Acasă › Clasa a 8-a › Inecuații de forma ax + b ≥ 0 (≤, >, <), a, b ∈ ℝ

Inecuații de forma ax + b ≥ 0 (≤, >, <), a, b ∈ ℝ

Proprietățile inegalităților, rezolvarea inecuațiilor de gradul I, mulțimea soluțiilor ca interval, sisteme de inecuații, inecuații cu fracții.

📄 Lecția în PDF 📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Ce este o inecuație

O inecuație de forma ax + b ≥ 0 (cu ≤, >, <) este o inegalitate cu necunoscuta x. A rezolva inecuația înseamnă a găsi mulțimea soluțiilor: toate numerele reale care o verifică. Aceasta este, de obicei, un interval.

Proprietățile pe care se bazează rezolvarea

Dacă a < b, atunci a + c < b + c (se poate aduna același număr)
Dacă a < b și c > 0, atunci ac < bc (sensul se păstrează)
Dacă a < b și c < 0, atunci ac > bc (sensul se schimbă)

Exemplu: 2 < 5, dar prin înmulțire cu −1 obținem −2 > −5.

Rezolvarea pas cu pas

ax + b ≥ 0 ⇒ ax ≥ −b
dacă a > 0: x ≥ −b/a ⇒ S = [−b/a, +∞)
dacă a < 0: x ≤ −b/a ⇒ S = (−∞, −b/a]

Exemplul 1. Rezolvă în ℝ inecuația 3x − 6 ≥ 0.

Metoda 1 (algebric). 3x ≥ 6, deci x ≥ 2. Soluții: [2, +∞).

Metoda 2 (metoda semnului). Expresia 3x − 6 se anulează în x = 2 și are coeficientul 3 > 0, deci este negativă la stânga lui 2 și pozitivă la dreapta. Cerem ≥ 0: [2, +∞).

Semnul expresiei 3x − 6: minus pentru x < 2, plus pentru x > 2

Mulțimea soluțiilor pe axă

Exemplul 2. Rezolvă în ℝ inecuația −2x + 5 > 1.

Metoda 1 (algebric). −2x > 1 − 5 = −4. Împărțim la −2 (negativ), deci sensul se schimbă: x < 2. Soluții: (−∞, 2).

Metoda 2 (fără împărțire la număr negativ). Mutăm termenul cu x: 5 − 1 > 2x, deci 4 > 2x, adică x < 2. Același rezultat.

Exemplul 3. Rezolvă 2x − 1 ≤ 5x − 7.

Metoda 1. 2x − 5x ≤ −7 + 1 ⇒ −3x ≤ −6 ⇒ x ≥ 2 (am împărțit la −3, sensul s-a schimbat). S = [2, +∞).

Metoda 2 (mutând invers). −1 + 7 ≤ 5x − 2x ⇒ 6 ≤ 3x ⇒ x ≥ 2.

Exemplul 4. Câte numere naturale verifică 4x − 3 < 10?

Rezolvare. 4x < 13 ⇒ x < 13/4 = 3,25. Naturalele: 0, 1, 2, 3, deci 4 numere.

Dubla inegalitate și sisteme

Dubla inegalitate −1 < 2x + 3 ≤ 7 se rezolvă operând asupra celor trei părți: −4 < 2x ≤ 4, adică −2 < x ≤ 2. Un sistem de inecuații se rezolvă calculând fiecare soluție și apoi intersecția lor.

Exemplul 5. Rezolvă sistemul x − 1 ≥ 0 și 2x − 9 < 0.

Metoda 1 (cu intersecție). x ≥ 1: [1, +∞). 2x < 9: x < 4,5: (−∞, 4,5). Intersecția: [1, 4,5).

Metoda 2 (pe axă). Colorăm ambele semidrepte și păstrăm partea în care se suprapun.

Soluția sistemului este intersecția celor două mulțimi

Inecuații cu fracții de forma a/(bx + c)

O fracție cu numărătorul constant are semnul dat de numitor (și de semnul numărătorului). Numitorul nu poate fi zero, deci capătul lui este întotdeauna exclus.

Exemplul 6. Rezolvă 6/(2x − 4) < 0.

Metoda 1. Numărătorul 6 > 0, deci fracția este negativă când numitorul este negativ: 2x − 4 < 0 ⇒ x < 2. Soluții: (−∞, 2).

Metoda 2 (prin semn). 2x − 4 are rădăcina 2 și semnul minus pentru x < 2. Fracția are același semn.

Probleme cu inecuații

Exemplul 7. Ana are 50 de lei și cumpără caiete de 4 lei bucata și un pix de 6 lei. Câte caiete poate cumpăra?

Rezolvare. Numărul de caiete x verifică 4x + 6 ≤ 50 ⇒ 4x ≤ 44 ⇒ x ≤ 11. Poate cumpăra cel mult 11 caiete.

Greșeli frecvente

Se uită schimbarea sensului la împărțirea sau înmulțirea cu un număr negativ.
Se scrie [a, +∞] sau paranteză pătrată la infinit.
La inecuația cu fracție se include capătul care anulează numitorul.
Se confundă „soluții reale” cu „soluții naturale” sau „întregi”.

