Acasă › Clasa a 8-a › Distanțe și unghiuri în corpuri

Distanțe și unghiuri în corpuri

Recapitulare și aplicații: distanțe între puncte, diagonale, unghiuri, tangenta, sinusul și cosinusul unghiurilor în paralelipiped, cub și piramidă.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Ce ne trebuie

Aproape toate calculele de distanțe și unghiuri în corpuri se reduc la triunghiuri dreptunghice: căutăm un triunghi dreptunghic care conține segmentul sau unghiul cerut și aplicăm teorema lui Pitagora sau raporturile trigonometrice.

d² = a² + b² + c² (diagonala paralelipipedului) cub: d = l√3
sin = cateta opusă / ipotenuză cos = cateta alăturată / ipotenuză tg = cateta opusă / cateta alăturată

Distanța dintre două puncte

Dacă între două puncte, pe direcțiile celor trei muchii, diferențele sunt x, y și z, atunci distanța este √(x² + y² + z²). Aplicăm Pitagora de două ori: întâi în plan, apoi în spațiu.

Exemplul 1. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 6, BC = 8 și AA′ = 12 (cm). Calculează AC′.

Metoda 1 (în două etape). AC² = 36 + 64 = 100 ⇒ AC = 10. AC′² = AC² + CC′² = 100 + 144 = 244 ⇒ AC′ = 2√61 cm.

Metoda 2 (cu formula directă). AC′² = 6² + 8² + 12² = 36 + 64 + 144 = 244 ⇒ AC′ = 2√61 cm.

Exemplul 2. Într-un cub de muchie 4 cm, M este mijlocul lui AB și N mijlocul lui CC′. Calculează MN.

Metoda 1 (cu diferențele pe cele trei direcții). Pe direcția AB diferența este 2, pe BC este 4 și pe CC′ este 2. MN² = 2² + 4² + 2² = 24 ⇒ MN = 2√6 cm.

Metoda 2 (verificare prin construcție). MB = 2, BC = 4 ⇒ MC² = 4 + 16 = 20; CN = 2 ⇒ MN² = MC² + CN² = 20 + 4 = 24 (MC ⟂ CN deoarece CC′ ⟂ (ABC)). MN = 2√6.

AC′² = AC² + CC′²

∠C′AC este unghiul diagonalei cu planul bazei

Unghiuri în corpuri

Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei. Pentru AC′ și planul (ABC), proiecția este AC, iar triunghiul C′CA este dreptunghic în C.

Exemplul 3. Într-un cub de muchie l, calculează sin, cos și tg unghiului dintre AC′ și planul (ABC).

Metoda 1 (cu laturile triunghiului C′CA). CC′ = l, AC = l√2, AC′ = l√3. sin = l/(l√3) = √3/3; cos = l√2/(l√3) = √6/3; tg = l/(l√2) = √2/2.

Metoda 2 (verificare). sin² + cos² = 1/3 + 2/3 = 1 ✓ și tg = sin/cos = √3/3 : √6/3 = 1/√2 = √2/2 ✓.

Exemplul 4. Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 12 cm și VO = 8 cm. Calculează tangenta unghiului diedru dintre fața laterală și baza.

Metoda 1 (cu unghiul plan). OM = 6; tg ∠VMO = VO/OM = 8/6 = 4/3.

Metoda 2 (cu apotema). VM = 10, OM = 6 ⇒ cos = 6/10 = 3/5, sin = 4/5 ⇒ tg = 4/3.

