Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Plane perpendiculare. Secțiuni diagonale și axiale

Plane perpendiculare. Secțiuni diagonale și axiale

Planele perpendiculare, criteriul de perpendicularitate, secțiuni diagonale în prisme și paralelipipede, secțiuni axiale în cilindru, con și trunchi.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Plane perpendiculare

Două plane secante sunt perpendiculare dacă unghiul lor diedru este drept (90°).

Criteriu. Dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe al doilea plan, atunci planele sunt perpendiculare.
AA′BB′CC′DD′

Fețele alăturate ale cubului sunt perpendiculare: BB′ ⟂ (ABC) și BB′ ⊂ (BCC′)

AA′BB′CC′DD′

Secțiunea diagonală ACC′A′ este dreptunghi

Secțiuni diagonale și axiale

cub, secțiunea diagonală ACC′A′: l × l√2   aria = l²√2
cilindru: A = 2r·h   con: A = r·h
Exemplul 1. Un cub are muchia 6 cm. Află perimetrul și aria secțiunii diagonale ACC′A′.
Metoda 1 (cu dimensiunile). AC = 6√2, AA′ = 6. P = 2(6 + 6√2) = 12 + 12√2 cm. A = 6·6√2 = 36√2 cm².
Metoda 2 (cu diagonalele). Dreptunghiul are diagonala AC′ = 6√3: AC² + CC′² = 72 + 36 = 108 ✓ (verificare).
Exemplul 2. Un con circular drept are raza 6 cm și înălțimea 8 cm. Află perimetrul și aria secțiunii axiale.
Metoda 1 (cu generatoarea). g = 10. Triunghiul axial are baza 12 și laturile 10, 10: P = 32 cm. Aria = 12·8/2 = 48 cm².
Metoda 2 (cu formula). A = r·h = 6·8 = 48 cm²; P = 2g + 2r = 20 + 12 = 32 cm.
Exemplul 3. Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu diagonala 8√2 cm. Află raza și înălțimea.
Rezolvare. Pătratul are latura 8 (d = l√2). Atunci 2r = 8 ⇒ r = 4 cm și h = 8 cm.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Secțiunea diagonală a unui paralelipiped dreptunghic (ca ACC′A′) este:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) un dreptunghi  ·  B) un pătrat în orice caz  ·  C) un triunghi  ·  D) un trapez  ·  E) un paralelogram oarecare
  2. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este:O′OA′B′AB
    Variante: A) un triunghi  ·  B) un trapez  ·  C) un cerc  ·  D) un dreptunghi  ·  E) un pătrat în orice caz
  3. Două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține:
    Variante: A) două drepte paralele  ·  B) un punct al celuilalt plan  ·  C) o dreaptă oarecare a celuilalt plan  ·  D) o dreaptă paralelă cu celălalt plan  ·  E) o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan
  4. Secțiunea axială a unui trunchi de con circular drept este:O′OABA′B′
    Variante: A) un triunghi isoscel  ·  B) un trapez isoscel  ·  C) un paralelogram  ·  D) un dreptunghi  ·  E) un cerc
  5. Secțiunea axială a unui con circular drept este:VOAB
    Variante: A) un triunghi dreptunghic în orice caz  ·  B) un dreptunghi  ·  C) un triunghi isoscel  ·  D) un cerc  ·  E) un trapez
  6. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 2 cm, AA′ = 10 cm), planele (ABC) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) paralele  ·  C) perpendiculare  ·  D) secante oblice  ·  E) confundate
  7. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 8 cm, AA′ = 4 cm), planele (CDD′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) secante oblice  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) confundate  ·  D) perpendiculare  ·  E) paralele
  8. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 10 cm, AA′ = 4 cm), planele (BCC′) și (ABC) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) secante oblice  ·  C) perpendiculare  ·  D) nu se poate preciza  ·  E) paralele
  9. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 2 cm, AA′ = 3 cm), planele (BCC′) și (A′B′C′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) secante oblice  ·  C) perpendiculare  ·  D) nu se poate preciza  ·  E) paralele
  10. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 9 cm, AA′ = 8 cm), planele (ABB′) și (A′B′C′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) paralele  ·  B) confundate  ·  C) perpendiculare  ·  D) nu se poate preciza  ·  E) secante oblice
  11. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 7 cm, AA′ = 4 cm), planele (ABB′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) secante oblice  ·  C) confundate  ·  D) nu se poate preciza  ·  E) paralele
  12. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 5 cm, AA′ = 4 cm), planele (A′B′C′) și (DAA′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) perpendiculare
  13. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 3 cm, AA′ = 6 cm), planele (DAA′) și (ABB′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) perpendiculare  ·  D) secante oblice  ·  E) paralele
  14. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 7 cm, BC = 8 cm, AA′ = 3 cm), planele (ABC) și (ABB′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) paralele  ·  C) nu se poate preciza  ·  D) perpendiculare  ·  E) secante oblice
  15. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 10 cm, AA′ = 8 cm), planele (A′B′C′) și (ABB′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) confundate  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) perpendiculare
  16. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 7 cm, AA′ = 4 cm), planele (ABC) și (CDD′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) paralele  ·  C) perpendiculare  ·  D) secante oblice  ·  E) confundate
  17. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 6 cm, AA′ = 5 cm), planele (CDD′) și (A′B′C′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) secante oblice  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) perpendiculare  ·  D) paralele  ·  E) confundate
  18. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 10 cm, AA′ = 4 cm), planele (A′B′C′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) perpendiculare
  19. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 5 cm, AA′ = 10 cm), planele (ABC) și (DAA′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) secante oblice  ·  C) paralele  ·  D) confundate  ·  E) nu se poate preciza
  20. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 4 cm, AA′ = 3 cm), planele (A′B′C′) și (DAA′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) secante oblice  ·  B) confundate  ·  C) paralele  ·  D) perpendiculare  ·  E) nu se poate preciza
  21. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 5 cm, AA′ = 9 cm), planele (A′B′C′) și (CDD′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) secante oblice  ·  C) perpendiculare  ·  D) nu se poate preciza  ·  E) paralele
  22. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 7 cm, BC = 8 cm, AA′ = 10 cm), planele (ABB′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) paralele  ·  C) nu se poate preciza  ·  D) secante oblice  ·  E) confundate
  23. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 2 cm, AA′ = 10 cm), planele (BCC′) și (ABC) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) perpendiculare  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) nu se poate preciza
  24. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 9 cm, AA′ = 4 cm), planele (CDD′) și (DAA′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) perpendiculare  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) nu se poate preciza
  25. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 2 cm, AA′ = 8 cm), planele (ABB′) și (ABC) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) secante oblice  ·  B) paralele  ·  C) nu se poate preciza  ·  D) perpendiculare  ·  E) confundate
  26. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 10 cm, AA′ = 5 cm), planele (ABC) și (ABB′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) paralele  ·  C) perpendiculare  ·  D) secante oblice  ·  E) nu se poate preciza
  27. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 2 cm, AA′ = 10 cm), planele (A′B′C′) și (DAA′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) paralele  ·  D) perpendiculare  ·  E) secante oblice
  28. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 9 cm, AA′ = 7 cm), planele (DAA′) și (ABC) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) perpendiculare  ·  D) paralele  ·  E) secante oblice
  29. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 9 cm, AA′ = 4 cm), planele (A′B′C′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) paralele  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) perpendiculare  ·  D) confundate  ·  E) secante oblice