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

Care este mulțimea soluțiilor inecuației x + 1 < 9, x ∈ ℝ?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației 5x + 2 ≥ 0, x ∈ ℝ?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației 5x + 4 < 0, x ∈ ℝ?
Este −6 soluție a inecuației x − 7 < 0?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației −x + 6 ≥ 0, x ∈ ℝ?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației −6x > 0, x ∈ ℝ?
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 6x + 12 ≥ 0?
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 5x − 25 ≥ 0?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației 6x − 6 > 0, x ∈ ℝ?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației 3x − 4 > 0, x ∈ ℝ?
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 2x − 6 ≥ 0?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației −2x + 2 ≤ 0, x ∈ ℝ?
Care inecuație este echivalentă cu x − 2 > 0?
Este −6 soluție a inecuației 5x + 1 < 0?
Care inecuație este echivalentă cu x − 3 < 0?
Este 5 soluție a inecuației x + 5 < 0?
Este −3 soluție a inecuației 3x + 8 < 0?
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 5x − 20 ≥ 0?
Rezolvă în ℝ inecuația 3x ≤ 3.
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 5x − 10 ≥ 0?
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 4x + 12 ≥ 0?
Rezolvă în ℝ inecuația 7x ≥ −35.
Este 6 soluție a inecuației 4x + 3 ≤ 0?
Este 2 soluție a inecuației 3x − 4 < 0?
Rezolvă în ℝ inecuația 2x ≥ −6.
Care este mulțimea soluțiilor inecuației 5x − 9 < 0, x ∈ ℝ?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației −6x − 5 ≤ 0, x ∈ ℝ?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației 6x − 8 ≥ 0, x ∈ ℝ?
Rezolvă în ℝ inecuația 6x > 48.
Rezolvă în ℝ inecuația 2x ≥ 14.
Rezolvă în ℝ inecuația 6x > 18.
Este 4 soluție a inecuației 4x − 4 ≤ 0?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației x + 1 ≥ 4, x ∈ ℝ?
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 6x − 30 ≥ 0?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației x + 8 ≤ 5, x ∈ ℝ?
Rezolvă în ℝ inecuația 5x < −15.
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 2x − 8 ≥ 0?
Care inecuație este echivalentă cu x − 6 < 0?
Este 3 soluție a inecuației x + 5 ≥ 0?
Rezolvă în ℝ inecuația 3x > 9.
Care este mulțimea soluțiilor inecuației x + 5 ≥ 11, x ∈ ℝ?
Rezolvă în ℝ inecuația 3x < −18.
Este 3 soluție a inecuației 3x ≥ 0?
Care inecuație este echivalentă cu x − 2 < 0?
Rezolvă în ℝ inecuația 4x ≥ 16.
Este 2 soluție a inecuației 2x − 6 ≥ 0?
Care este mulțimea soluțiilor inecuației x + 5 > 7, x ∈ ℝ?
Rezolvă în ℝ inecuația 5x ≥ −15.
Care este cea mai mică soluție întreagă a inecuației 3x + 12 ≥ 0?
Care inecuație este echivalentă cu x − 4 < 0?

