, deci cos α = 7/25.
  50. 17√2/2 — Cateta = ipotenuza·sin 45° = 17·√2/2 = 17√2/2 cm.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Cât este tg 30° + ctg 60°?
  2. Într-un triunghi dreptunghic, tg α = 3/4. Cât este sin α?
  3. Într-un triunghi dreptunghic, tg α = 20/21. Cât este sin α?
  4. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 2 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  5. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 24/26 și BC = 26 cm. Cât este AC (în cm)?
  6. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 8 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  7. Cât este sin 30° + cos 60°?
  8. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 9 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  9. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 3 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  10. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 5 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  11. Într-un triunghi dreptunghic, tg α = 7/24. Cât este sin α?
  12. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 9 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  13. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 10 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  14. Cât este cos 30° + sin 60°?
  15. Într-un triunghi dreptunghic, tg α = 8/15. Cât este sin α?
  16. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 4 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  17. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 45/51 și BC = 51 cm. Cât este AC (în cm)?
  18. Într-un triunghi dreptunghic, tg α = 5/12. Cât este sin α?
  19. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 10 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  20. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 3 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  21. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 11 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  22. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 12 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  23. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 2 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  24. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 6 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  25. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 48/52 și BC = 52 cm. Cât este AC (în cm)?
  26. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 36/45 și BC = 45 cm. Cât este AC (în cm)?
  27. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 8/10 și BC = 10 cm. Cât este AC (în cm)?
  28. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 24/30 și BC = 30 cm. Cât este AC (în cm)?
  29. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 7 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  30. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 6 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  31. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 8 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  32. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 21/29 și BC = 29 cm. Cât este AC (în cm)?
  33. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 48/60 și BC = 60 cm. Cât este AC (în cm)?
  34. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 12/15 și BC = 15 cm. Cât este AC (în cm)?
  35. Cât este sin 45° + cos 45°?
  36. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată lui are 5 cm. Cât este ipotenuza (în cm)?
  37. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 4 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  38. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 12/13 și BC = 13 cm. Cât este AC (în cm)?
  39. Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are 60°, iar cateta alăturată are 7 cm. Cât este cateta opusă lui (în cm)?
  40. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 36/39 și BC = 39 cm. Cât este AC (în cm)?
  41. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 30/34 și BC = 34 cm. Cât este AC (în cm)?
  42. Cât este tg 60° + ctg 30°?
  43. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 72/75 și BC = 75 cm. Cât este AC (în cm)?
  44. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 42/58 și BC = 58 cm. Cât este AC (în cm)?
  45. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 20/25 și BC = 25 cm. Cât este AC (în cm)?
  46. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 4/5 și BC = 5 cm. Cât este AC (în cm)?
  47. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 72/78 și BC = 78 cm. Cât este AC (în cm)?
  48. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 63/87 și BC = 87 cm. Cât este AC (în cm)?
  49. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 16/20 și BC = 20 cm. Cât este AC (în cm)?
  50. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, sin B = 32/40 și BC = 40 cm. Cât este AC (în cm)?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 2√3/3 — tg 30° = √3/3 și ctg 60° = √3/3. Suma: 2√3/3.
  2. 3/5 — Luăm catetele 3 și 4: ipotenuza = 5. sin α = cateta opusă/ipotenuză = 3/5.
  3. 20/29 — Luăm catetele 20 și 21: ipotenuza = 29. sin α = cateta opusă/ipotenuză = 20/29.
  4. 4 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·2 = 4 cm.
  5. 24 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 26·24/26 = 24 cm.
  6. 8√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 8√3 cm.
  7. 1 — sin 30° = 1/2 și cos 60° = 1/2. Suma: 1.
  8. 9√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 9√3 cm.
  9. 6 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·3 = 6 cm.
  10. 5√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 5√3 cm.
  11. 7/25 — Luăm catetele 7 și 24: ipotenuza = 25. sin α = cateta opusă/ipotenuză = 7/25.
  12. 18 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·9 = 18 cm.
  13. 10√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 10√3 cm.
  14. √3 — cos 30° = √3/2 și sin 60° = √3/2. Suma: √3.
  15. 8/17 — Luăm catetele 8 și 15: ipotenuza = 17. sin α = cateta opusă/ipotenuză = 8/17.
  16. 8 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·4 = 8 cm.
  17. 45 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 51·45/51 = 45 cm.
  18. 5/13 — Luăm catetele 5 și 12: ipotenuza = 13. sin α = cateta opusă/ipotenuză = 5/13.
  19. 20 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·10 = 20 cm.
  20. 3√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 3√3 cm.
  21. 11√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 11√3 cm.
  22. 12√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 12√3 cm.
  23. 2√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 2√3 cm.
  24. 6√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 6√3 cm.
  25. 48 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 52·48/52 = 48 cm.
  26. 36 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 45·36/45 = 36 cm.
  27. 8 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 10·8/10 = 8 cm.
  28. 24 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 30·24/30 = 24 cm.
  29. 14 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·7 = 14 cm.
  30. 12 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·6 = 12 cm.
  31. 16 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·8 = 16 cm.
  32. 21 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 29·21/29 = 21 cm.
  33. 48 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 60·48/60 = 48 cm.
  34. 12 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 15·12/15 = 12 cm.
  35. √2 — sin 45° = √2/2 și cos 45° = √2/2. Suma: √2.
  36. 10 — cos 60° = cateta alăturată/ipotenuză = 1/2 ⇒ ipotenuza = 2·5 = 10 cm.
  37. 4√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 4√3 cm.
  38. 12 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 13·12/13 = 12 cm.
  39. 7√3 — tg 60° = cateta opusă/cateta alăturată = √3 ⇒ cateta opusă = 7√3 cm.
  40. 36 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 39·36/39 = 36 cm.
  41. 30 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 34·30/34 = 30 cm.
  42. 2√3 — tg 60° = √3 și ctg 30° = √3. Suma: 2√3.
  43. 72 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 75·72/75 = 72 cm.
  44. 42 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 58·42/58 = 42 cm.
  45. 20 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 25·20/25 = 20 cm.
  46. 4 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 5·4/5 = 4 cm.
  47. 72 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 78·72/78 = 72 cm.
  48. 63 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 87·63/87 = 63 cm.
  49. 16 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 20·16/20 = 16 cm.
  50. 32 — sin B = AC/BC ⇒ AC = BC·sin B = 40·32/40 = 32 cm.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 7-a