Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor

Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor

Scrierea mulțimilor prin proprietate, enumerarea elementelor, apartenență, submulțimi, intersecție, reuniune, diferență.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Două moduri de a scrie o mulțime

O mulțime se poate da prin enumerarea elementelor sau printr-o proprietate comună a elementelor ei. Forma generală este:

A = {x ∈ M | proprietatea lui x}
se citește: „mulțimea numerelor x din M pentru care are loc proprietatea”

Exemple: A = {x ∈ ℕ | x < 4} = {0, 1, 2, 3}; B = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x ≤ 1} = {−2, −1, 0, 1}; C = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 12} = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Mulțimile de numere și apartenența

ℕ = {0, 1, 2, …}   ℕ* = {1, 2, 3, …}   ℤ = {…, −1, 0, 1, …}
ℚ = numerele raționale   ℝ = numerele reale
a ∈ A (a aparține)   a ∉ A (a nu aparține)

Un număr aparține mulțimii dacă îndeplinește ambele condiții: se află în mulțimea de bază (ℕ, ℤ, ℝ, …) și verifică proprietatea. De aceea 2,5 ∉ ℕ, chiar dacă 2,5 < 4.

Exemplul 1. Scrie prin enumerare A = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x < 7}.
Metoda 1 (pe axa numerelor). Notăm numerele naturale de la 2 la 6: 2, 3, 4, 5, 6. Numărul 7 nu este inclus (x < 7). A = {2, 3, 4, 5, 6}.
Metoda 2 (prin numărare). Numărul de elemente este 7 − 2 = 5, pentru că 2 este inclus și 7 exclus: 2, 3, 4, 5, 6.
Exemplul 2. Câte elemente are B = {x ∈ ℤ | −3 ≤ x ≤ 2}?
Metoda 1 (enumerare). B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}, deci 6 elemente.
Metoda 2 (formulă). Între a și b, inclusiv, sunt b − a + 1 numere întregi: 2 − (−3) + 1 = 6.
Exemplul 3. Determină C = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 5, x ≤ 23}.
Rezolvare. Multiplii naturali ai lui 5 până la 23: 0, 5, 10, 15, 20. Deci C = {0, 5, 10, 15, 20}. Atenție: 0 este multiplu al oricărui număr.

Operații cu mulțimi

A ∩ B = {x | x ∈ A și x ∈ B}   (intersecția)
A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B}   (reuniunea)
A ∖ B = {x | x ∈ A și x ∉ B}   (diferența)
AB132456

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 6}: A ∩ B = {2, 4}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ∖ B = {1, 3}

Exemplul 4. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 6} și B = {x ∈ ℕ | x este divizor al lui 12}. Calculează A ∩ B, A ∪ B, A ∖ B.
Metoda 1 (prin diagrama Venn). A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Elementele comune: 1, 2, 3, 4. Deci A ∩ B = {1, 2, 3, 4}. A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12}. A ∖ B = {0, 5}.
Metoda 2 (prin condiții). x ∈ A ∩ B înseamnă x < 6 și x | 12: x ∈ {1, 2, 3, 4}. A ∖ B: x < 6 și x nu divide 12: 0 și 5.
Exemplul 5. Câte elemente are D = {x ∈ ℕ | x ≤ 30, x multiplu de 4 sau de 6}?
Metoda 1 (principiul includerii). Multiplii lui 4: 0, 4, …, 28 (8 numere). Multiplii lui 6: 0, 6, …, 30 (6 numere). Comuni (multipli de 12): 0, 12, 24 (3 numere). 8 + 6 − 3 = 11.
Metoda 2 (enumerare). D = {0, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30}: 11 elemente.

