Acasă › Clasa a 8-a › Formule de calcul prescurtat

Formule de calcul prescurtat

Pătratul unei sume, pătratul unei diferențe, diferența de pătrate, calcule rapide și aplicații.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Cele trei formule

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a − b)(a + b) = a² − b²

Formulele sunt identități: sunt adevărate pentru orice valori reale ale lui a și b. Ele permit calcule rapide și sunt baza descompunerilor în factori.

(a + b)² = a² + ab + ab + b²: aria pătratului mare este suma celor patru zone

a² − b² = (a − b)(a + b): din pătratul mare scoatem pătratul mic

Exemplul 1. Dezvoltă (3x − 2)².

Metoda 1 (cu formula). a = 3x, b = 2: (3x)² − 2·3x·2 + 2² = 9x² − 12x + 4.

Metoda 2 (prin înmulțire directă). (3x − 2)(3x − 2) = 9x² − 6x − 6x + 4 = 9x² − 12x + 4.

Exemplul 2. Calculează 51².

Metoda 1 (cu pătratul sumei). 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601.

Metoda 2 (prin înmulțire în scris). 51·51 = 51·50 + 51·1 = 2550 + 51 = 2601.

Exemplul 3. Calculează 98·102.

Metoda 1 (cu diferența de pătrate). 98·102 = (100 − 2)(100 + 2) = 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996.

Metoda 2 (prin înmulțire). 98·102 = 98·100 + 98·2 = 9800 + 196 = 9996.

Exemplul 4. Dacă a + b = 7 și ab = 10, calculează a² + b².

Metoda 1 (din pătratul sumei). (a + b)² = a² + 2ab + b² ⇒ a² + b² = 49 − 20 = 29.

Metoda 2 (prin găsirea numerelor). a, b sunt 2 și 5 (suma 7, produsul 10), deci a² + b² = 4 + 25 = 29.

Formule folosite „invers”

Putem recunoaște un trinom pătrat perfect: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Pentru a completa pătratul lui x² + 10x + … adăugăm (10/2)² = 25.

Exemplul 5. Restrânge expresia 25x² − 20x + 4.

Rezolvare. (5x)² − 2·5x·2 + 2² = (5x − 2)². Verificare: (5x − 2)² = 25x² − 20x + 4.

Exemplul 6. Arată că (x + 5)² − (x − 5)² = 20x.

Metoda 1 (prin dezvoltare). x² + 10x + 25 − (x² − 10x + 25) = 20x.

Metoda 2 (cu diferența de pătrate). [(x + 5) − (x − 5)][(x + 5) + (x − 5)] = 10·2x = 20x.

Greșeli frecvente

(a + b)² = a² + b² (se uită termenul 2ab).
(a − b)² = a² − b² (corect: a² − 2ab + b²).
În (3x)² se ridică la pătrat doar x: 3x² (corect: 9x²).
Se confundă (a − b)(a + b) = a² − b² cu (a − b)² = a² − 2ab + b².