Greșeli frecvente

Se aplică Pitagora cu catetele greșit alese (în triunghi trebuie să fie unghi drept).
Se confundă proiecția unei drepte cu o dreaptă oarecare din plan.
Se ia ca ipotenuză cateta mai lungă.
Se calculează sinusul cu cateta alăturată.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Într-un cub cu muchia 9 cm, M este mijlocul muchiei AB. Lungimea segmentului AM este (cm):
Variante: A) 9/2 · B) 9 · C) 9/4 · D) 18 · E) 9√2/2
Distanța dintre B′ și D′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 5 cm, BC = 7 cm și AA′ = 4 cm, este (cm):
Variante: A) 2√19 · B) √77 · C) 5√3 · D) √74 · E) √73
Distanța dintre D și A, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm, BC = 4 cm și AA′ = 2 cm, este (cm):
Variante: A) 3√2 · B) √19 · C) √15 · D) √17 · E) 4
Unghiul dintre diagonala unei fețe a cubului și muchia care pornește din același vârf, în aceeași față, este:
Variante: A) 60° · B) 45° · C) 0° · D) 30° · E) 90°
Distanța dintre B și A, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 9 cm, BC = 4 cm și AA′ = 7 cm, este (cm):
Variante: A) 2√21 · B) √83 · C) 9 · D) √82 · E) 4√5
Într-un cub cu muchia 4 cm, M este mijlocul muchiei AB. Lungimea segmentului AM este (cm):
Variante: A) 2√2 · B) 4 · C) 2 · D) 8 · E) 1
Distanța dintre D și A, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 4 cm și AA′ = 8 cm, este (cm):
Variante: A) 3√2 · B) √15 · C) √19 · D) 4 · E) √17
Distanța dintre D și D′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 3 cm, BC = 9 cm și AA′ = 2 cm, este (cm):
Variante: A) √7 · B) √6 · C) 2 · D) √3 · E) √5
Într-un cub cu muchia 6 cm, M este mijlocul muchiei AB. Lungimea segmentului AM este (cm):
Variante: A) 3/2 · B) 12 · C) 3 · D) 3√2 · E) 6
Distanța dintre D și B, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 2 cm, BC = 4 cm și AA′ = 6 cm, este (cm):
Variante: A) √21 · B) √23 · C) 2√5 · D) √19 · E) √22
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 6, 8 și 24 cm. Diagonala sa este (cm):
Variante: A) 26 · B) 25 · C) 38 · D) 28 · E) 27
Într-un cub cu muchia 7 cm, diagonala cubului are lungimea (cm):
Variante: A) 14 · B) 7√5 · C) 7√2 · D) 7 · E) 7√3
Într-un cub cu muchia 7 cm, M este mijlocul muchiei AB. Lungimea segmentului AM este (cm):
Variante: A) 7/4 · B) 7√2/2 · C) 7/2 · D) 14 · E) 7
Într-un cub cu muchia 12 cm, diagonala unei fețe are lungimea (cm):
Variante: A) 24 · B) 12√3 · C) 12√5 · D) 12√2 · E) 12
Distanța dintre D și A, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, este (cm):
Variante: A) 3√7 · B) √67 · C) √65 · D) √66 · E) 8
Într-un cub cu muchia 4 cm, diagonala unei fețe are lungimea (cm):
Variante: A) 4√5 · B) 4√3 · C) 4√2 · D) 4 · E) 8
Într-un cub cu muchia 5 cm, M este mijlocul muchiei AB. Lungimea segmentului AM este (cm):
Variante: A) 10 · B) 5√2/2 · C) 5/2 · D) 5 · E) 5/4
Într-un cub cu muchia 10 cm, M este mijlocul muchiei AB. Lungimea segmentului AM este (cm):
Variante: A) 5/2 · B) 5√2 · C) 10 · D) 20 · E) 5
Distanța dintre B și B′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 5 cm, este (cm):
Variante: A) 5 · B) 3√3 · C) √26 · D) 2√7 · E) 2√6
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 4, 12 și 18 cm. Diagonala sa este (cm):
Variante: A) 21 · B) 34 · C) 23 · D) 22 · E) 24
Distanța dintre C′ și A′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 9 cm, BC = 10 cm și AA′ = 8 cm, este (cm):
Variante: A) 2√46 · B) √183 · C) √181 · D) 6√5 · E) √182
Distanța dintre B′ și C′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 2 cm, BC = 7 cm și AA′ = 3 cm, este (cm):
Variante: A) 7 · B) 5√2 · C) 4√3 · D) √51 · E) 2√13
Distanța dintre B′ și B, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, este (cm):
Variante: A) √39 · B) 6 · C) √37 · D) √38 · E) √35
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 4, 6 și 12 cm. Diagonala sa este (cm):