Mulțimi finite și infinite

{x ∈ ℕ | x < 100} este finită (100 de elemente). {x ∈ ℕ | x multiplu de 3} este infinită. Mulțimea {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 2} este infinită: între oricare două numere reale există alte numere reale.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x ≤ 9}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  2. Este adevărat că 5 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 2}?
  3. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 3 ≤ x < 8}?
  4. Este adevărat că 5 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ −4}?
  5. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x ≤ 8}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  6. Este adevărat că −4 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ −1}?
  7. Este adevărat că 7 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 6}?
  8. Este adevărat că 5 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ −2}?
  9. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x ≤ 4}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  10. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x ≤ 7}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  11. Este adevărat că −5 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 4}?
  12. Care dintre numerele următoare aparține mulțimii A = {x ∈ ℕ | x < 11}?
    Variante: A) 6  ·  B) 11  ·  C) 14  ·  D) 12  ·  E) 19
  13. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 5 ≤ x < 15}?
  14. Care dintre numerele următoare aparține mulțimii A = {x ∈ ℕ | x < 3}?
    Variante: A) 4  ·  B) 8  ·  C) 3  ·  D) 2  ·  E) 9
  15. Este adevărat că −2 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 0}?
  16. Care dintre numerele următoare aparține mulțimii A = {x ∈ ℕ | x < 10}?
    Variante: A) 11  ·  B) 13  ·  C) 17  ·  D) 10  ·  E) 9
  17. Este adevărat că 4 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ −2}?
  18. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x < 3}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  19. Este adevărat că 2 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 3}?
  20. Care dintre numerele următoare aparține mulțimii A = {x ∈ ℕ | x < 7}?
    Variante: A) 8  ·  B) 4  ·  C) 14  ·  D) 7  ·  E) 11
  21. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x < 5}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  22. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x < 6}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  23. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x ≤ 3}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  24. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 4 ≤ x < 15}?
  25. Este adevărat că 6 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 5}?
  26. Este adevărat că −4 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ −5}?
  27. Este adevărat că −2 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ −5}?
  28. Este adevărat că 0 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 6}?
  29. Care dintre numerele următoare aparține mulțimii A = {x ∈ ℕ | x < 8}?
    Variante: A) 13  ·  B) 9  ·  C) 6  ·  D) 8  ·  E) 17
  30. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x < 8}?
  31. Este adevărat că 7 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ −2}?
  32. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 3 ≤ x < 15}?
  33. Este adevărat că 6 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ −1}?
  34. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x ≤ 6}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  35. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 3 ≤ x < 11}?
  36. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x < 11}?
  37. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x < 4}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  38. Care dintre numerele următoare aparține mulțimii A = {x ∈ ℕ | x < 9}?
    Variante: A) 17  ·  B) 9  ·  C) 2  ·  D) 10  ·  E) 13
  39. Care dintre numerele următoare aparține mulțimii A = {x ∈ ℕ | x < 6}?
    Variante: A) 7  ·  B) 12  ·  C) 10  ·  D) 4  ·  E) 6
  40. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x ≤ 5}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  41. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x < 9}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  42. Este adevărat că 7 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 4}?
  43. Este adevărat că 7 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 2}?
  44. Care dintre numerele următoare aparține mulțimii A = {x ∈ ℕ | x < 5}?
    Variante: A) 7  ·  B) 6  ·  C) 1  ·  D) 14  ·  E) 5
  45. Este adevărat că 4 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 4}?
  46. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x < 8}, scrisă prin enumerarea elementelor?
  47. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 4 ≤ x < 11}?
  48. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | 4 ≤ x < 13}?