  30. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 4 cm, AA′ = 7 cm), planele (DAA′) și (ABB′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) paralele  ·  B) secante oblice  ·  C) nu se poate preciza  ·  D) confundate  ·  E) perpendiculare
  31. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 3 cm, AA′ = 9 cm), planele (ABB′) și (ABC) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) confundate  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) nu se poate preciza
  32. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 4 cm, AA′ = 6 cm), planele (A′B′C′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) secante oblice  ·  C) perpendiculare  ·  D) paralele  ·  E) confundate
  33. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 9 cm, AA′ = 3 cm), planele (ABB′) și (DAA′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) paralele  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) perpendiculare  ·  D) secante oblice  ·  E) confundate
  34. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 9 cm, AA′ = 5 cm), planele (A′B′C′) și (DAA′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) confundate  ·  C) secante oblice  ·  D) paralele  ·  E) nu se poate preciza
  35. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 3 cm, AA′ = 7 cm), planele (CDD′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) secante oblice  ·  C) confundate  ·  D) paralele  ·  E) perpendiculare
  36. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 10 cm, AA′ = 6 cm), planele (ABB′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) secante oblice  ·  C) nu se poate preciza  ·  D) perpendiculare  ·  E) paralele
  37. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 4 cm, AA′ = 2 cm), planele (CDD′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) perpendiculare  ·  C) secante oblice  ·  D) confundate  ·  E) paralele
  38. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 5 cm, AA′ = 10 cm), planele (BCC′) și (CDD′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) secante oblice  ·  C) paralele  ·  D) confundate  ·  E) nu se poate preciza
  39. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 2 cm, AA′ = 6 cm), planele (A′B′C′) și (ABB′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) confundate
  40. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 2 cm, AA′ = 6 cm), planele (ABC) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) secante oblice  ·  B) nu se poate preciza  ·  C) perpendiculare  ·  D) paralele  ·  E) confundate
  41. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 6 cm, AA′ = 2 cm), planele (CDD′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) confundate  ·  C) secante oblice  ·  D) paralele  ·  E) nu se poate preciza
  42. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 5 cm, AA′ = 10 cm), planele (ABB′) și (A′B′C′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) confundate  ·  C) perpendiculare  ·  D) paralele  ·  E) secante oblice
  43. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 10 cm, AA′ = 9 cm), planele (DAA′) și (CDD′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) paralele  ·  C) perpendiculare  ·  D) nu se poate preciza  ·  E) secante oblice
  44. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 7 cm, AA′ = 3 cm), planele (A′B′C′) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) secante oblice  ·  C) paralele  ·  D) perpendiculare  ·  E) nu se poate preciza
  45. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 10 cm, AA′ = 8 cm), planele (ABB′) și (DAA′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) confundate  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) nu se poate preciza
  46. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 4 cm, AA′ = 5 cm), planele (BCC′) și (ABC) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) paralele  ·  B) perpendiculare  ·  C) confundate  ·  D) nu se poate preciza  ·  E) secante oblice
  47. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 2 cm, AA′ = 5 cm), planele (DAA′) și (CDD′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) confundate  ·  B) secante oblice  ·  C) paralele  ·  D) perpendiculare  ·  E) nu se poate preciza
  48. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 7 cm, AA′ = 2 cm), planele (ABC) și (BCC′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) confundate  ·  C) paralele  ·  D) nu se poate preciza  ·  E) secante oblice
  49. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 2 cm, AA′ = 3 cm), planele (A′B′C′) și (CDD′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) confundate  ·  C) paralele  ·  D) secante oblice  ·  E) nu se poate preciza
  50. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 9 cm, AA′ = 5 cm), planele (BCC′) și (ABC) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) perpendiculare  ·  C) paralele  ·  D) confundate  ·  E) secante oblice
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. un dreptunghi — AA′ ⟂ AC, deci ACC′A′ este paralelogram cu un unghi drept: dreptunghi.
  2. un dreptunghi — Planul axial conține axa; taie cilindrul după un dreptunghi cu laturile 2r și h.
  3. o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan — Criteriul de perpendicularitate a planelor: α ⟂ β dacă α conține o dreaptă perpendiculară pe β.
  4. un trapez isoscel — Planul axial taie bazele după diametre paralele, iar generatoarele sunt egale.
  5. un triunghi isoscel — Planul axial conține vârful și un diametru al bazei; laturile VA și VB sunt generatoare egale.
  6. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  7. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  8. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  9. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  10. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  11. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  12. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  13. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  14. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  15. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  16. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  17. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  18. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  19. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  20. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  21. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  22. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  23. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  24. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  25. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  26. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  27. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  28. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  29. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  30. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  31. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  32. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  33. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  34. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  35. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  36. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  37. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  38. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  39. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  40. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  41. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  42. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  43. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  44. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  45. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  46. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  47. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  48. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  49. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).
  50. perpendiculare — Fețele alăturate ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare (conțin o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan).