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Care este forma restrânsă a expresiei x² − 14x + 49?
Dezvoltă (x − 1)².
Calculează (x − 5)(x + 5).
Care este forma descompusă a expresiei x² − 64?
Care este forma restrânsă a expresiei x² + 14x + 49?
Calculează rapid 46 · 54.
Dezvoltă (6x − 3)².
Calculează (x − 8)(x + 8).
Care este forma descompusă a expresiei x² − 9?
Calculează (x − 1)(x + 1).
Dezvoltă (x + 6)².
Calculează cu o formulă de calcul prescurtat: 22².
Care este forma descompusă a expresiei x² − 81?
Dezvoltă (x − 2)².
Care este forma restrânsă a expresiei x² + 6x + 9?
Dezvoltă (x − 9)².
Calculează cu o formulă de calcul prescurtat: 14².
Dezvoltă (3x − 9)².
Dezvoltă (x + 5)².
Calculează cu o formulă de calcul prescurtat: 51².
Calculează rapid 36 · 44.
Calculează (x − 6)(x + 6).
Calculează cu o formulă de calcul prescurtat: 41².
Care este forma descompusă a expresiei x² − 4?
Calculează (x − 4)(x + 4).
Calculează (x − 2)(x + 2).
Dezvoltă (x − 6)².
Dezvoltă (x − 8)².
Care este forma descompusă a expresiei x² − 49?
Care este forma descompusă a expresiei x² − 16?
Dezvoltă (x + 1)².
Calculează (x − 9)(x + 9).
Care este forma descompusă a expresiei x² − 121?
Dezvoltă (x + 3)².
Dezvoltă (2x − 4)².
Calculează rapid 47 · 53.
Calculează rapid 29 · 31.
Calculează cu o formulă de calcul prescurtat: 31².
Calculează (x − 7)(x + 7).
Calculează rapid 66 · 74.
Dezvoltă (8x − 5)².
Calculează rapid 25 · 35.
Calculează cu o formulă de calcul prescurtat: 13².
Calculează rapid 67 · 73.
Care este forma descompusă a expresiei x² − 100?
Care este forma descompusă a expresiei x² − 25?
Care este forma restrânsă a expresiei x² + 16x + 64?
Dezvoltă (x + 7)².
Dezvoltă (5x + 4)².
Calculează rapid 15 · 25.