Arată răspunsurile: nivel ușor

(−∞, 8) — Scădem 1 din ambii membri: x < 8. Soluțiile: (−∞, 8).
[−2/5, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: 5x ≥ −2. Împărțim la 5: x ≥ −2/5. Mulțimea soluțiilor: [−2/5, +∞).
(−∞, −4/5) — Trecem termenul liber în dreapta: 5x < −4. Împărțim la 5: x < −4/5. Mulțimea soluțiilor: (−∞, −4/5).
Da — Înlocuim x = −6: 1·(−6) + (−7) = −13. Afirmația „−13 < 0” este adevărată.
(−∞, 6] — Trecem termenul liber în dreapta: −x ≥ −6. Împărțim la −1 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x ≤ 6. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 6].
(−∞, 0) — Trecem termenul liber în dreapta: −6x > 0. Împărțim la −6 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x < 0. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 0).
−2 — 6x + 12 ≥ 0 ⇒ 6x ≥ −12 ⇒ x ≥ −2. Cea mai mică soluție întreagă este −2.
5 — 5x − 25 ≥ 0 ⇒ 5x ≥ 25 ⇒ x ≥ 5. Cea mai mică soluție întreagă este 5.
(1, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: 6x > 6. Împărțim la 6: x > 1. Mulțimea soluțiilor: (1, +∞).
(4/3, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: 3x > 4. Împărțim la 3: x > 4/3. Mulțimea soluțiilor: (4/3, +∞).
3 — 2x − 6 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 6 ⇒ x ≥ 3. Cea mai mică soluție întreagă este 3.
[1, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: −2x ≤ −2. Împărțim la −2 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x ≥ 1. Mulțimea soluțiilor: [1, +∞).
x > 2 — Adunăm 2 la ambii membri: x > 2.
Da — Înlocuim x = −6: 5·(−6) + 1 = −29. Afirmația „−29 < 0” este adevărată.
x < 3 — Adunăm 3 la ambii membri: x < 3.
Nu — Înlocuim x = 5: 1·5 + 5 = 10. Afirmația „10 < 0” este falsă.
Da — Înlocuim x = −3: 3·(−3) + 8 = −1. Afirmația „−1 < 0” este adevărată.
4 — 5x − 20 ≥ 0 ⇒ 5x ≥ 20 ⇒ x ≥ 4. Cea mai mică soluție întreagă este 4.
(−∞, 1] — Împărțim la 3 (număr pozitiv, sensul rămâne): x ≤ 1. Soluțiile: (−∞, 1].
2 — 5x − 10 ≥ 0 ⇒ 5x ≥ 10 ⇒ x ≥ 2. Cea mai mică soluție întreagă este 2.
−3 — 4x + 12 ≥ 0 ⇒ 4x ≥ −12 ⇒ x ≥ −3. Cea mai mică soluție întreagă este −3.
[−5, +∞) — Împărțim la 7 (număr pozitiv, sensul rămâne): x ≥ −5. Soluțiile: [−5, +∞).
Nu — Înlocuim x = 6: 4·6 + 3 = 27. Afirmația „27 ≤ 0” este falsă.
Nu — Înlocuim x = 2: 3·2 + (−4) = 2. Afirmația „2 < 0” este falsă.
[−3, +∞) — Împărțim la 2 (număr pozitiv, sensul rămâne): x ≥ −3. Soluțiile: [−3, +∞).
(−∞, 9/5) — Trecem termenul liber în dreapta: 5x < 9. Împărțim la 5: x < 9/5. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 9/5).
[−5/6, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: −6x ≤ 5. Împărțim la −6 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x ≥ −5/6. Mulțimea soluțiilor: [−5/6, +∞).
[4/3, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: 6x ≥ 8. Împărțim la 6: x ≥ 4/3. Mulțimea soluțiilor: [4/3, +∞).
(8, +∞) — Împărțim la 6 (număr pozitiv, sensul rămâne): x > 8. Soluțiile: (8, +∞).
[7, +∞) — Împărțim la 2 (număr pozitiv, sensul rămâne): x ≥ 7. Soluțiile: [7, +∞).
(3, +∞) — Împărțim la 6 (număr pozitiv, sensul rămâne): x > 3. Soluțiile: (3, +∞).
Nu — Înlocuim x = 4: 4·4 + (−4) = 12. Afirmația „12 ≤ 0” este falsă.
[3, +∞) — Scădem 1 din ambii membri: x ≥ 3. Soluțiile: [3, +∞).
5 — 6x − 30 ≥ 0 ⇒ 6x ≥ 30 ⇒ x ≥ 5. Cea mai mică soluție întreagă este 5.
(−∞, −3] — Scădem 8 din ambii membri: x ≤ −3. Soluțiile: (−∞, −3].
(−∞, −3) — Împărțim la 5 (număr pozitiv, sensul rămâne): x < −3. Soluțiile: (−∞, −3).
4 — 2x − 8 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 8 ⇒ x ≥ 4. Cea mai mică soluție întreagă este 4.
x < 6 — Adunăm 6 la ambii membri: x < 6.
Da — Înlocuim x = 3: 1·3 + 5 = 8. Afirmația „8 ≥ 0” este adevărată.
(3, +∞) — Împărțim la 3 (număr pozitiv, sensul rămâne): x > 3. Soluțiile: (3, +∞).
[6, +∞) — Scădem 5 din ambii membri: x ≥ 6. Soluțiile: [6, +∞).
(−∞, −6) — Împărțim la 3 (număr pozitiv, sensul rămâne): x < −6. Soluțiile: (−∞, −6).
Da — Înlocuim x = 3: 3·3 + 0 = 9. Afirmația „9 ≥ 0” este adevărată.
x < 2 — Adunăm 2 la ambii membri: x < 2.
[4, +∞) — Împărțim la 4 (număr pozitiv, sensul rămâne): x ≥ 4. Soluțiile: [4, +∞).
Nu — Înlocuim x = 2: 2·2 + (−6) = −2. Afirmația „−2 ≥ 0” este falsă.
(2, +∞) — Scădem 5 din ambii membri: x > 2. Soluțiile: (2, +∞).
[−3, +∞) — Împărțim la 5 (număr pozitiv, sensul rămâne): x ≥ −3. Soluțiile: [−3, +∞).
−4 — 3x + 12 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ −12 ⇒ x ≥ −4. Cea mai mică soluție întreagă este −4.
x < 4 — Adunăm 4 la ambii membri: x < 4.

Nivel mediu (50 de exerciții)