Variante: A) 22 · B) 14 · C) 15 · D) 13 · E) 16
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 2, 3 și 6 cm. Diagonala sa este (cm):
Variante: A) 6 · B) 8 · C) 9 · D) 7 · E) 11
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 12, 12 și 21 cm. Diagonala sa este (cm):
Variante: A) 45 · B) 28 · C) 27 · D) 26 · E) 29
Distanța dintre D′ și A, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 2 cm, este (cm):
Variante: A) √11 · B) √7 · C) 3 · D) 2√2 · E) √10
Distanța dintre C și D′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 5 cm, BC = 6 cm și AA′ = 7 cm, este (cm):
Variante: A) √77 · B) √73 · C) √74 · D) 5√3 · E) 2√19
Distanța dintre B și B′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 10 cm, BC = 4 cm și AA′ = 7 cm, este (cm):
Variante: A) 5√2 · B) 4√3 · C) 7 · D) 2√13 · E) √51
Distanța dintre C și B′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 7 cm, BC = 8 cm și AA′ = 4 cm, este (cm):
Variante: A) 9 · B) √82 · C) √79 · D) √83 · E) 4√5
Distanța dintre D și B, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, este (cm):
Variante: A) 7√2 · B) √101 · C) 3√11 · D) 10 · E) √97
Distanța dintre C′ și A, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 4 cm, BC = 8 cm și AA′ = 10 cm, este (cm):
Variante: A) √179 · B) √182 · C) 6√5 · D) √181 · E) √183
Într-un cub cu muchia 8 cm, diagonala cubului are lungimea (cm):
Variante: A) 8√2 · B) 8√5 · C) 8√3 · D) 8 · E) 16
Într-un cub cu muchia 5 cm, diagonala unei fețe are lungimea (cm):
Variante: A) 5√2 · B) 10 · C) 5 · D) 5√3 · E) 5√5
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 4, 20 și 22 cm. Diagonala sa este (cm):
Variante: A) 32 · B) 29 · C) 46 · D) 31 · E) 30
Distanța dintre C și B, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 7 cm, BC = 2 cm și AA′ = 3 cm, este (cm):
Variante: A) √7 · B) √6 · C) √3 · D) 2 · E) √5
Distanța dintre C și A′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm, BC = 7 cm și AA′ = 2 cm, este (cm):
Variante: A) 2√29 · B) 3√13 · C) √119 · D) 2√30 · E) √118
Distanța dintre C′ și D, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 3 cm, BC = 6 cm și AA′ = 2 cm, este (cm):
Variante: A) √13 · B) √15 · C) √14 · D) 4 · E) 2√3
Într-un cub cu muchia 11 cm, diagonala unei fețe are lungimea (cm):
Variante: A) 11√2 · B) 11√5 · C) 11√3 · D) 11 · E) 22
Într-un cub cu muchia 11 cm, M este mijlocul muchiei AB. Lungimea segmentului AM este (cm):
Variante: A) 22 · B) 11√2/2 · C) 11/2 · D) 11 · E) 11/4
Distanța dintre C și A′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm, BC = 10 cm și AA′ = 4 cm, este (cm):
Variante: A) 6√5 · B) √183 · C) √182 · D) √181 · E) √179
Într-un cub cu muchia 8 cm, diagonala unei fețe are lungimea (cm):
Variante: A) 8√5 · B) 16 · C) 8√2 · D) 8√3 · E) 8
Distanța dintre C′ și B′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 10 cm, este (cm):
Variante: A) √103 · B) √101 · C) 10 · D) 3√11 · E) √102
Într-un cub cu muchia 5 cm, diagonala cubului are lungimea (cm):
Variante: A) 10 · B) 5 · C) 5√2 · D) 5√3 · E) 5√5
Într-un cub cu muchia 2 cm, M este mijlocul muchiei AB. Lungimea segmentului AM este (cm):
Variante: A) 1 · B) 1/2 · C) 2 · D) 4 · E) √2
Într-un cub cu muchia 4 cm, diagonala cubului are lungimea (cm):
Variante: A) 4√2 · B) 4√3 · C) 8 · D) 4√5 · E) 4
Distanța dintre C și C′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 4 cm, BC = 10 cm și AA′ = 2 cm, este (cm):
Variante: A) √7 · B) √6 · C) √5 · D) 2 · E) √3
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 9, 12 și 36 cm. Diagonala sa este (cm):
Variante: A) 39 · B) 57 · C) 40 · D) 41 · E) 38
Într-un cub cu muchia 2 cm, diagonala unei fețe are lungimea (cm):
Variante: A) 2√2 · B) 4 · C) 2√3 · D) 2 · E) 2√5
Într-un cub cu muchia 6 cm, diagonala unei fețe are lungimea (cm):
Variante: A) 6√5 · B) 6√2 · C) 6√3 · D) 12 · E) 6