Arată răspunsurile: nivel ușor

(x − 7)² — x² − 14x + 49 = x² − 2·x·7 + 7² = (x − 7)².
x² − 2x + 1 — (a − b)² = a² − 2ab + b². Aici a = x, b = 1: x² − 2x + 1.
x² − 25 — (a − b)(a + b) = a² − b². Aici a = x, b = 5: x² − 25.
(x − 8)(x + 8) — x² − 64 = x² − 8² = (x − 8)(x + 8) (diferența de pătrate).
(x + 7)² — x² + 14x + 49 = x² + 2·x·7 + 7² = (x + 7)².
2484 — 46·54 = (50 − 4)(50 + 4) = 50² − 4² = 2500 − 16 = 2484.
36x² − 36x + 9 — Aplicăm (u − v)² = u² − 2uv + v² cu u = 6x, v = 3: 36x² − 36x + 9.
x² − 64 — (a − b)(a + b) = a² − b². Aici a = x, b = 8: x² − 64.
(x − 3)(x + 3) — x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3) (diferența de pătrate).
x² − 1 — (a − b)(a + b) = a² − b². Aici a = x, b = 1: x² − 1.
x² + 12x + 36 — (a + b)² = a² + 2ab + b². Aici a = x, b = 6: x² + 12x + 36.
484 — Scriem 22 = 20 + 2. Atunci 22² = 20² + 2·20·2 + 2² = 400 + 80 + 4 = 484.
(x − 9)(x + 9) — x² − 81 = x² − 9² = (x − 9)(x + 9) (diferența de pătrate).
x² − 4x + 4 — (a − b)² = a² − 2ab + b². Aici a = x, b = 2: x² − 4x + 4.
(x + 3)² — x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)².
x² − 18x + 81 — (a − b)² = a² − 2ab + b². Aici a = x, b = 9: x² − 18x + 81.
196 — Scriem 14 = 10 + 4. Atunci 14² = 10² + 2·10·4 + 4² = 100 + 80 + 16 = 196.
9x² − 54x + 81 — Aplicăm (u − v)² = u² − 2uv + v² cu u = 3x, v = 9: 9x² − 54x + 81.
x² + 10x + 25 — (a + b)² = a² + 2ab + b². Aici a = x, b = 5: x² + 10x + 25.
2601 — Scriem 51 = 50 + 1. Atunci 51² = 50² + 2·50·1 + 1² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
1584 — 36·44 = (40 − 4)(40 + 4) = 40² − 4² = 1600 − 16 = 1584.
x² − 36 — (a − b)(a + b) = a² − b². Aici a = x, b = 6: x² − 36.
1681 — Scriem 41 = 40 + 1. Atunci 41² = 40² + 2·40·1 + 1² = 1600 + 80 + 1 = 1681.
(x − 2)(x + 2) — x² − 4 = x² − 2² = (x − 2)(x + 2) (diferența de pătrate).
x² − 16 — (a − b)(a + b) = a² − b². Aici a = x, b = 4: x² − 16.
x² − 4 — (a − b)(a + b) = a² − b². Aici a = x, b = 2: x² − 4.
x² − 12x + 36 — (a − b)² = a² − 2ab + b². Aici a = x, b = 6: x² − 12x + 36.
x² − 16x + 64 — (a − b)² = a² − 2ab + b². Aici a = x, b = 8: x² − 16x + 64.
(x − 7)(x + 7) — x² − 49 = x² − 7² = (x − 7)(x + 7) (diferența de pătrate).
(x − 4)(x + 4) — x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4) (diferența de pătrate).
x² + 2x + 1 — (a + b)² = a² + 2ab + b². Aici a = x, b = 1: x² + 2x + 1.
x² − 81 — (a − b)(a + b) = a² − b². Aici a = x, b = 9: x² − 81.
(x − 11)(x + 11) — x² − 121 = x² − 11² = (x − 11)(x + 11) (diferența de pătrate).
x² + 6x + 9 — (a + b)² = a² + 2ab + b². Aici a = x, b = 3: x² + 6x + 9.
4x² − 16x + 16 — Aplicăm (u − v)² = u² − 2uv + v² cu u = 2x, v = 4: 4x² − 16x + 16.
2491 — 47·53 = (50 − 3)(50 + 3) = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.
899 — 29·31 = (30 − 1)(30 + 1) = 30² − 1² = 900 − 1 = 899.
961 — Scriem 31 = 30 + 1. Atunci 31² = 30² + 2·30·1 + 1² = 900 + 60 + 1 = 961.