Rezolvă în ℝ inecuația 4(x + 2) ≤ 8.
Rezolvă în ℝ inecuația −x − 5 ≤ −7.
Rezolvă în ℝ inecuația 3(x + 2) < 9.
Câte numere naturale verifică inecuația x < 5?
Un taxi costă 7 lei la pornire și 2 lei pentru fiecare kilometru. Câți kilometri întregi se pot parcurge cu cel mult 34 lei?
Rezolvă sistemul { 3x + 2 ≥ 0 ; x − 4 < 0 } în ℝ.
Rezolvă în ℝ inecuația 2(x − 3) ≤ 10.
Câte numere naturale verifică inecuația 5x − 2 < 6?
Rezolvă în ℝ inecuația 4x − 1 < 2x + 1.
Un taxi costă 9 lei la pornire și 3 lei pentru fiecare kilometru. Câți kilometri întregi se pot parcurge cu cel mult 35 lei?
Un taxi costă 6 lei la pornire și 3 lei pentru fiecare kilometru. Câți kilometri întregi se pot parcurge cu cel mult 11 lei?
Care este mulțimea soluțiilor întregi, cuprinse între −9 și 9, ale inecuației 2x > 7?
Rezolvă în ℝ inecuația 3x − 7 ≤ 10.
Rezolvă în ℝ inecuația −x − 11 ≥ −10.
Câte numere naturale verifică inecuația 4x + 6 < 12?
Un taxi costă 9 lei la pornire și 2 lei pentru fiecare kilometru. Câți kilometri întregi se pot parcurge cu cel mult 20 lei?
Rezolvă în ℝ inecuația 4(x + 4) ≥ 16.
Rezolvă în ℝ inecuația 2x − 10 > −1.
Rezolvă în ℝ inecuația −5x − 9 ≥ −7.
Rezolvă în ℝ inecuația 2x − 5 < 3x − 1.
Rezolvă în ℝ inecuația −4x + 2 ≥ −5.
Rezolvă sistemul { 3x + 2 ≥ 0 ; 4x − 4 < 0 } în ℝ.
Câte numere naturale verifică inecuația 6x + 3 ≤ 13?
Rezolvă în ℝ inecuația 7x + 7 < −4.
Rezolvă în ℝ inecuația 3(x − 1) ≤ 15.
Care este mulțimea soluțiilor întregi, cuprinse între −9 și 9, ale inecuației −4x − 7 > −3?
Care este mulțimea soluțiilor întregi, cuprinse între −9 și 9, ale inecuației 3x ≥ 2?
Rezolvă în ℝ inecuația 4x + 5 < 2x.
Rezolvă în ℝ inecuația 3(x + 3) < 3.
Rezolvă în ℝ inecuația (x − 6)/3 ≤ −1.
Care este mulțimea soluțiilor întregi, cuprinse între −9 și 9, ale inecuației x − 7 ≥ −3?
Rezolvă în ℝ inecuația −4x + 11 ≥ 4.
Rezolvă în ℝ inecuația 5(x + 1) ≥ 20.
Rezolvă în ℝ inecuația 3x < 6x − 3.
Rezolvă în ℝ inecuația (x − 5)/4 < 1.
Rezolvă în ℝ inecuația 2x + 3 > 5x + 5.
Un taxi costă 5 lei la pornire și 2 lei pentru fiecare kilometru. Câți kilometri întregi se pot parcurge cu cel mult 25 lei?
Rezolvă sistemul { x ≥ 0 ; 2x − 4 < 0 } în ℝ.
Un taxi costă 9 lei la pornire și 4 lei pentru fiecare kilometru. Câți kilometri întregi se pot parcurge cu cel mult 26 lei?
Rezolvă în ℝ inecuația 2x − 3 < 4x + 6.
Rezolvă în ℝ inecuația 2x − 1 ≤ 5x − 2.
Rezolvă în ℝ inecuația (x + 4)/4 ≥ 5.
Câte numere naturale verifică inecuația x + 4 ≤ 12?
Un taxi costă 9 lei la pornire și 2 lei pentru fiecare kilometru. Câți kilometri întregi se pot parcurge cu cel mult 19 lei?
Rezolvă în ℝ inecuația 5x − 11 > 6.
Un taxi costă 7 lei la pornire și 2 lei pentru fiecare kilometru. Câți kilometri întregi se pot parcurge cu cel mult 40 lei?
Rezolvă în ℝ inecuația (x + 6)/2 < 2.
Rezolvă în ℝ inecuația 6x + 3 < 2.
Rezolvă în ℝ inecuația 4x − 3 ≥ 2x + 4.
Câte numere naturale verifică inecuația 6x + 4 ≤ 12?