  49. Este adevărat că 8 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 0}?
  50. Este adevărat că −6 ∈ {x ∈ ℤ | x ≥ 5}?
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — ℕ* nu conține pe 0. Numerele naturale nenule cu x ≤ 9 sunt 1, 2, …, 9.
  2. Da — 5 ≥ 2, deci 5 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  3. 5 — Elementele sunt 3, 4, …, 7. Numărul lor este 7 − 3 + 1 = 5.
  4. Da — 5 ≥ −4, deci 5 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  5. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — ℕ* nu conține pe 0. Numerele naturale nenule cu x ≤ 8 sunt 1, 2, …, 8.
  6. Nu — −4 < −1, deci −4 nu verifică proprietatea și nu aparține mulțimii.
  7. Da — 7 ≥ 6, deci 7 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  8. Da — 5 ≥ −2, deci 5 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  9. {1, 2, 3, 4} — ℕ* nu conține pe 0. Numerele naturale nenule cu x ≤ 4 sunt 1, 2, …, 4.
  10. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} — ℕ* nu conține pe 0. Numerele naturale nenule cu x ≤ 7 sunt 1, 2, …, 7.
  11. Nu — −5 < 4, deci −5 nu verifică proprietatea și nu aparține mulțimii.
  12. 6 — Elementele lui A sunt numerele naturale mai mici decât 11: 0, 1, …, 10. Aparține 6, iar 11 nu (nu este mai mic decât 11).
  13. 10 — Elementele sunt 5, 6, …, 14. Numărul lor este 14 − 5 + 1 = 10.
  14. 2 — Elementele lui A sunt numerele naturale mai mici decât 3: 0, 1, …, 2. Aparține 2, iar 3 nu (nu este mai mic decât 3).
  15. Nu — −2 < 0, deci −2 nu verifică proprietatea și nu aparține mulțimii.
  16. 9 — Elementele lui A sunt numerele naturale mai mici decât 10: 0, 1, …, 9. Aparține 9, iar 10 nu (nu este mai mic decât 10).
  17. Da — 4 ≥ −2, deci 4 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  18. {0, 1, 2} — Numerele naturale mai mici decât 3 sunt 0, 1, …, 2. Deci A = {0, 1, 2}.
  19. Nu — 2 < 3, deci 2 nu verifică proprietatea și nu aparține mulțimii.
  20. 4 — Elementele lui A sunt numerele naturale mai mici decât 7: 0, 1, …, 6. Aparține 4, iar 7 nu (nu este mai mic decât 7).
  21. {0, 1, 2, 3, 4} — Numerele naturale mai mici decât 5 sunt 0, 1, …, 4. Deci A = {0, 1, 2, 3, 4}.
  22. {0, 1, 2, 3, 4, 5} — Numerele naturale mai mici decât 6 sunt 0, 1, …, 5. Deci A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
  23. {1, 2, 3} — ℕ* nu conține pe 0. Numerele naturale nenule cu x ≤ 3 sunt 1, 2, …, 3.
  24. 11 — Elementele sunt 4, 5, …, 14. Numărul lor este 14 − 4 + 1 = 11.
  25. Da — 6 ≥ 5, deci 6 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  26. Da — −4 ≥ −5, deci −4 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  27. Da — −2 ≥ −5, deci −2 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  28. Nu — 0 < 6, deci 0 nu verifică proprietatea și nu aparține mulțimii.
  29. 6 — Elementele lui A sunt numerele naturale mai mici decât 8: 0, 1, …, 7. Aparține 6, iar 8 nu (nu este mai mic decât 8).
  30. 6 — Elementele sunt 2, 3, …, 7. Numărul lor este 7 − 2 + 1 = 6.
  31. Da — 7 ≥ −2, deci 7 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  32. 12 — Elementele sunt 3, 4, …, 14. Numărul lor este 14 − 3 + 1 = 12.
  33. Da — 6 ≥ −1, deci 6 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  34. {1, 2, 3, 4, 5, 6} — ℕ* nu conține pe 0. Numerele naturale nenule cu x ≤ 6 sunt 1, 2, …, 6.
  35. 8 — Elementele sunt 3, 4, …, 10. Numărul lor este 10 − 3 + 1 = 8.
  36. 9 — Elementele sunt 2, 3, …, 10. Numărul lor este 10 − 2 + 1 = 9.
  37. {0, 1, 2, 3} — Numerele naturale mai mici decât 4 sunt 0, 1, …, 3. Deci A = {0, 1, 2, 3}.
  38. 2 — Elementele lui A sunt numerele naturale mai mici decât 9: 0, 1, …, 8. Aparține 2, iar 9 nu (nu este mai mic decât 9).
  39. 4 — Elementele lui A sunt numerele naturale mai mici decât 6: 0, 1, …, 5. Aparține 4, iar 6 nu (nu este mai mic decât 6).
  40. {1, 2, 3, 4, 5} — ℕ* nu conține pe 0. Numerele naturale nenule cu x ≤ 5 sunt 1, 2, …, 5.
  41. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — Numerele naturale mai mici decât 9 sunt 0, 1, …, 8. Deci A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
  42. Da — 7 ≥ 4, deci 7 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  43. Da — 7 ≥ 2, deci 7 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  44. 1 — Elementele lui A sunt numerele naturale mai mici decât 5: 0, 1, …, 4. Aparține 1, iar 5 nu (nu este mai mic decât 5).
  45. Da — 4 ≥ 4, deci 4 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  46. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} — Numerele naturale mai mici decât 8 sunt 0, 1, …, 7. Deci A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
  47. 7 — Elementele sunt 4, 5, …, 10. Numărul lor este 10 − 4 + 1 = 7.
  48. 9 — Elementele sunt 4, 5, …, 12. Numărul lor este 12 − 4 + 1 = 9.
  49. Da — 8 ≥ 0, deci 8 verifică proprietatea și aparține mulțimii.
  50. Nu — −6 < 5, deci −6 nu verifică proprietatea și nu aparține mulțimii.