x² − 49 — (a − b)(a + b) = a² − b². Aici a = x, b = 7: x² − 49.
4884 — 66·74 = (70 − 4)(70 + 4) = 70² − 4² = 4900 − 16 = 4884.
64x² − 80x + 25 — Aplicăm (u − v)² = u² − 2uv + v² cu u = 8x, v = 5: 64x² − 80x + 25.
875 — 25·35 = (30 − 5)(30 + 5) = 30² − 5² = 900 − 25 = 875.
169 — Scriem 13 = 10 + 3. Atunci 13² = 10² + 2·10·3 + 3² = 100 + 60 + 9 = 169.
4891 — 67·73 = (70 − 3)(70 + 3) = 70² − 3² = 4900 − 9 = 4891.
(x − 10)(x + 10) — x² − 100 = x² − 10² = (x − 10)(x + 10) (diferența de pătrate).
(x − 5)(x + 5) — x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5) (diferența de pătrate).
(x + 8)² — x² + 16x + 64 = x² + 2·x·8 + 8² = (x + 8)².
x² + 14x + 49 — (a + b)² = a² + 2ab + b². Aici a = x, b = 7: x² + 14x + 49.
25x² + 40x + 16 — Aplicăm (u + v)² = u² + 2uv + v² cu u = 5x, v = 4: 25x² + 40x + 16.
375 — 15·25 = (20 − 5)(20 + 5) = 20² − 5² = 400 − 25 = 375.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Calculează (4x − 4y)(4x + 4y).
Calculează (x + 6)² + (x − 3)(x + 3).
Calculează (x − 4)² − (x − 5)².
Calculează (x + 1)² + (x − 3)(x + 3).
Calculează (x + 4)² − (x + 7)².
Calculează valoarea expresiei E = x² − 16x + 64 pentru x = −2, folosind forma restrânsă.
Completează pentru a obține un pătrat perfect: x² + 16x + …
Dezvoltă (x + 6y)².
Calculează (6x − 3y)(6x + 3y).
Calculează (x + 6)² + (x − 6)(x + 6).
Completează pentru a obține un pătrat perfect: x² + 6x + …
Calculează (x + 5)² − (x + 7)².
Dezvoltă (4x + 3y)².
Calculează (3x − 4y)(3x + 4y).
Calculează (2x − 2y)(2x + 2y).
Dezvoltă (4x + 2y)².
Dacă a + b = 8 și ab = 12, calculează a² + b².
Dezvoltă (x + y)².
Calculează (x + 7)² − (x + 2)².
Dezvoltă (5x − 4y)².
Calculează (x + 4)² + (x − 2)(x + 2).
Calculează (4x − 2y)(4x + 2y).
Dacă a + b = 8 și ab = 3, calculează a² + b².
Calculează (x + 6)² + (x − 1)(x + 1).
Calculează cu o formulă de calcul prescurtat: 101².
Calculează (x − 5)² − (x − 1)².
Calculează (5x − 4y)(5x + 4y).
Calculează (x + 2)² + (x − 5)(x + 5).
Calculează (x − 2y)(x + 2y).
Calculează (x + 5)² + (x − 5)(x + 5).
Dacă a + b = 5 și ab = −8, calculează a² + b².
Calculează (x + 4)² − (x + 1)².
Calculează (x + 2)² + (x − 2)(x + 2).
Dezvoltă (3x − 3y)².
Calculează (x − 1)² − (x − 7)².
Dezvoltă (5x + 3y)².
Calculează (x − 4)² − (x − 6)².
Calculează (x + 3)² + (x − 3)(x + 3).
Dacă a + b = 5 și ab = −6, calculează a² + b².
Completează pentru a obține un pătrat perfect: x² + 10x + …
Calculează (x + 2)² + (x − 3)(x + 3).
Completează pentru a obține un pătrat perfect: x² + 8x + …
Calculează valoarea expresiei E = x² − 2x + 1 pentru x = −4, folosind forma restrânsă.
Calculează (x + 6)² + (x − 5)(x + 5).
Calculează (x + 1)² + (x − 6)(x + 6).
Calculează (2x − 6y)(2x + 6y).
Dezvoltă (5x − 2y)².
Calculează (x − 7)² − (x − 1)².
Calculează (x + 6)² − (x + 2)².
Calculează (x + 1)² + (x − 2)(x + 2).