Arată răspunsurile: nivel mediu

(−∞, 0] — Împărțim cu 4 (pozitiv): x + 2 ≤ 2, deci x ≤ 0. Soluțiile: (−∞, 0].
[2, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: −x ≤ −2. Împărțim la −1 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x ≥ 2. Mulțimea soluțiilor: [2, +∞).
(−∞, 1) — Împărțim cu 3 (pozitiv): x + 2 < 3, deci x < 1. Soluțiile: (−∞, 1).
5 — Trecem termenul liber în dreapta: x < 5. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 5). Numerele naturale din (−∞, 5): {0, 1, 2, 3, 4}. Sunt 5.
13 — Se rezolvă 7 + 2x ≤ 34, deci x ≤ 27/2. Cel mai mare număr întreg de kilometri este 13.
[−2/3, 4) — Prima inecuație dă x ∈ [−2/3, +∞), a doua x ∈ (−∞, 4). Soluția sistemului este intersecția: [−2/3, 4).
(−∞, 8] — Împărțim cu 2 (pozitiv): x − 3 ≤ 5, deci x ≤ 8. Soluțiile: (−∞, 8].
2 — Trecem termenul liber în dreapta: 5x < 8. Împărțim la 5: x < 8/5. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 8/5). Numerele naturale din (−∞, 8/5): {0, 1}. Sunt 2.
(−∞, 1) — Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: 2x < 2. Împărțim la 2. Soluțiile: (−∞, 1).
8 — Se rezolvă 9 + 3x ≤ 35, deci x ≤ 26/3. Cel mai mare număr întreg de kilometri este 8.
1 — Se rezolvă 6 + 3x ≤ 11, deci x ≤ 5/3. Cel mai mare număr întreg de kilometri este 1.
{4, 5, 6, 7, 8, 9} — Trecem termenul liber în dreapta: 2x > 7. Împărțim la 2: x > 7/2. Mulțimea soluțiilor: (7/2, +∞). Întregii din interval, între −9 și 9: {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(−∞, 17/3] — Trecem termenul liber în dreapta: 3x ≤ 17. Împărțim la 3: x ≤ 17/3. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 17/3].
(−∞, −1] — Trecem termenul liber în dreapta: −x ≥ 1. Împărțim la −1 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x ≤ −1. Mulțimea soluțiilor: (−∞, −1].
2 — Trecem termenul liber în dreapta: 4x < 6. Împărțim la 4: x < 3/2. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 3/2). Numerele naturale din (−∞, 3/2): {0, 1}. Sunt 2.
5 — Se rezolvă 9 + 2x ≤ 20, deci x ≤ 11/2. Cel mai mare număr întreg de kilometri este 5.
[0, +∞) — Împărțim cu 4 (pozitiv): x + 4 ≥ 4, deci x ≥ 0. Soluțiile: [0, +∞).
(9/2, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: 2x > 9. Împărțim la 2: x > 9/2. Mulțimea soluțiilor: (9/2, +∞).
(−∞, −2/5] — Trecem termenul liber în dreapta: −5x ≥ 2. Împărțim la −5 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x ≤ −2/5. Mulțimea soluțiilor: (−∞, −2/5].
(−4, +∞) — Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: −1x < 4. Împărțim la −1 (negativ, sensul se schimbă). Soluțiile: (−4, +∞).
(−∞, 7/4] — Trecem termenul liber în dreapta: −4x ≥ −7. Împărțim la −4 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x ≤ 7/4. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 7/4].
[−2/3, 1) — Prima inecuație dă x ∈ [−2/3, +∞), a doua x ∈ (−∞, 1). Soluția sistemului este intersecția: [−2/3, 1).
2 — Trecem termenul liber în dreapta: 6x ≤ 10. Împărțim la 6: x ≤ 5/3. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 5/3]. Numerele naturale din (−∞, 5/3]: {0, 1}. Sunt 2.
(−∞, −11/7) — Trecem termenul liber în dreapta: 7x < −11. Împărțim la 7: x < −11/7. Mulțimea soluțiilor: (−∞, −11/7).
(−∞, 6] — Împărțim cu 3 (pozitiv): x − 1 ≤ 5, deci x ≤ 6. Soluțiile: (−∞, 6].
{−9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2} — Trecem termenul liber în dreapta: −4x > 4. Împărțim la −4 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x < −1. Mulțimea soluțiilor: (−∞, −1). Întregii din interval, între −9 și 9: {−9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2}.
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — Trecem termenul liber în dreapta: 3x ≥ 2. Împărțim la 3: x ≥ 2/3. Mulțimea soluțiilor: [2/3, +∞). Întregii din interval, între −9 și 9: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(−∞, −5/2) — Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: 2x < −5. Împărțim la 2. Soluțiile: (−∞, −5/2).
(−∞, −2) — Împărțim cu 3 (pozitiv): x + 3 < 1, deci x < −2. Soluțiile: (−∞, −2).
(−∞, 3] — Înmulțim cu 3 (pozitiv): x − 6 ≤ −3. Apoi x ≤ 3. Soluțiile: (−∞, 3].
{4, 5, 6, 7, 8, 9} — Trecem termenul liber în dreapta: x ≥ 4. Mulțimea soluțiilor: [4, +∞). Întregii din interval, între −9 și 9: {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(−∞, 7/4] — Trecem termenul liber în dreapta: −4x ≥ −7. Împărțim la −4 (număr negativ, deci sensul inegalității se schimbă): x ≤ 7/4. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 7/4].
[3, +∞) — Împărțim cu 5 (pozitiv): x + 1 ≥ 4, deci x ≥ 3. Soluțiile: [3, +∞).
(1, +∞) — Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: −3x < −3. Împărțim la −3 (negativ, sensul se schimbă). Soluțiile: (1, +∞).
(−∞, 9) — Înmulțim cu 4 (pozitiv): x − 5 < 4. Apoi x < 9. Soluțiile: (−∞, 9).
(−∞, −2/3) — Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: −3x > 2. Împărțim la −3 (negativ, sensul se schimbă). Soluțiile: (−∞, −2/3).
10 — Se rezolvă 5 + 2x ≤ 25, deci x ≤ 10. Cel mai mare număr întreg de kilometri este 10.
[0, 2) — Prima inecuație dă x ∈ [0, +∞), a doua x ∈ (−∞, 2). Soluția sistemului este intersecția: [0, 2).
4 — Se rezolvă 9 + 4x ≤ 26, deci x ≤ 17/4. Cel mai mare număr întreg de kilometri este 4.
(−9/2, +∞) — Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: −2x < 9. Împărțim la −2 (negativ, sensul se schimbă). Soluțiile: (−9/2, +∞).
[1/3, +∞) — Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: −3x ≤ −1. Împărțim la −3 (negativ, sensul se schimbă). Soluțiile: [1/3, +∞).
[16, +∞) — Înmulțim cu 4 (pozitiv): x + 4 ≥ 20. Apoi x ≥ 16. Soluțiile: [16, +∞).
9 — Trecem termenul liber în dreapta: x ≤ 8. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 8]. Numerele naturale din (−∞, 8]: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Sunt 9.
5 — Se rezolvă 9 + 2x ≤ 19, deci x ≤ 5. Cel mai mare număr întreg de kilometri este 5.
(17/5, +∞) — Trecem termenul liber în dreapta: 5x > 17. Împărțim la 5: x > 17/5. Mulțimea soluțiilor: (17/5, +∞).
16 — Se rezolvă 7 + 2x ≤ 40, deci x ≤ 33/2. Cel mai mare număr întreg de kilometri este 16.
(−∞, −2) — Înmulțim cu 2 (pozitiv): x + 6 < 4. Apoi x < −2. Soluțiile: (−∞, −2).
(−∞, −1/6) — Trecem termenul liber în dreapta: 6x < −1. Împărțim la 6: x < −1/6. Mulțimea soluțiilor: (−∞, −1/6).
[7/2, +∞) — Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: 2x ≥ 7. Împărțim la 2. Soluțiile: [7/2, +∞).
2 — Trecem termenul liber în dreapta: 6x ≤ 8. Împărțim la 6: x ≤ 4/3. Mulțimea soluțiilor: (−∞, 4/3]. Numerele naturale din (−∞, 4/3]: {0, 1}. Sunt 2.