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 3}?
  2. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 7, x ≤ 63}.
  3. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 40}?
  4. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 5}?
  5. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −4 ≤ 2x + 1 < 4}?
  6. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −5 ≤ 2x + 1 < 4}?
  7. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 6} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 8}. Care este mulțimea A ∩ B?
  8. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 6}?
  9. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 3, x ≤ 29}.
  10. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 4} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 2}. Care este mulțimea A ∩ B?
  11. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 9, x ≤ 74}.
  12. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 4}?
  13. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 5} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 2}. Care este mulțimea A ∩ B?
  14. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −2 ≤ 3x + 1 < 4}?
  15. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 7, x ≤ 58}.
  16. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 3} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 6}. Care este mulțimea A ∩ B?
  17. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 5} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 8}. Care este mulțimea A ∩ B?
  18. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 3} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 2}. Care este mulțimea A ∩ B?
  19. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 9, x ≤ 77}.
  20. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 9, x ≤ 60}.
  21. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 45}?
  22. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −4 ≤ 2x + 1 < 2}?
  23. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 4} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 4}. Care este mulțimea A ∩ B?
  24. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −1 ≤ 2x + 1 < 5}?
  25. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 20}?
  26. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 5, x ≤ 47}.
  27. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 28}?
  28. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 8, x ≤ 44}.
  29. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 9, x ≤ 86}.
  30. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 6} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 5}. Care este mulțimea A ∩ B?
  31. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 9, x ≤ 70}.
  32. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 30}?
  33. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −5 ≤ 3x + 1 < 4}?
  34. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 4, x ≤ 33}.
  35. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 60}?
  36. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 3, x ≤ 21}.
  37. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −4 ≤ 2x + 1 < 5}?
  38. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −1 ≤ 3x + 1 < 5}?
  39. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 72}?
  40. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 48}?
  41. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −4 ≤ 3x + 1 < 4}?
  42. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 3} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 8}. Care este mulțimea A ∩ B?
  43. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 4} și B = {x ∈ ℕ | x ≥ 7}. Care este mulțimea A ∩ B?
  44. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 8, x ≤ 69}.
  45. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 3, x ≤ 25}.
  46. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 9, x ≤ 43}.
  47. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | −5 ≤ 2x + 1 < 6}?
  48. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 2}?
  49. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x este divizor al lui 36}?