Arată răspunsurile: nivel mediu

16x² − 16y² — Diferența de pătrate: u² − v², cu u = 4x, v = 4y: 16x² − 16y².
2x² + 12x + 27 — (x + 6)² = x² + 12x + 36; (x − 3)(x + 3) = x² − 9. Suma: 2x² + 12x + 27.
2x − 9 — Dezvoltăm: x² − 8x + 16 − (x² − 10x + 25). Termenii în x² se reduc: 2x − 9.
2x² + 2x − 8 — (x + 1)² = x² + 2x + 1; (x − 3)(x + 3) = x² − 9. Suma: 2x² + 2x − 8.
−6x − 33 — Dezvoltăm: x² + 8x + 16 − (x² + 14x + 49). Termenii în x² se reduc: −6x − 33.
100 — E = (x − 8)². Pentru x = −2: (−2 − 8)² = (−10)² = 100.
64 — x² + 2·x·8 + 8² = (x + 8)², deci termenul lipsă este 8² = 64.
x² + 12xy + 36y² — (u + v)² = u² + 2uv + v². Aici u = x, v = 6y: x² + 12xy + 36y².
36x² − 9y² — Diferența de pătrate: u² − v², cu u = 6x, v = 3y: 36x² − 9y².
2x² + 12x — (x + 6)² = x² + 12x + 36; (x − 6)(x + 6) = x² − 36. Suma: 2x² + 12x.
9 — x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)², deci termenul lipsă este 3² = 9.
−4x − 24 — Dezvoltăm: x² + 10x + 25 − (x² + 14x + 49). Termenii în x² se reduc: −4x − 24.
16x² + 24xy + 9y² — (u + v)² = u² + 2uv + v². Aici u = 4x, v = 3y: 16x² + 24xy + 9y².
9x² − 16y² — Diferența de pătrate: u² − v², cu u = 3x, v = 4y: 9x² − 16y².
4x² − 4y² — Diferența de pătrate: u² − v², cu u = 2x, v = 2y: 4x² − 4y².
16x² + 16xy + 4y² — (u + v)² = u² + 2uv + v². Aici u = 4x, v = 2y: 16x² + 16xy + 4y².
40 — (a + b)² = a² + 2ab + b², deci a² + b² = (a + b)² − 2ab = 8² − 2·12 = 64 − 24 = 40.
x² + 2xy + y² — (u + v)² = u² + 2uv + v². Aici u = x, v = y: x² + 2xy + y².
10x + 45 — Dezvoltăm: x² + 14x + 49 − (x² + 4x + 4). Termenii în x² se reduc: 10x + 45.
25x² − 40xy + 16y² — (u − v)² = u² − 2uv + v². Aici u = 5x, v = 4y: 25x² − 40xy + 16y².
2x² + 8x + 12 — (x + 4)² = x² + 8x + 16; (x − 2)(x + 2) = x² − 4. Suma: 2x² + 8x + 12.
16x² − 4y² — Diferența de pătrate: u² − v², cu u = 4x, v = 2y: 16x² − 4y².
58 — (a + b)² = a² + 2ab + b², deci a² + b² = (a + b)² − 2ab = 8² − 2·3 = 64 − 6 = 58.
2x² + 12x + 35 — (x + 6)² = x² + 12x + 36; (x − 1)(x + 1) = x² − 1. Suma: 2x² + 12x + 35.
10201 — 101 = 100 + 1. Atunci 101² = 100² + 2·100·1 + 1² = 10000 + 200 + 1 = 10201.
−8x + 24 — Dezvoltăm: x² − 10x + 25 − (x² − 2x + 1). Termenii în x² se reduc: −8x + 24.
25x² − 16y² — Diferența de pătrate: u² − v², cu u = 5x, v = 4y: 25x² − 16y².
2x² + 4x − 21 — (x + 2)² = x² + 4x + 4; (x − 5)(x + 5) = x² − 25. Suma: 2x² + 4x − 21.
x² − 4y² — Diferența de pătrate: u² − v², cu u = x, v = 2y: x² − 4y².
2x² + 10x — (x + 5)² = x² + 10x + 25; (x − 5)(x + 5) = x² − 25. Suma: 2x² + 10x.
41 — (a + b)² = a² + 2ab + b², deci a² + b² = (a + b)² − 2ab = 5² − 2·(−8) = 25 + 16 = 41.
6x + 15 — Dezvoltăm: x² + 8x + 16 − (x² + 2x + 1). Termenii în x² se reduc: 6x + 15.
2x² + 4x — (x + 2)² = x² + 4x + 4; (x − 2)(x + 2) = x² − 4. Suma: 2x² + 4x.
9x² − 18xy + 9y² — (u − v)² = u² − 2uv + v². Aici u = 3x, v = 3y: 9x² − 18xy + 9y².
12x − 48 — Dezvoltăm: x² − 2x + 1 − (x² − 14x + 49). Termenii în x² se reduc: 12x − 48.
25x² + 30xy + 9y² — (u + v)² = u² + 2uv + v². Aici u = 5x, v = 3y: 25x² + 30xy + 9y².
4x − 20 — Dezvoltăm: x² − 8x + 16 − (x² − 12x + 36). Termenii în x² se reduc: 4x − 20.
2x² + 6x — (x + 3)² = x² + 6x + 9; (x − 3)(x + 3) = x² − 9. Suma: 2x² + 6x.