Nivel dificil (50 de exerciții)

Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 3x + 7 < 30?
Care dintre inecuațiile următoare este echivalentă cu 3x − 3 ≥ 0?
Variante: A) x ≥ 1 · B) x ≤ 1 · C) x > 1 · D) x ≥ −1 · E) x ≥ 3
Rezolvă dubla inegalitate −3 < 3x − 1 ≤ 4 și determină numărul soluțiilor întregi.
Care dintre inecuațiile următoare este echivalentă cu 5x − 1 ≥ 0?
Variante: A) x ≥ −1/5 · B) x > 1/5 · C) x ≤ 1/5 · D) x ≥ 1/5 · E) x ≥ 1
Rezolvă sistemul { 3x + 9 ≥ 0 ; 2x < 0 } în ℝ.
Care dintre inecuațiile următoare este echivalentă cu 3x − 2 ≥ 0?
Variante: A) x ≥ −2/3 · B) x > 2/3 · C) x ≥ 2 · D) x ≤ 2/3 · E) x ≥ 2/3
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 5x + 4 < 31?
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 5x + 5 < 23?
Rezolvă dubla inegalitate −5 < 4x + 3 ≤ 5 și determină numărul soluțiilor întregi.
Rezolvă dubla inegalitate −5 < 3x + 2 ≤ 5 și determină numărul soluțiilor întregi.
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 5x + 5 < 44?
Rezolvă în ℝ inecuația −5/(2x + 1) ≤ 0.
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 5x + 4 < 46?
Care dintre inecuațiile următoare este echivalentă cu 2x + 3 ≥ 0?
Variante: A) x ≥ 3/2 · B) x ≥ −3/2 · C) x ≥ −3 · D) x ≤ −3/2 · E) x > −3/2
Rezolvă sistemul { −3x + 8 ≥ 0 ; −3x + 7 < 0 } în ℝ.
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 5x + 2 < 44?
Rezolvă în ℝ inecuația 5/(3x − 8) < 0.
Firma A cere 3 lei taxă fixă și 4 lei pe oră, firma B cere 4 lei taxă fixă și 2 lei pe oră. Pentru ce număr x de ore firma A este mai ieftină decât B?
Rezolvă sistemul { −3x − 9 ≥ 0 ; −3x + 1 < 0 } în ℝ.
Rezolvă în ℝ inecuația 2/(5x − 2) < 0.
Rezolvă dubla inegalitate −4 < 2x − 3 ≤ 7 și determină numărul soluțiilor întregi.
Care este suma numerelor naturale mai mici decât 10 care verifică inecuația 2x − 4 ≥ 0?
Rezolvă dubla inegalitate −4 < 4x ≤ 9 și determină numărul soluțiilor întregi.
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 2x + 5 < 24?
Firma A cere 5 lei taxă fixă și 1 lei pe oră, firma B cere 5 lei taxă fixă și 5 lei pe oră. Pentru ce număr x de ore firma A este mai ieftină decât B?
Rezolvă în ℝ inecuația −1/(2x + 8) < 0.
Rezolvă sistemul { −4x + 2 ≥ 0 ; −4x + 1 < 0 } în ℝ.
Care dintre inecuațiile următoare este echivalentă cu 4x − 5 ≥ 0?
Variante: A) x > 5/4 · B) x ≥ −5/4 · C) x ≥ 5/4 · D) x ≤ 5/4 · E) x ≥ 5
Rezolvă dubla inegalitate −5 < 3x + 3 ≤ 9 și determină numărul soluțiilor întregi.
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 3x + 5 < 30?
Rezolvă în ℝ inecuația −5/(4x − 9) ≤ 0.
Rezolvă sistemul { −4x − 9 ≥ 0 ; −x + 7 < 0 } în ℝ.
Rezolvă dubla inegalitate −6 < 3x + 3 ≤ 5 și determină numărul soluțiilor întregi.
Rezolvă în ℝ inecuația −3/(−4x + 3) < 0.
Firma A cere 6 lei taxă fixă și 3 lei pe oră, firma B cere 8 lei taxă fixă și 4 lei pe oră. Pentru ce număr x de ore firma A este mai ieftină decât B?
Rezolvă sistemul { x + 6 ≥ 0 ; x − 9 < 0 } în ℝ.
Rezolvă dubla inegalitate −1 < 3x ≤ 8 și determină numărul soluțiilor întregi.
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 3x + 1 < 14?
Rezolvă sistemul { 5x − 4 ≥ 0 ; 3x + 6 < 0 } în ℝ.
Care dintre inecuațiile următoare este echivalentă cu 5x + 4 ≥ 0?
Variante: A) x ≥ −4 · B) x ≤ −4/5 · C) x ≥ −4/5 · D) x ≥ 4/5 · E) x > −4/5
Rezolvă în ℝ inecuația 5/(−x − 4) ≥ 0.
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 3x + 3 < 26?
Firma A cere 1 lei taxă fixă și 2 lei pe oră, firma B cere 1 lei taxă fixă și 5 lei pe oră. Pentru ce număr x de ore firma A este mai ieftină decât B?
Firma A cere 6 lei taxă fixă și 2 lei pe oră, firma B cere 3 lei taxă fixă și 5 lei pe oră. Pentru ce număr x de ore firma A este mai ieftină decât B?
Rezolvă dubla inegalitate −1 < 4x + 2 ≤ 5 și determină numărul soluțiilor întregi.
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 5x + 1 < 29?
Care este suma numerelor naturale mai mici decât 11 care verifică inecuația 2x − 3 ≥ 0?
Care dintre inecuațiile următoare este echivalentă cu 2x + 5 ≥ 0?
Variante: A) x ≥ 5/2 · B) x ≥ −5 · C) x > −5/2 · D) x ≥ −5/2 · E) x ≤ −5/2
Care este cel mai mare număr întreg care verifică inecuația 2x + 6 < 13?
Rezolvă în ℝ inecuația 1/(−3x − 7) > 0.