  50. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | x este număr prim, x < 20}?
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 7 — |x| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3. Elementele sunt −3, …, 0, …, 3: 7 elemente.
  2. 315 — A = {0, 7, 14, …, 63}. Suma = 7·(0 + 1 + … + 9) = 7·45 = 315.
  3. 8 — Mulțimea conține divizorii lui 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Sunt 8.
  4. 11 — |x| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ x ≤ 5. Elementele sunt −5, …, 0, …, 5: 11 elemente.
  5. 4 — Din −4 ≤ 2x + 1 < 4 obținem −5 ≤ 2x < 3. Valorile întregi: {−2, −1, 0, 1}, deci 4 elemente.
  6. 5 — Din −5 ≤ 2x + 1 < 4 obținem −6 ≤ 2x < 3. Valorile întregi: {−3, −2, −1, 0, 1}, deci 5 elemente.
  7. ∅ — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 8. Elementele comune: ∅.
  8. 13 — |x| ≤ 6 ⇔ −6 ≤ x ≤ 6. Elementele sunt −6, …, 0, …, 6: 13 elemente.
  9. 135 — A = {0, 3, 6, …, 27}. Suma = 3·(0 + 1 + … + 9) = 3·45 = 135.
  10. {2, 3} — A = {0, 1, 2, 3}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 2. Elementele comune: {2, 3}.
  11. 324 — A = {0, 9, 18, …, 72}. Suma = 9·(0 + 1 + … + 8) = 9·36 = 324.
  12. 9 — |x| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4. Elementele sunt −4, …, 0, …, 4: 9 elemente.
  13. {2, 3, 4} — A = {0, 1, 2, 3, 4}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 2. Elementele comune: {2, 3, 4}.
  14. 2 — Din −2 ≤ 3x + 1 < 4 obținem −3 ≤ 3x < 3. Valorile întregi: {−1, 0}, deci 2 elemente.
  15. 252 — A = {0, 7, 14, …, 56}. Suma = 7·(0 + 1 + … + 8) = 7·36 = 252.
  16. ∅ — A = {0, 1, 2}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 6. Elementele comune: ∅.
  17. ∅ — A = {0, 1, 2, 3, 4}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 8. Elementele comune: ∅.
  18. {2} — A = {0, 1, 2}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 2. Elementele comune: {2}.
  19. 324 — A = {0, 9, 18, …, 72}. Suma = 9·(0 + 1 + … + 8) = 9·36 = 324.
  20. 189 — A = {0, 9, 18, …, 54}. Suma = 9·(0 + 1 + … + 6) = 9·21 = 189.
  21. 6 — Mulțimea conține divizorii lui 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Sunt 6.
  22. 3 — Din −4 ≤ 2x + 1 < 2 obținem −5 ≤ 2x < 1. Valorile întregi: {−2, −1, 0}, deci 3 elemente.
  23. ∅ — A = {0, 1, 2, 3}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 4. Elementele comune: ∅.
  24. 3 — Din −1 ≤ 2x + 1 < 5 obținem −2 ≤ 2x < 4. Valorile întregi: {−1, 0, 1}, deci 3 elemente.
  25. 6 — Mulțimea conține divizorii lui 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Sunt 6.
  26. 225 — A = {0, 5, 10, …, 45}. Suma = 5·(0 + 1 + … + 9) = 5·45 = 225.
  27. 6 — Mulțimea conține divizorii lui 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Sunt 6.
  28. 120 — A = {0, 8, 16, …, 40}. Suma = 8·(0 + 1 + … + 5) = 8·15 = 120.
  29. 405 — A = {0, 9, 18, …, 81}. Suma = 9·(0 + 1 + … + 9) = 9·45 = 405.
  30. {5} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 5. Elementele comune: {5}.
  31. 252 — A = {0, 9, 18, …, 63}. Suma = 9·(0 + 1 + … + 7) = 9·28 = 252.
  32. 8 — Mulțimea conține divizorii lui 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Sunt 8.
  33. 3 — Din −5 ≤ 3x + 1 < 4 obținem −6 ≤ 3x < 3. Valorile întregi: {−2, −1, 0}, deci 3 elemente.
  34. 144 — A = {0, 4, 8, …, 32}. Suma = 4·(0 + 1 + … + 8) = 4·36 = 144.
  35. 12 — Mulțimea conține divizorii lui 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Sunt 12.
  36. 84 — A = {0, 3, 6, …, 21}. Suma = 3·(0 + 1 + … + 7) = 3·28 = 84.
  37. 4 — Din −4 ≤ 2x + 1 < 5 obținem −5 ≤ 2x < 4. Valorile întregi: {−2, −1, 0, 1}, deci 4 elemente.
  38. 2 — Din −1 ≤ 3x + 1 < 5 obținem −2 ≤ 3x < 4. Valorile întregi: {0, 1}, deci 2 elemente.
  39. 12 — Mulțimea conține divizorii lui 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Sunt 12.
  40. 10 — Mulțimea conține divizorii lui 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Sunt 10.
  41. 2 — Din −4 ≤ 3x + 1 < 4 obținem −5 ≤ 3x < 3. Valorile întregi: {−1, 0}, deci 2 elemente.
  42. ∅ — A = {0, 1, 2}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 8. Elementele comune: ∅.
  43. ∅ — A = {0, 1, 2, 3}, iar B conține toate numerele naturale cel puțin egale cu 7. Elementele comune: ∅.