37 — (a + b)² = a² + 2ab + b², deci a² + b² = (a + b)² − 2ab = 5² − 2·(−6) = 25 + 12 = 37.
25 — x² + 2·x·5 + 5² = (x + 5)², deci termenul lipsă este 5² = 25.
2x² + 4x − 5 — (x + 2)² = x² + 4x + 4; (x − 3)(x + 3) = x² − 9. Suma: 2x² + 4x − 5.
16 — x² + 2·x·4 + 4² = (x + 4)², deci termenul lipsă este 4² = 16.
25 — E = (x − 1)². Pentru x = −4: (−4 − 1)² = (−5)² = 25.
2x² + 12x + 11 — (x + 6)² = x² + 12x + 36; (x − 5)(x + 5) = x² − 25. Suma: 2x² + 12x + 11.
2x² + 2x − 35 — (x + 1)² = x² + 2x + 1; (x − 6)(x + 6) = x² − 36. Suma: 2x² + 2x − 35.
4x² − 36y² — Diferența de pătrate: u² − v², cu u = 2x, v = 6y: 4x² − 36y².
25x² − 20xy + 4y² — (u − v)² = u² − 2uv + v². Aici u = 5x, v = 2y: 25x² − 20xy + 4y².
−12x + 48 — Dezvoltăm: x² − 14x + 49 − (x² − 2x + 1). Termenii în x² se reduc: −12x + 48.
8x + 32 — Dezvoltăm: x² + 12x + 36 − (x² + 4x + 4). Termenii în x² se reduc: 8x + 32.
2x² + 2x − 3 — (x + 1)² = x² + 2x + 1; (x − 2)(x + 2) = x² − 4. Suma: 2x² + 2x − 3.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Calculează (5x − 1)² − (x + 4)².
Calculează (2x + 3)² − (x − 1)².
Dacă x + y = 5 și xy = 2, calculează (x − y)².
Calculează (√5 + √8)² − (√5 − √8)².
Calculează (2x + 2)² − (x − 3)².
Calculează 204² − 196².
Calculează (√3 + √8)² − (√3 − √8)².
Dacă x + 1/x = 6, calculează x² + 1/x².
Dacă x + 1/x = 3, calculează x² + 1/x².
Calculează (x − 2)² − (x − 3)².
Calculează (x − 5)(x + 5)(x² + 25).
Dacă x + 1/x = 7, calculează x² + 1/x².
Arată că (x + 4)² − (x − 5)² − 18x este constant și calculează valoarea constantei.
Arată că (x + 5)² − (x − 1)² − 12x este constant și calculează valoarea constantei.
Calculează (x − 1)² − (x − 1)².
Calculează (x − 3)(x + 3)(x² + 9).
Arată că (x + 5)² − (x − 3)² − 16x este constant și calculează valoarea constantei.
Arată că (x + 5)² − (x − 4)² − 18x este constant și calculează valoarea constantei.
Dacă x + y = 6 și xy = 1, calculează (x − y)².
Dacă x + y = 6 și xy = 3, calculează (x − y)².
Dacă x + 1/x = 5, calculează x² + 1/x².
Calculează (x − 8)(x + 8)(x² + 64).
Calculează (3x + 4)² − (x + 2)².
Calculează (4x − 3)² − (x − 2)².
Calculează (√7 + √5)² − (√7 − √5)².
Calculează (x − 1)² − (x − 2)².
Dacă x + y = 9 și xy = 6, calculează (x − y)².
Calculează 206² − 194².
Calculează (√2 + √9)² − (√2 − √9)².
Arată că (x + 3)² − (x − 5)² − 16x este constant și calculează valoarea constantei.
Calculează (√4 + √2)² − (√4 − √2)².
Calculează (5x + 1)² − (x − 4)².
Calculează 33² − 27².
Calculează 69² − 51².
Dacă x + y = 9 și xy = 1, calculează (x − y)².
Arată că (x + 3)² − (x − 1)² − 8x este constant și calculează valoarea constantei.
Calculează (x − 3)² − (x + 4)².
Calculează (√7 + √4)² − (√7 − √4)².
Calculează 34² − 26².
Calculează (3x − 1)² − (x − 1)².
Calculează (√2 + √5)² − (√2 − √5)².
Calculează (√2 + √8)² − (√2 − √8)².
Arată că (x + 5)² − (x − 2)² − 14x este constant și calculează valoarea constantei.
Calculează 107² − 93².
Dacă x + 1/x = 4, calculează x² + 1/x².
Dacă x + y = 9 și xy = 4, calculează (x − y)².
Dacă x + y = 5 și xy = 5, calculează (x − y)².
Dacă x + y = 5 și xy = 1, calculează (x − y)².
Calculează (3x + 2)² − (x − 1)².
Calculează 103² − 97².