Arată răspunsurile: nivel dificil

7 — 3x < 23 ⇒ x < 23/3. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 23/3 este 7.
x ≥ 1 — 3x − 3 ≥ 0 ⇔ 3x ≥ 3 ⇔ x ≥ 1 (am împărțit la 3 > 0).
2 — Scădem −1: −2 < 3x ≤ 5. Împărțim la 3: x ∈ (−2/3, 5/3]. Întregii: {0, 1}: 2 soluții.
x ≥ 1/5 — 5x − 1 ≥ 0 ⇔ 5x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1/5 (am împărțit la 5 > 0).
[−3, 0) — Soluțiile primei inecuații: [−3, +∞); ale celei de-a doua: (−∞, 0). Intersecția lor este [−3, 0).
x ≥ 2/3 — 3x − 2 ≥ 0 ⇔ 3x ≥ 2 ⇔ x ≥ 2/3 (am împărțit la 3 > 0).
5 — 5x < 27 ⇒ x < 27/5. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 27/5 este 5.
3 — 5x < 18 ⇒ x < 18/5. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 18/5 este 3.
2 — Scădem 3: −8 < 4x ≤ 2. Împărțim la 4: x ∈ (−2, 1/2]. Întregii: {−1, 0}: 2 soluții.
4 — Scădem 2: −7 < 3x ≤ 3. Împărțim la 3: x ∈ (−7/3, 1]. Întregii: {−2, −1, 0, 1}: 4 soluții.
7 — 5x < 39 ⇒ x < 39/5. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 39/5 este 7.
(−1/2, +∞) — Numărătorul −5 este negativ, deci semnul fracției este dat de numitor. Cerem ca 2x + 1 să fie pozitiv; numitorul nu poate fi 0, deci capătul −1/2 este exclus. Soluții: (−1/2, +∞).
8 — 5x < 42 ⇒ x < 42/5. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 42/5 este 8.
x ≥ −3/2 — 2x + 3 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ −3 ⇔ x ≥ −3/2 (am împărțit la 2 > 0).
(7/3, 8/3] — Soluțiile primei inecuații: (−∞, 8/3]; ale celei de-a doua: (7/3, +∞). Intersecția lor este (7/3, 8/3].
8 — 5x < 42 ⇒ x < 42/5. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 42/5 este 8.
(−∞, 8/3) — Numărătorul 5 este pozitiv, deci semnul fracției este dat de numitor. Cerem ca 3x − 8 să fie negativ; numitorul nu poate fi 0, deci capătul 8/3 este exclus. Soluții: (−∞, 8/3).
(−∞, 1/2) — Costul lui A: 3 + 4x; al lui B: 4 + 2x. A este mai ieftină când 3 + 4x < 4 + 2x ⇔ 2x < 1 ⇔ x ∈ (−∞, 1/2).
∅ — Soluțiile primei inecuații: (−∞, −3]; ale celei de-a doua: (1/3, +∞). Intersecția lor este ∅ (mulțimea vidă).
(−∞, 2/5) — Numărătorul 2 este pozitiv, deci semnul fracției este dat de numitor. Cerem ca 5x − 2 să fie negativ; numitorul nu poate fi 0, deci capătul 2/5 este exclus. Soluții: (−∞, 2/5).
6 — Scădem −3: −1 < 2x ≤ 10. Împărțim la 2: x ∈ (−1/2, 5]. Întregii: {0, 1, 2, 3, 4, 5}: 6 soluții.
44 — 2x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2. Naturalele < 10 care verifică: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; suma lor este 44.
3 — Scădem 0: −4 < 4x ≤ 9. Împărțim la 4: x ∈ (−1, 9/4]. Întregii: {0, 1, 2}: 3 soluții.
9 — 2x < 19 ⇒ x < 19/2. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 19/2 este 9.
(0, +∞) — Costul lui A: 5 + 1x; al lui B: 5 + 5x. A este mai ieftină când 5 + 1x < 5 + 5x ⇔ -4x < 0 ⇔ x ∈ (0, +∞).
(−4, +∞) — Numărătorul −1 este negativ, deci semnul fracției este dat de numitor. Cerem ca 2x + 8 să fie pozitiv; numitorul nu poate fi 0, deci capătul −4 este exclus. Soluții: (−4, +∞).