  44. 288 — A = {0, 8, 16, …, 64}. Suma = 8·(0 + 1 + … + 8) = 8·36 = 288.
  45. 108 — A = {0, 3, 6, …, 24}. Suma = 3·(0 + 1 + … + 8) = 3·36 = 108.
  46. 90 — A = {0, 9, 18, …, 36}. Suma = 9·(0 + 1 + … + 4) = 9·10 = 90.
  47. 6 — Din −5 ≤ 2x + 1 < 6 obținem −6 ≤ 2x < 5. Valorile întregi: {−3, −2, −1, 0, 1, 2}, deci 6 elemente.
  48. 5 — |x| ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2. Elementele sunt −2, …, 0, …, 2: 5 elemente.
  49. 9 — Mulțimea conține divizorii lui 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Sunt 9.
  50. 8 — Numerele prime mai mici decât 20 sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Sunt 8.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Fie A = {x ∈ ℕ | x ≤ 8} și B = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 4}. Care este mulțimea A ∖ B?
  2. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x este număr prim și x | 126}?
  3. Fie A = {x ∈ ℕ | x ≤ 6} și B = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 4}. Care este mulțimea A ∖ B?
  4. Fie A = {x ∈ ℕ | x ≤ 8} și B = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 2}. Care este mulțimea A ∖ B?
  5. Fie A = {x ∈ ℕ | x ≤ 8} și B = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 3}. Care este mulțimea A ∖ B?
  6. Câte elemente are mulțimea {x ∈ ℝ | 4 ≤ x ≤ 8}?
  7. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x este număr prim și x | 42}?
  8. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x este număr prim și x | 84}?
  9. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | x² ≤ 22}?
  10. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 30}?
  11. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | x² ≤ 9}?
  12. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 91}?
  13. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | x² ≤ 35}?
  14. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 78}?
  15. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 11}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 4} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 7 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  16. Câte elemente are mulțimea {x ∈ ℝ | 3 ≤ x ≤ 7}?
  17. Calculează suma elementelor mulțimii A = {x ∈ ℤ | −4 ≤ x ≤ 4}.
  18. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 13}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 9} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 2 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  19. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x < 27, x este multiplu de 2 sau de 4}?
  20. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 117}?
  21. Câte elemente are mulțimea {x ∈ ℝ | 6 ≤ x ≤ 10}?
  22. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 118}?
  23. Fie A = {x ∈ ℕ | x ≤ 11} și B = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 4}. Care este mulțimea A ∖ B?
  24. Câte elemente are mulțimea {x ∈ ℝ | 6 ≤ x ≤ 8}?
  25. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 127}?
  26. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 13}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 8} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 2 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  27. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x este număr prim și x | 105}?
  28. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 51}?
  29. Câte elemente are mulțimea {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 4}?
  30. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | x² ≤ 25}?
  31. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ* | x < 39, x este multiplu de 6 sau de 4}?
  32. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 9}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 7} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 6 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  33. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 130}?
  34. Fie A = {x ∈ ℕ | x ≤ 11} și B = {x ∈ ℕ | x este multiplu de 5}. Care este mulțimea A ∖ B?
  35. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | x² ≤ 13}?