Arată răspunsurile: nivel dificil

24x² − 18x − 15 — Dezvoltăm fiecare pătrat: 25x² − 10x + 1 și x² + 8x + 16. Apoi scădem: 24x² − 18x − 15.
3x² + 14x + 8 — Dezvoltăm fiecare pătrat: 4x² + 12x + 9 și x² − 2x + 1. Apoi scădem: 3x² + 14x + 8.
17 — (x − y)² = (x + y)² − 4xy = 5² − 4·2 = 25 − 8 = 17.
4√40 — (u + v)² − (u − v)² = 4uv. Aici uv = √5·√8 = √40, deci rezultatul este 4√40.
3x² + 14x − 5 — Dezvoltăm fiecare pătrat: 4x² + 8x + 4 și x² − 6x + 9. Apoi scădem: 3x² + 14x − 5.
3200 — Diferența de pătrate: (204 − 196)(204 + 196) = 8·400 = 3200.
4√24 — (u + v)² − (u − v)² = 4uv. Aici uv = √3·√8 = √24, deci rezultatul este 4√24.
34 — (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². Deci x² + 1/x² = 6² − 2 = 34.
7 — (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². Deci x² + 1/x² = 3² − 2 = 7.
2x − 5 — Dezvoltăm fiecare pătrat: x² − 4x + 4 și x² − 6x + 9. Apoi scădem: 2x − 5.
x⁴ − 625 — (x − 5)(x + 5) = x² − 25. Apoi (x² − 25)(x² + 25) = x⁴ − 625.
47 — (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². Deci x² + 1/x² = 7² − 2 = 47.
−9 — (x + 4)² − (x − 5)² = x² + 8x + 16 − (x² − 10x + 25) = 18x − 9. Scăzând 18x rămâne -9.
24 — (x + 5)² − (x − 1)² = x² + 10x + 25 − (x² − 2x + 1) = 12x + 24. Scăzând 12x rămâne 24.
8x — Dezvoltăm fiecare pătrat: x² − 2x + 1 și x² − 2x + 1. Apoi scădem: 8x.
x⁴ − 81 — (x − 3)(x + 3) = x² − 9. Apoi (x² − 9)(x² + 9) = x⁴ − 81.
16 — (x + 5)² − (x − 3)² = x² + 10x + 25 − (x² − 6x + 9) = 16x + 16. Scăzând 16x rămâne 16.
9 — (x + 5)² − (x − 4)² = x² + 10x + 25 − (x² − 8x + 16) = 18x + 9. Scăzând 18x rămâne 9.
32 — (x − y)² = (x + y)² − 4xy = 6² − 4·1 = 36 − 4 = 32.
24 — (x − y)² = (x + y)² − 4xy = 6² − 4·3 = 36 − 12 = 24.
23 — (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². Deci x² + 1/x² = 5² − 2 = 23.
x⁴ − 4096 — (x − 8)(x + 8) = x² − 64. Apoi (x² − 64)(x² + 64) = x⁴ − 4096.
8x² + 20x + 12 — Dezvoltăm fiecare pătrat: 9x² + 24x + 16 și x² + 4x + 4. Apoi scădem: 8x² + 20x + 12.
15x² − 20x + 5 — Dezvoltăm fiecare pătrat: 16x² − 24x + 9 și x² − 4x + 4. Apoi scădem: 15x² − 20x + 5.