Arată răspunsurile: nivel ușor

9/2 — M este mijlocul lui AB: AM = AB/2 = 9/2 cm.
√74 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 5, 7 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 25 + 49 + 0 = 74, deci d = √74 cm.
4 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 4 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 16 + 0 = 16, deci d = 4 cm.
45° — Diagonala pătratului formează cu laturile unghiuri de 45°.
9 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 9, 0 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 81 + 0 + 0 = 81, deci d = 9 cm.
2 — M este mijlocul lui AB: AM = AB/2 = 2 cm.
4 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 4 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 16 + 0 = 16, deci d = 4 cm.
2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 4 = 4, deci d = 2 cm.
3 — M este mijlocul lui AB: AM = AB/2 = 3 cm.
2√5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 2, 4 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 4 + 16 + 0 = 20, deci d = 2√5 cm.
26 — d² = 36 + 64 + 576 = 676 ⇒ d = 26 cm.
7√3 — Diagonala cubului are lungimea l√3 = 7√3 cm.
7/2 — M este mijlocul lui AB: AM = AB/2 = 7/2 cm.
12√2 — Diagonala unei fețe are lungimea l√2 = 12√2 cm.
8 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 8 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 64 + 0 = 64, deci d = 8 cm.
4√2 — Diagonala unei fețe are lungimea l√2 = 4√2 cm.
5/2 — M este mijlocul lui AB: AM = AB/2 = 5/2 cm.
5 — M este mijlocul lui AB: AM = AB/2 = 5 cm.
5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 5 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 25 = 25, deci d = 5 cm.
22 — d² = 16 + 144 + 324 = 484 ⇒ d = 22 cm.
√181 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 9, 10 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 81 + 100 + 0 = 181, deci d = √181 cm.
7 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 7 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 49 + 0 = 49, deci d = 7 cm.
6 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 6 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 36 = 36, deci d = 6 cm.
14 — d² = 16 + 36 + 144 = 196 ⇒ d = 14 cm.
7 — d² = 4 + 9 + 36 = 49 ⇒ d = 7 cm.
27 — d² = 144 + 144 + 441 = 729 ⇒ d = 27 cm.
2√2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 2 și 2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 4 + 4 = 8, deci d = 2√2 cm.
√74 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 5, 0 și 7 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 25 + 0 + 49 = 74, deci d = √74 cm.
7 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 7 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 49 = 49, deci d = 7 cm.
4√5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 8 și 4 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 64 + 16 = 80, deci d = 4√5 cm.
7√2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 7, 7 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 49 + 49 + 0 = 98, deci d = 7√2 cm.
6√5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 4, 8 și 10 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 16 + 64 + 100 = 180, deci d = 6√5 cm.
8√3 — Diagonala cubului are lungimea l√3 = 8√3 cm.
5√2 — Diagonala unei fețe are lungimea l√2 = 5√2 cm.
30 — d² = 16 + 400 + 484 = 900 ⇒ d = 30 cm.
2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 2 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 4 + 0 = 4, deci d = 2 cm.
3√13 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 8, 7 și 2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 64 + 49 + 4 = 117, deci d = 3√13 cm.
√13 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 3, 0 și 2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 9 + 0 + 4 = 13, deci d = √13 cm.
11√2 — Diagonala unei fețe are lungimea l√2 = 11√2 cm.
11/2 — M este mijlocul lui AB: AM = AB/2 = 11/2 cm.
6√5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 8, 10 și 4 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 64 + 100 + 16 = 180, deci d = 6√5 cm.
8√2 — Diagonala unei fețe are lungimea l√2 = 8√2 cm.
10 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 10 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 100 + 0 = 100, deci d = 10 cm.
5√3 — Diagonala cubului are lungimea l√3 = 5√3 cm.
1 — M este mijlocul lui AB: AM = AB/2 = 1 cm.
4√3 — Diagonala cubului are lungimea l√3 = 4√3 cm.
2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 4 = 4, deci d = 2 cm.
39 — d² = 81 + 144 + 1296 = 1521 ⇒ d = 39 cm.
2√2 — Diagonala unei fețe are lungimea l√2 = 2√2 cm.
6√2 — Diagonala unei fețe are lungimea l√2 = 6√2 cm.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Într-un cub cu muchia 11 cm, tangenta unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 1/2 · B) √2/2 · C) √2 · D) 1 · E) √3
Distanța dintre B și A′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 4 cm, este (cm):
Variante: A) √34 · B) √35 · C) 4√2 · D) √33 · E) √31
Într-un cub cu muchia 6 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √2/2 · B) √3/3 · C) √6/3 · D) √3/2 · E) 1/2
Piramida patrulateră regulată VABCD are VO = 15 cm și OM = 8 cm (M mijlocul lui AB). Tangenta unghiului dintre fața laterală și baza este:
Variante: A) 15/8 · B) 23/17 · C) 15/17 · D) 8/15 · E) 8/17
Într-un cub cu muchia 2 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √2/2 · B) √3/3 · C) 1/2 · D) √6/3 · E) √3/2
Într-un cub cu muchia 7 cm, cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √6/3 · B) 1/2 · C) √2/2 · D) √3/2 · E) √3/3
Într-un cub cu muchia 12 cm, cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 1/2 · B) √2/2 · C) √6/3 · D) √3/3 · E) √3/2
Într-un paralelipiped dreptunghic, baza are laturile 3 cm și 4 cm, iar înălțimea este 15 cm. Tangenta unghiului dintre diagonala paralelipipedului AC′ și planul bazei este:
Variante: A) 1/3 · B) 5 · C) 15/7 · D) 15/4 · E) 3
Distanța dintre C′ și A′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 10 cm, BC = 9 cm și AA′ = 3 cm, este (cm):
Variante: A) √183 · B) 2√46 · C) 6√5 · D) √182 · E) √181
Într-un cub cu muchia 8 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √6/3 · B) √3/2 · C) √3/3 · D) 1/2 · E) √2/2
Într-un cub cu muchia 4 cm, tangenta unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √2/2 · B) 1 · C) √2 · D) 1/2 · E) √3
Distanța dintre B și mijlocul lui DD′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 11 cm, este (cm):
Variante: A) √1093/2 · B) √1101/2 · C) √1097/2 · D) 33/2 · E) √1085/2