  36. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 11}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 2} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 2 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  37. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 11}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 2} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 5 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  38. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 10}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 4} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 6 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  39. Câte elemente are mulțimea {x ∈ ℝ | 3 ≤ x ≤ 6}?
  40. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | x² ≤ 14}?
  41. Câte elemente are mulțimea {x ∈ ℝ | 4 ≤ x ≤ 7}?
  42. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x este număr prim și x | 110}?
  43. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | x² ≤ 30}?
  44. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 57}?
  45. Care este mulțimea A = {x ∈ ℕ | x este număr prim și x | 66}?
  46. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 12}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 4} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 7 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  47. Câte elemente are mulțimea {x ∈ ℝ | 5 ≤ x ≤ 7}?
  48. Fie A = {x ∈ ℕ | x < 12}, B = {x ∈ ℕ | x ≥ 4} și C = {x ∈ ℕ | x multiplu de 2 sau x < 2}. Care este A ∩ B ∩ C?
  49. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℤ | x² ≤ 28}?
  50. Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | √x ∈ ℕ, x ≤ 89}?
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. {1, 2, 3, 5, 6, 7} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, iar elementele lui A care sunt multipli de 4 sunt {0, 4, 8}. A ∖ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}.
  2. {2, 3, 7} — Divizorii primi ai lui 126 sunt 2, 3, 7.
  3. {1, 2, 3, 5, 6} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, iar elementele lui A care sunt multipli de 4 sunt {0, 4}. A ∖ B = {1, 2, 3, 5, 6}.
  4. {1, 3, 5, 7} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, iar elementele lui A care sunt multipli de 2 sunt {0, 2, 4, 6, 8}. A ∖ B = {1, 3, 5, 7}.
  5. {1, 2, 4, 5, 7, 8} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, iar elementele lui A care sunt multipli de 3 sunt {0, 3, 6}. A ∖ B = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
  6. o infinitate — Între oricare două numere reale distincte există o infinitate de numere reale. Mulțimea are infinit de multe elemente, nu doar cele 5 întregi.
  7. {2, 3, 7} — Divizorii primi ai lui 42 sunt 2, 3, 7.
  8. {2, 3, 7} — Divizorii primi ai lui 84 sunt 2, 3, 7.
  9. 9 — x² ≤ 22 ⇔ |x| ≤ √22, adică |x| ≤ 4 (întreg). Elementele sunt de la −4 la 4: 9 elemente.
  10. 6 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 25. Sunt 6 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 5).
  11. 7 — x² ≤ 9 ⇔ |x| ≤ √9, adică |x| ≤ 3 (întreg). Elementele sunt de la −3 la 3: 7 elemente.
  12. 10 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 81. Sunt 10 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 9).
  13. 11 — x² ≤ 35 ⇔ |x| ≤ √35, adică |x| ≤ 5 (întreg). Elementele sunt de la −5 la 5: 11 elemente.
  14. 9 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 64. Sunt 9 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 8).
  15. {7} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; B are elementele ≥ 4; C conține multiplii lui 7 și pe 0, 1. Intersecția: {7}.
  16. o infinitate — Între oricare două numere reale distincte există o infinitate de numere reale. Mulțimea are infinit de multe elemente, nu doar cele 5 întregi.
  17. 0 — Termenii de la −4 la 4 se reduc în perechi. Rămân: nimic. Suma = 0.
  18. {10, 12} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; B are elementele ≥ 9; C conține multiplii lui 2 și pe 0, 1. Intersecția: {10, 12}.
  19. 13 — Se numără multiplii lui 2 (13) și ai lui 4 (6) mai mici decât 27, apoi se scad cei comuni (multiplii lui 4): 13 + 6 − 6 = 13.