4√35 — (u + v)² − (u − v)² = 4uv. Aici uv = √7·√5 = √35, deci rezultatul este 4√35.
2x − 3 — Dezvoltăm fiecare pătrat: x² − 2x + 1 și x² − 4x + 4. Apoi scădem: 2x − 3.
57 — (x − y)² = (x + y)² − 4xy = 9² − 4·6 = 81 − 24 = 57.
4800 — Diferența de pătrate: (206 − 194)(206 + 194) = 12·400 = 4800.
4√18 — (u + v)² − (u − v)² = 4uv. Aici uv = √2·√9 = √18, deci rezultatul este 4√18.
−16 — (x + 3)² − (x − 5)² = x² + 6x + 9 − (x² − 10x + 25) = 16x − 16. Scăzând 16x rămâne -16.
4√8 — (u + v)² − (u − v)² = 4uv. Aici uv = √4·√2 = √8, deci rezultatul este 4√8.
24x² + 18x − 15 — Dezvoltăm fiecare pătrat: 25x² + 10x + 1 și x² − 8x + 16. Apoi scădem: 24x² + 18x − 15.
360 — Diferența de pătrate: (33 − 27)(33 + 27) = 6·60 = 360.
2160 — Diferența de pătrate: (69 − 51)(69 + 51) = 18·120 = 2160.
77 — (x − y)² = (x + y)² − 4xy = 9² − 4·1 = 81 − 4 = 77.
8 — (x + 3)² − (x − 1)² = x² + 6x + 9 − (x² − 2x + 1) = 8x + 8. Scăzând 8x rămâne 8.
−14x − 7 — Dezvoltăm fiecare pătrat: x² − 6x + 9 și x² + 8x + 16. Apoi scădem: −14x − 7.
4√28 — (u + v)² − (u − v)² = 4uv. Aici uv = √7·√4 = √28, deci rezultatul este 4√28.
480 — Diferența de pătrate: (34 − 26)(34 + 26) = 8·60 = 480.
36x — Dezvoltăm fiecare pătrat: 9x² − 6x + 1 și x² − 2x + 1. Apoi scădem: 36x.
4√10 — (u + v)² − (u − v)² = 4uv. Aici uv = √2·√5 = √10, deci rezultatul este 4√10.
16 — (u + v)² − (u − v)² = 4uv. Aici uv = √2·√8 = √16, deci rezultatul este 4√16 = 16.
21 — (x + 5)² − (x − 2)² = x² + 10x + 25 − (x² − 4x + 4) = 14x + 21. Scăzând 14x rămâne 21.
2800 — Diferența de pătrate: (107 − 93)(107 + 93) = 14·200 = 2800.
14 — (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x². Deci x² + 1/x² = 4² − 2 = 14.
65 — (x − y)² = (x + y)² − 4xy = 9² − 4·4 = 81 − 16 = 65.
5 — (x − y)² = (x + y)² − 4xy = 5² − 4·5 = 25 − 20 = 5.
21 — (x − y)² = (x + y)² − 4xy = 5² − 4·1 = 25 − 4 = 21.
8x² + 14x + 3 — Dezvoltăm fiecare pătrat: 9x² + 12x + 4 și x² − 2x + 1. Apoi scădem: 8x² + 14x + 3.
1200 — Diferența de pătrate: (103 − 97)(103 + 97) = 6·200 = 1200.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a