Într-un cub cu muchia 8 cm, tangenta unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √3 · B) 1/2 · C) √2/2 · D) 1 · E) √2
Distanța dintre mijlocul lui DA și A′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 10 cm și AA′ = 9 cm, este (cm):
Variante: A) √105 · B) √106 · C) √107 · D) 6√3 · E) √109
Într-un cub cu muchia 2 cm, cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 1/2 · B) √3/3 · C) √6/3 · D) √2/2 · E) √3/2
Într-un paralelipiped dreptunghic, baza are laturile 3 cm și 4 cm, iar înălțimea este 7 cm. Tangenta unghiului dintre diagonala paralelipipedului AC′ și planul bazei este:
Variante: A) 1 · B) 5/7 · C) 7/4 · D) 7/3 · E) 7/5
Într-un paralelipiped dreptunghic, baza are laturile 8 cm și 15 cm, iar înălțimea este 2 cm. Tangenta unghiului dintre diagonala paralelipipedului AC′ și planul bazei este:
Variante: A) 2/15 · B) 2/17 · C) 17/2 · D) 1/4 · E) 2/23
Distanța dintre mijlocul lui BB′ și mijlocul lui B′C′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, este (cm):
Variante: A) 4√2 · B) √33 · C) √34 · D) √31 · E) √35
Piramida patrulateră regulată VABCD are VO = 24 cm și OM = 10 cm (M mijlocul lui AB). Tangenta unghiului dintre fața laterală și baza este:
Variante: A) 12/13 · B) 17/13 · C) 12/5 · D) 5/12 · E) 5/13
Distanța dintre mijlocul lui CC′ și mijlocul lui DA, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm, BC = 2 cm și AA′ = 6 cm, este (cm):
Variante: A) 5√3 · B) 2√19 · C) √74 · D) √77 · E) √73
Distanța dintre mijlocul lui BC și C′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 2 cm, este (cm):
Variante: A) √7 · B) 2√2 · C) √6 · D) √5 · E) 2
Într-un cub cu muchia 12 cm, tangenta unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 1 · B) 1/2 · C) √2 · D) √2/2 · E) √3
Într-un cub cu muchia 4 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √3/3 · B) √6/3 · C) √2/2 · D) 1/2 · E) √3/2
Distanța dintre mijlocul lui AB și mijlocul lui DD′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 7 cm, BC = 10 cm și AA′ = 2 cm, este (cm):
Variante: A) √453/2 · B) √461/2 · C) √449/2 · D) √465/2 · E) √457/2
Într-un cub cu muchia 11 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √3/2 · B) √2/2 · C) √3/3 · D) √6/3 · E) 1/2
Distanța dintre mijlocul lui AA′ și A, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 4 cm și AA′ = 5 cm, este (cm):
Variante: A) 5/2 · B) √21/2 · C) √29/2 · D) √37/2 · E) √33/2
Distanța dintre mijlocul lui AA′ și mijlocul lui BB′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 4 cm, BC = 3 cm și AA′ = 10 cm, este (cm):
Variante: A) √15 · B) √19 · C) √17 · D) 3√2 · E) 4
Într-un cub cu muchia 6 cm, cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √3/2 · B) √6/3 · C) 1/2 · D) √3/3 · E) √2/2
Distanța dintre mijlocul lui C′D′ și C′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 2 cm, BC = 6 cm și AA′ = 4 cm, este (cm):
Variante: A) √3 · B) √2 · C) √6 · D) 2 · E) 1
Într-un paralelipiped dreptunghic, baza are laturile 8 cm și 15 cm, iar înălțimea este 5 cm. Tangenta unghiului dintre diagonala paralelipipedului AC′ și planul bazei este:
Variante: A) 5/8 · B) 5/23 · C) 1/3 · D) 17/5 · E) 5/17
Distanța dintre mijlocul lui BC și mijlocul lui A′B′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 12 cm, este (cm):
Variante: A) √215 · B) √217 · C) 6√6 · D) √218 · E) √219
Piramida patrulateră regulată VABCD are VO = 4 cm și OM = 3 cm (M mijlocul lui AB). Tangenta unghiului dintre fața laterală și baza este:
Variante: A) 7/5 · B) 4/5 · C) 3/5 · D) 3/4 · E) 4/3
Piramida patrulateră regulată VABCD are VO = 16 cm și OM = 12 cm (M mijlocul lui AB). Tangenta unghiului dintre fața laterală și baza este:
Variante: A) 4/3 · B) 3/5 · C) 7/5 · D) 4/5 · E) 3/4
Într-un cub cu muchia 7 cm, tangenta unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √2 · B) √2/2 · C) 1 · D) √3 · E) 1/2
Într-un cub cu muchia 5 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √6/3 · B) √3/2 · C) 1/2 · D) √2/2 · E) √3/3
Într-un cub cu muchia 12 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √3/3 · B) √2/2 · C) 1/2 · D) √3/2 · E) √6/3
Într-un paralelipiped dreptunghic, baza are laturile 6 cm și 8 cm, iar înălțimea este 2 cm. Tangenta unghiului dintre diagonala paralelipipedului AC′ și planul bazei este:
Variante: A) 1/4 · B) 1/3 · C) 5 · D) 1/5 · E) 1/7
Piramida patrulateră regulată VABCD are VO = 12 cm și OM = 5 cm (M mijlocul lui AB). Tangenta unghiului dintre fața laterală și baza este:
Variante: A) 5/13 · B) 17/13 · C) 12/5 · D) 5/12 · E) 12/13
Într-un cub cu muchia 11 cm, cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √3/3 · B) √6/3 · C) √3/2 · D) 1/2 · E) √2/2
Într-un paralelipiped dreptunghic, baza are laturile 6 cm și 8 cm, iar înălțimea este 7 cm. Tangenta unghiului dintre diagonala paralelipipedului AC′ și planul bazei este:
Variante: A) 7/6 · B) 7/8 · C) 7/10 · D) 10/7 · E) 1/2
Distanța dintre A′ și mijlocul lui C′D′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 4 cm, este (cm):
Variante: A) 2√5 · B) √22 · C) √21 · D) √19 · E) √23
Într-un paralelipiped dreptunghic, baza are laturile 5 cm și 12 cm, iar înălțimea este 5 cm. Tangenta unghiului dintre diagonala paralelipipedului AC′ și planul bazei este:
Variante: A) 5/13 · B) 1 · C) 5/17 · D) 13/5 · E) 5/12
Distanța dintre mijlocul lui B′C′ și mijlocul lui A′B′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 3 cm, BC = 5 cm și AA′ = 6 cm, este (cm):
Variante: A) √46/2 · B) √38/2 · C) √30/2 · D) √42/2 · E) √34/2
Într-un cub cu muchia 10 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √3/3 · B) √2/2 · C) 1/2 · D) √3/2 · E) √6/3
Piramida patrulateră regulată VABCD are VO = 24 cm și OM = 7 cm (M mijlocul lui AB). Tangenta unghiului dintre fața laterală și baza este:
Variante: A) 31/25 · B) 7/25 · C) 24/7 · D) 7/24 · E) 24/25
Distanța dintre D′ și B, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 2 cm, BC = 4 cm și AA′ = 6 cm, este (cm):
Variante: A) √58 · B) 2√14 · C) √57 · D) √59 · E) √55
Într-un cub cu muchia 9 cm, tangenta unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √2 · B) 1 · C) 1/2 · D) √2/2 · E) √3
Distanța dintre mijlocul lui CD și mijlocul lui B′C′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, este (cm):
Variante: A) 7√10/2 · B) √482/2 · C) √498/2 · D) 9√6/2 · E) √494/2
Într-un cub cu muchia 6 cm, tangenta unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 1/2 · B) √2 · C) √2/2 · D) √3 · E) 1
Într-un cub cu muchia 7 cm, sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) √2/2 · B) √3/2 · C) √6/3 · D) √3/3 · E) 1/2