  20. 11 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 100. Sunt 11 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 10).
  21. o infinitate — Între oricare două numere reale distincte există o infinitate de numere reale. Mulțimea are infinit de multe elemente, nu doar cele 5 întregi.
  22. 11 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 100. Sunt 11 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 10).
  23. {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, iar elementele lui A care sunt multipli de 4 sunt {0, 4, 8}. A ∖ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11}.
  24. o infinitate — Între oricare două numere reale distincte există o infinitate de numere reale. Mulțimea are infinit de multe elemente, nu doar cele 3 întregi.
  25. 12 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 121. Sunt 12 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 11).
  26. {8, 10, 12} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; B are elementele ≥ 8; C conține multiplii lui 2 și pe 0, 1. Intersecția: {8, 10, 12}.
  27. {3, 5, 7} — Divizorii primi ai lui 105 sunt 3, 5, 7.
  28. 8 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 49. Sunt 8 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 7).
  29. o infinitate — Între oricare două numere reale distincte există o infinitate de numere reale. Mulțimea are infinit de multe elemente, nu doar cele 3 întregi.
  30. 11 — x² ≤ 25 ⇔ |x| ≤ √25, adică |x| ≤ 5 (întreg). Elementele sunt de la −5 la 5: 11 elemente.
  31. 12 — Se numără multiplii lui 6 (6) și ai lui 4 (9) mai mici decât 39, apoi se scad cei comuni (multiplii lui 12): 6 + 9 − 3 = 12.
  32. ∅ — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; B are elementele ≥ 7; C conține multiplii lui 6 și pe 0, 1. Intersecția: ∅.
  33. 12 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 121. Sunt 12 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 11).
  34. {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, iar elementele lui A care sunt multipli de 5 sunt {0, 5, 10}. A ∖ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11}.
  35. 7 — x² ≤ 13 ⇔ |x| ≤ √13, adică |x| ≤ 3 (întreg). Elementele sunt de la −3 la 3: 7 elemente.
  36. {2, 4, 6, 8, 10} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; B are elementele ≥ 2; C conține multiplii lui 2 și pe 0, 1. Intersecția: {2, 4, 6, 8, 10}.
  37. {5, 10} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; B are elementele ≥ 2; C conține multiplii lui 5 și pe 0, 1. Intersecția: {5, 10}.
  38. {6} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; B are elementele ≥ 4; C conține multiplii lui 6 și pe 0, 1. Intersecția: {6}.
  39. o infinitate — Între oricare două numere reale distincte există o infinitate de numere reale. Mulțimea are infinit de multe elemente, nu doar cele 4 întregi.
  40. 7 — x² ≤ 14 ⇔ |x| ≤ √14, adică |x| ≤ 3 (întreg). Elementele sunt de la −3 la 3: 7 elemente.
  41. o infinitate — Între oricare două numere reale distincte există o infinitate de numere reale. Mulțimea are infinit de multe elemente, nu doar cele 4 întregi.
  42. {2, 5, 11} — Divizorii primi ai lui 110 sunt 2, 5, 11.
  43. 11 — x² ≤ 30 ⇔ |x| ≤ √30, adică |x| ≤ 5 (întreg). Elementele sunt de la −5 la 5: 11 elemente.
  44. 8 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 49. Sunt 8 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 7).
  45. {2, 3, 11} — Divizorii primi ai lui 66 sunt 2, 3, 11.
  46. {7} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}; B are elementele ≥ 4; C conține multiplii lui 7 și pe 0, 1. Intersecția: {7}.
  47. o infinitate — Între oricare două numere reale distincte există o infinitate de numere reale. Mulțimea are infinit de multe elemente, nu doar cele 3 întregi.
  48. {4, 6, 8, 10} — A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}; B are elementele ≥ 4; C conține multiplii lui 2 și pe 0, 1. Intersecția: {4, 6, 8, 10}.
  49. 11 — x² ≤ 28 ⇔ |x| ≤ √28, adică |x| ≤ 5 (întreg). Elementele sunt de la −5 la 5: 11 elemente.
  50. 10 — √x ∈ ℕ înseamnă că x este pătrat perfect: 0, 1, 4, …, 81. Sunt 10 elemente (k² cu k = 0, 1, …, 9).

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a