(1/4, 1/2] — Soluțiile primei inecuații: (−∞, 1/2]; ale celei de-a doua: (1/4, +∞). Intersecția lor este (1/4, 1/2].
x ≥ 5/4 — 4x − 5 ≥ 0 ⇔ 4x ≥ 5 ⇔ x ≥ 5/4 (am împărțit la 4 > 0).
5 — Scădem 3: −8 < 3x ≤ 6. Împărțim la 3: x ∈ (−8/3, 2]. Întregii: {−2, −1, 0, 1, 2}: 5 soluții.
8 — 3x < 25 ⇒ x < 25/3. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 25/3 este 8.
(9/4, +∞) — Numărătorul −5 este negativ, deci semnul fracției este dat de numitor. Cerem ca 4x − 9 să fie pozitiv; numitorul nu poate fi 0, deci capătul 9/4 este exclus. Soluții: (9/4, +∞).
∅ — Soluțiile primei inecuații: (−∞, −9/4]; ale celei de-a doua: (7, +∞). Intersecția lor este ∅ (mulțimea vidă).
3 — Scădem 3: −9 < 3x ≤ 2. Împărțim la 3: x ∈ (−3, 2/3]. Întregii: {−2, −1, 0}: 3 soluții.
(−∞, 3/4) — Numărătorul −3 este negativ, deci semnul fracției este dat de numitor. Cerem ca −4x + 3 să fie pozitiv; numitorul nu poate fi 0, deci capătul 3/4 este exclus. Soluții: (−∞, 3/4).
(−2, +∞) — Costul lui A: 6 + 3x; al lui B: 8 + 4x. A este mai ieftină când 6 + 3x < 8 + 4x ⇔ -1x < 2 ⇔ x ∈ (−2, +∞).
[−6, 9) — Soluțiile primei inecuații: [−6, +∞); ale celei de-a doua: (−∞, 9). Intersecția lor este [−6, 9).
3 — Scădem 0: −1 < 3x ≤ 8. Împărțim la 3: x ∈ (−1/3, 8/3]. Întregii: {0, 1, 2}: 3 soluții.
4 — 3x < 13 ⇒ x < 13/3. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 13/3 este 4.
∅ — Soluțiile primei inecuații: [4/5, +∞); ale celei de-a doua: (−∞, −2). Intersecția lor este ∅ (mulțimea vidă).
x ≥ −4/5 — 5x + 4 ≥ 0 ⇔ 5x ≥ −4 ⇔ x ≥ −4/5 (am împărțit la 5 > 0).
(−∞, −4) — Numărătorul 5 este pozitiv, deci semnul fracției este dat de numitor. Cerem ca −x − 4 să fie pozitiv; numitorul nu poate fi 0, deci capătul −4 este exclus. Soluții: (−∞, −4).
7 — 3x < 23 ⇒ x < 23/3. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 23/3 este 7.
(0, +∞) — Costul lui A: 1 + 2x; al lui B: 1 + 5x. A este mai ieftină când 1 + 2x < 1 + 5x ⇔ -3x < 0 ⇔ x ∈ (0, +∞).
(1, +∞) — Costul lui A: 6 + 2x; al lui B: 3 + 5x. A este mai ieftină când 6 + 2x < 3 + 5x ⇔ -3x < -3 ⇔ x ∈ (1, +∞).
1 — Scădem 2: −3 < 4x ≤ 3. Împărțim la 4: x ∈ (−3/4, 3/4]. Întregii: {0}: 1 soluții.
5 — 5x < 28 ⇒ x < 28/5. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 28/5 este 5.
54 — 2x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3/2. Naturalele < 11 care verifică: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; suma lor este 54.
x ≥ −5/2 — 2x + 5 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ −5 ⇔ x ≥ −5/2 (am împărțit la 2 > 0).
3 — 2x < 7 ⇒ x < 7/2. Cel mai mare întreg strict mai mic decât 7/2 este 3.
(−∞, −7/3) — Numărătorul 1 este pozitiv, deci semnul fracției este dat de numitor. Cerem ca −3x − 7 să fie pozitiv; numitorul nu poate fi 0, deci capătul −7/3 este exclus. Soluții: (−∞, −7/3).

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul online Teste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a