Arată răspunsurile: nivel mediu

√2/2 — tg ∠C′AC = CC′/AC = 11/(11√2) = √2/2.
4√2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 4, 0 și 4 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 16 + 0 + 16 = 32, deci d = 4√2 cm.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 6/(6√3) = √3/3.
15/8 — Unghiul plan este ∠VMO: tg = VO/OM = 15/8.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 2/(2√3) = √3/3.
√6/3 — cos ∠C′AC = AC/AC′ = 7√2/(7√3) = √6/3.
√6/3 — cos ∠C′AC = AC/AC′ = 12√2/(12√3) = √6/3.
3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC = 5. În triunghiul dreptunghic ACC′: tg ∠C′AC = CC′/AC = 15/5.
√181 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 10, 9 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 100 + 81 + 0 = 181, deci d = √181 cm.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 8/(8√3) = √3/3.
√2/2 — tg ∠C′AC = CC′/AC = 4/(4√2) = √2/2.
33/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 11, 11 și 11/2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 121 + 121 + 121/4 = 1089/4, deci d = 33/2 cm.
√2/2 — tg ∠C′AC = CC′/AC = 8/(8√2) = √2/2.
√106 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 5 și 9 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 25 + 81 = 106, deci d = √106 cm.
√6/3 — cos ∠C′AC = AC/AC′ = 2√2/(2√3) = √6/3.
7/5 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC = 5. În triunghiul dreptunghic ACC′: tg ∠C′AC = CC′/AC = 7/5.
2/17 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC = 17. În triunghiul dreptunghic ACC′: tg ∠C′AC = CC′/AC = 2/17.
4√2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 4 și 4 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 16 + 16 = 32, deci d = 4√2 cm.
12/5 — Unghiul plan este ∠VMO: tg = VO/OM = 24/10.
√74 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 8, 1 și 3 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 64 + 1 + 9 = 74, deci d = √74 cm.
√5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 1 și 2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 1 + 4 = 5, deci d = √5 cm.
√2/2 — tg ∠C′AC = CC′/AC = 12/(12√2) = √2/2.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 4/(4√3) = √3/3.
√453/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 7/2, 10 și 1 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 49/4 + 100 + 1 = 453/4, deci d = √453/2 cm.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 11/(11√3) = √3/3.
5/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 5/2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 25/4 = 25/4, deci d = 5/2 cm.
4 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 4, 0 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 16 + 0 + 0 = 16, deci d = 4 cm.
√6/3 — cos ∠C′AC = AC/AC′ = 6√2/(6√3) = √6/3.
1 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 1, 0 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 1 + 0 + 0 = 1, deci d = 1 cm.
5/17 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC = 17. În triunghiul dreptunghic ACC′: tg ∠C′AC = CC′/AC = 5/17.
6√6 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 6, 6 și 12 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 36 + 36 + 144 = 216, deci d = 6√6 cm.
4/3 — Unghiul plan este ∠VMO: tg = VO/OM = 4/3.
4/3 — Unghiul plan este ∠VMO: tg = VO/OM = 16/12.
√2/2 — tg ∠C′AC = CC′/AC = 7/(7√2) = √2/2.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 5/(5√3) = √3/3.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 12/(12√3) = √3/3.
1/5 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC = 10. În triunghiul dreptunghic ACC′: tg ∠C′AC = CC′/AC = 2/10.
12/5 — Unghiul plan este ∠VMO: tg = VO/OM = 12/5.
√6/3 — cos ∠C′AC = AC/AC′ = 11√2/(11√3) = √6/3.
7/10 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC = 10. În triunghiul dreptunghic ACC′: tg ∠C′AC = CC′/AC = 7/10.
2√5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 2, 4 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 4 + 16 + 0 = 20, deci d = 2√5 cm.
5/13 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC = 13. În triunghiul dreptunghic ACC′: tg ∠C′AC = CC′/AC = 5/13.
√34/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 3/2, 5/2 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 9/4 + 25/4 + 0 = 17/2, deci d = √34/2 cm.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 10/(10√3) = √3/3.
24/7 — Unghiul plan este ∠VMO: tg = VO/OM = 24/7.
2√14 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 2, 4 și 6 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 4 + 16 + 36 = 56, deci d = 2√14 cm.
√2/2 — tg ∠C′AC = CC′/AC = 9/(9√2) = √2/2.
9√6/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 9/2, 9/2 și 9 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 81/4 + 81/4 + 81 = 243/2, deci d = 9√6/2 cm.
√2/2 — tg ∠C′AC = CC′/AC = 6/(6√2) = √2/2.
√3/3 — Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC. sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 7/(7√3) = √3/3.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Distanța dintre mijlocul lui CD și mijlocul lui A′B′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA′ = 2 cm, este (cm):
Variante: A) √67 · B) √71 · C) √70 · D) 2√17 · E) √69
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 8 cm, VO = 2 cm și VA = 6 cm. Sinusul unghiului dintre muchia laterală VA și planul bazei este:
Variante: A) 2/3 · B) 1 · C) 1/3 · D) 1/2 · E) 3
Distanța dintre B și A, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm, BC = 9 cm și AA′ = 6 cm, este (cm):
Variante: A) √66 · B) 8 · C) √67 · D) √65 · E) 3√7
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 6 cm, BC = 2 cm și AA′ = 3 cm. Sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 7/3 · B) 2/7 · C) 3/8 · D) 6/7 · E) 3/7
Distanța dintre mijlocul lui C′D′ și A′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 4 cm, BC = 6 cm și AA′ = 3 cm, este (cm):
Variante: A) √42 · B) √39 · C) √41 · D) 2√10 · E) √43
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 3, 4, 12 cm. Cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și muchia AA′ este:
Variante: A) 4/13 · B) 13/12 · C) 3/13 · D) 12/13 · E) 133/130
Distanța dintre mijlocul lui D′A′ și mijlocul lui B′C′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 3 cm și AA′ = 8 cm, este (cm):
Variante: A) √38 · B) √39 · C) 6 · D) √37 · E) √35
Distanța dintre mijlocul lui DD′ și C, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 9 cm, BC = 7 cm și AA′ = 3 cm, este (cm):
Variante: A) √329/2 · B) √337/2 · C) √345/2 · D) √341/2 · E) 3√37/2
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 8 cm, VO = 7 cm și VA = 9 cm. Sinusul unghiului dintre muchia laterală VA și planul bazei este:
Variante: A) 7/9 · B) 4/9 · C) 11/9 · D) 9/7 · E) 7/4
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 2 cm, BC = 3 cm și AA′ = 6 cm. Sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 6/5 · B) 7/6 · C) 3/7 · D) 2/7 · E) 6/7
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 12 cm, VO = 3 cm și VA = 9 cm. Sinusul unghiului dintre muchia laterală VA și planul bazei este:
Variante: A) 1 · B) 1/3 · C) 1/2 · D) 3 · E) 2/3
Distanța dintre C′ și mijlocul lui DA, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 2 cm, este (cm):
Variante: A) √10 · B) 2√3 · C) 2√2 · D) 3 · E) √11
Distanța dintre mijlocul lui CD și A, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, este (cm):
Variante: A) 9 · B) 4√5 · C) √83 · D) √79 · E) √82
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 4 cm, VO = 1 cm și VA = 3 cm. Sinusul unghiului dintre muchia laterală VA și planul bazei este:
Variante: A) 1/3 · B) 1/2 · C) 1 · D) 3 · E) 2/3
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 2, 6, 9 cm. Cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și muchia AA′ este:
Variante: A) 6/11 · B) 9/11 · C) 2/11 · D) 101/110 · E) 11/9
Distanța dintre D și C′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 2 cm, BC = 9 cm și AA′ = 5 cm, este (cm):
Variante: A) √30 · B) 4√2 · C) 2√7 · D) √29 · E) √31
Distanța dintre C′ și mijlocul lui B′C′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 3 cm, BC = 6 cm și AA′ = 9 cm, este (cm):
Variante: A) 2√3 · B) √10 · C) √11 · D) 2√2 · E) 3
Distanța dintre A′ și mijlocul lui D′A′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 11 cm, este (cm):
Variante: A) 11/2 · B) √129/2 · C) 3√13/2 · D) √133/2 · E) 5√5/2
Distanța dintre D și A, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm, BC = 9 cm și AA′ = 4 cm, este (cm):
Variante: A) √82 · B) 2√21 · C) 4√5 · D) 9 · E) √83
Distanța dintre B și mijlocul lui A′B′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, este (cm):
Variante: A) √409/2 · B) √413/2 · C) 9√5/2 · D) √417/2 · E) √401/2
Distanța dintre mijlocul lui A′B′ și mijlocul lui DD′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 10 cm, este (cm):
Variante: A) √149 · B) 5√6 · C) 2√38 · D) √151 · E) 3√17
Distanța dintre C și C′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, este (cm):
Variante: A) √65 · B) √66 · C) 3√7 · D) √67 · E) 8
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 16 cm, VO = 14 cm și VA = 18 cm. Sinusul unghiului dintre muchia laterală VA și planul bazei este:
Variante: A) 9/7 · B) 7/9 · C) 4/9 · D) 7/4 · E) 11/9
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 4, 12, 18 cm. Cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și muchia AA′ este:
Variante: A) 9/11 · B) 11/9 · C) 6/11 · D) 101/110 · E) 2/11
Distanța dintre mijlocul lui BC și mijlocul lui DD′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 9 cm și AA′ = 10 cm, este (cm):
Variante: A) 3√37/2 · B) √329/2 · C) 5√13/2 · D) √321/2 · E) √337/2
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 2, 3, 6 cm. Cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și muchia AA′ este:
Variante: A) 67/70 · B) 6/7 · C) 7/6 · D) 3/7 · E) 2/7
Distanța dintre A′ și D, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, este (cm):
Variante: A) √165 · B) 9√2 · C) 2√41 · D) √163 · E) √161
Distanța dintre C și mijlocul lui CC′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 5 cm, BC = 8 cm și AA′ = 10 cm, este (cm):
Variante: A) √26 · B) 3√3 · C) 2√6 · D) 5 · E) 2√7
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 4 cm, BC = 8 cm și AA′ = 1 cm. Sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 9 · B) 8/9 · C) 1/12 · D) 4/9 · E) 1/9
Distanța dintre mijlocul lui CC′ și mijlocul lui D′A′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, este (cm):
Variante: A) √482/2 · B) √494/2 · C) 7√10/2 · D) √498/2 · E) 9√6/2
Distanța dintre mijlocul lui BB′ și mijlocul lui AA′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 3 cm, BC = 7 cm și AA′ = 2 cm, este (cm):
Variante: A) 2√2 · B) √11 · C) √10 · D) 2√3 · E) 3
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 8 cm, BC = 24 cm și AA′ = 6 cm. Sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 3/13 · B) 12/13 · C) 4/13 · D) 13/3 · E) 3/16
Distanța dintre mijlocul lui CD și B, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 7 cm, este (cm):
Variante: A) √249/2 · B) √253/2 · C) √241/2 · D) 7√5/2 · E) √257/2
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 2 cm, BC = 11 cm și AA′ = 10 cm. Sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 3/2 · B) 11/15 · C) 10/13 · D) 2/3 · E) 2/15
Distanța dintre mijlocul lui CD și mijlocul lui A′B′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 10 cm, BC = 7 cm și AA′ = 6 cm, este (cm):
Variante: A) √85 · B) 2√21 · C) √87 · D) √86 · E) 2√22
Distanța dintre A și mijlocul lui B′C′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și AA′ = 10 cm, este (cm):
Variante: A) √155 · B) 3√17 · C) √151 · D) √154 · E) 2√38
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 12 cm, BC = 4 cm și AA′ = 18 cm. Sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 2/11 · B) 11/9 · C) 9/8 · D) 9/11 · E) 6/11
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 1, 4, 8 cm. Cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și muchia AA′ este:
Variante: A) 4/9 · B) 8/9 · C) 9/8 · D) 89/90 · E) 1/9
Distanța dintre C′ și A′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 10 cm, este (cm):
Variante: A) √202 · B) √199 · C) √201 · D) √203 · E) 10√2
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 6 cm, BC = 3 cm și AA′ = 2 cm. Sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 2/9 · B) 7/2 · C) 6/7 · D) 3/7 · E) 2/7
Distanța dintre mijlocul lui CD și mijlocul lui B′C′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 6 cm, este (cm):
Variante: A) √57 · B) 2√14 · C) 3√6 · D) √53 · E) √55
Distanța dintre D′ și mijlocul lui A′B′, în paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ cu AB = 5 cm, BC = 3 cm și AA′ = 8 cm, este (cm):
Variante: A) √73/2 · B) √57/2 · C) √69/2 · D) √65/2 · E) √61/2
Distanța dintre mijlocul lui BC și mijlocul lui DA, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 12 cm, este (cm):
Variante: A) 12 · B) √145 · C) √146 · D) 7√3 · E) √143
Distanța dintre B′ și D, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 5 cm, este (cm):
Variante: A) 5√3 · B) √74 · C) √78 · D) 2√19 · E) √77
Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′, AB = 24 cm, BC = 6 cm și AA′ = 8 cm. Sinusul unghiului dintre diagonala AC′ și planul (ABC) este:
Variante: A) 13/4 · B) 12/13 · C) 4/15 · D) 4/13 · E) 3/13
Distanța dintre A′ și mijlocul lui AA′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 8 cm, este (cm):
Variante: A) √19 · B) 3√2 · C) 4 · D) √15 · E) √17
Distanța dintre mijlocul lui DA și B′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 4 cm, este (cm):
Variante: A) √35 · B) √37 · C) √38 · D) √39 · E) 6
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 6, 9, 18 cm. Cosinusul unghiului dintre diagonala AC′ și muchia AA′ este:
Variante: A) 2/7 · B) 7/6 · C) 67/70 · D) 3/7 · E) 6/7
Distanța dintre mijlocul lui DD′ și mijlocul lui D′A′, în cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia 9 cm, este (cm):
Variante: A) √158/2 · B) √170/2 · C) 9√2/2 · D) √166/2 · E) √174/2
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 24 cm, VO = 21 cm și VA = 27 cm. Sinusul unghiului dintre muchia laterală VA și planul bazei este:
Variante: A) 4/9 · B) 7/4 · C) 7/9 · D) 9/7 · E) 11/9

Arată răspunsurile: nivel dificil

2√17 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 8 și 2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 64 + 4 = 68, deci d = 2√17 cm.
1/3 — Proiecția lui VA pe (ABC) este OA. sin ∠VAO = VO/VA = 2/6.
8 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 8, 0 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 64 + 0 + 0 = 64, deci d = 8 cm.
3/7 — AC′ = √(6² + 2² + 3²) = 7. Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC; sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 3/7.
2√10 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 2, 6 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 4 + 36 + 0 = 40, deci d = 2√10 cm.
12/13 — AC′ = 13. În triunghiul dreptunghic AA′C′ (unghi drept în A′): cos ∠C′AA′ = AA′/AC′ = 12/13.
6 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 6, 0 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 36 + 0 + 0 = 36, deci d = 6 cm.
3√37/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 9, 0 și 3/2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 81 + 0 + 9/4 = 333/4, deci d = 3√37/2 cm.
7/9 — Proiecția lui VA pe (ABC) este OA. sin ∠VAO = VO/VA = 7/9.
6/7 — AC′ = √(2² + 3² + 6²) = 7. Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC; sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 6/7.
1/3 — Proiecția lui VA pe (ABC) este OA. sin ∠VAO = VO/VA = 3/9.
3 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 2, 1 și 2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 4 + 1 + 4 = 9, deci d = 3 cm.
4√5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 4, 8 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 16 + 64 + 0 = 80, deci d = 4√5 cm.
1/3 — Proiecția lui VA pe (ABC) este OA. sin ∠VAO = VO/VA = 1/3.
9/11 — AC′ = 11. În triunghiul dreptunghic AA′C′ (unghi drept în A′): cos ∠C′AA′ = AA′/AC′ = 9/11.
√29 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 2, 0 și 5 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 4 + 0 + 25 = 29, deci d = √29 cm.
3 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 3 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 9 + 0 = 9, deci d = 3 cm.
11/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 11/2 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 121/4 + 0 = 121/4, deci d = 11/2 cm.
9 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 9 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 81 + 0 = 81, deci d = 9 cm.
9√5/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 9/2, 0 și 9 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 81/4 + 0 + 81 = 405/4, deci d = 9√5/2 cm.
5√6 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 5, 10 și 5 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 25 + 100 + 25 = 150, deci d = 5√6 cm.
8 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 8 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 64 = 64, deci d = 8 cm.
7/9 — Proiecția lui VA pe (ABC) este OA. sin ∠VAO = VO/VA = 14/18.
9/11 — AC′ = 22. În triunghiul dreptunghic AA′C′ (unghi drept în A′): cos ∠C′AA′ = AA′/AC′ = 18/22.
5√13/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 6, 9/2 și 5 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 36 + 81/4 + 25 = 325/4, deci d = 5√13/2 cm.
6/7 — AC′ = 7. În triunghiul dreptunghic AA′C′ (unghi drept în A′): cos ∠C′AA′ = AA′/AC′ = 6/7.
9√2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 9 și 9 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 81 + 81 = 162, deci d = 9√2 cm.
5 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 5 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 25 = 25, deci d = 5 cm.
1/9 — AC′ = √(4² + 8² + 1²) = 9. Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC; sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 1/9.
9√6/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 9, 9/2 și 9/2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 81 + 81/4 + 81/4 = 243/2, deci d = 9√6/2 cm.
3 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 3, 0 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 9 + 0 + 0 = 9, deci d = 3 cm.
3/13 — AC′ = √(8² + 24² + 6²) = 26. Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC; sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 6/26.
7√5/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 7/2, 7 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 49/4 + 49 + 0 = 245/4, deci d = 7√5/2 cm.
2/3 — AC′ = √(2² + 11² + 10²) = 15. Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC; sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 10/15.
√85 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 7 și 6 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 49 + 36 = 85, deci d = √85 cm.
2√38 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 6, 4 și 10 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 36 + 16 + 100 = 152, deci d = 2√38 cm.
9/11 — AC′ = √(12² + 4² + 18²) = 22. Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC; sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 18/22.
8/9 — AC′ = 9. În triunghiul dreptunghic AA′C′ (unghi drept în A′): cos ∠C′AA′ = AA′/AC′ = 8/9.
10√2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 10, 10 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 100 + 100 + 0 = 200, deci d = 10√2 cm.
2/7 — AC′ = √(6² + 3² + 2²) = 7. Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC; sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 2/7.
3√6 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 3, 3 și 6 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 9 + 9 + 36 = 54, deci d = 3√6 cm.
√61/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 5/2, 3 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 25/4 + 9 + 0 = 61/4, deci d = √61/2 cm.
12 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 12, 0 și 0 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 144 + 0 + 0 = 144, deci d = 12 cm.
5√3 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 5, 5 și 5 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 25 + 25 + 25 = 75, deci d = 5√3 cm.
4/13 — AC′ = √(24² + 6² + 8²) = 26. Proiecția lui AC′ pe (ABC) este AC; sin ∠C′AC = CC′/AC′ = 8/26.
4 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 0 și 4 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 0 + 16 = 16, deci d = 4 cm.
6 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 4, 2 și 4 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 16 + 4 + 16 = 36, deci d = 6 cm.
6/7 — AC′ = 21. În triunghiul dreptunghic AA′C′ (unghi drept în A′): cos ∠C′AA′ = AA′/AC′ = 18/21.
9√2/2 — Diferențele dintre poziții, pe cele trei direcții ale muchiilor, sunt 0, 9/2 și 9/2 cm. Aplicând Pitagora de două ori: d² = 0 + 81/4 + 81/4 = 81/2, deci d = 9√2/2 cm.
7/9 — Proiecția lui VA pe (ABC) este OA. sin ∠VAO = VO/VA = 21/27.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a