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 5 cm, AA′ = 9 cm) sunt perpendiculare pe planul (A′B′C′)?AA′BB′CC′DD′
  2. Perimetrul secțiunii diagonale ACC′A′ a cubului cu muchia 2 cm este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8√2  ·  B) 4 + 4√2  ·  C) 8  ·  D) 4√2  ·  E) 2 + 2√2
  3. Un con circular drept are raza bazei 12 cm și înălțimea 16 cm. Perimetrul secțiunii axiale este (cm):VOAB
    Variante: A) 52  ·  B) 56  ·  C) 64  ·  D) 44  ·  E) 48
  4. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 6 cm, AA′ = 9 cm) sunt perpendiculare pe planul (A′B′C′)?AA′BB′CC′DD′
  5. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 9 cm, AA′ = 5 cm), diagonala bazei AC are lungimea (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √89  ·  B) √145  ·  C) √106  ·  D) √170  ·  E) 17
  6. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 3 cm, AA′ = 10 cm) sunt perpendiculare pe planul (BCC′)?AA′BB′CC′DD′
  7. Conul circular drept are raza bazei 20 cm și înălțimea 21 cm. Aria secțiunii axiale este (cm²):VOAB
    Variante: A) 420  ·  B) 421  ·  C) 580  ·  D) 840  ·  E) 210
  8. Conul circular drept are raza bazei 9 cm și înălțimea 12 cm. Aria secțiunii axiale este (cm²):VOAB
    Variante: A) 216  ·  B) 108  ·  C) 54  ·  D) 109  ·  E) 135
  9. Conul circular drept are raza bazei 5 cm și înălțimea 12 cm. Aria secțiunii axiale este (cm²):VOAB
    Variante: A) 60  ·  B) 30  ·  C) 65  ·  D) 61  ·  E) 120
  10. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 3 cm, AA′ = 8 cm) sunt perpendiculare pe planul (A′B′C′)?AA′BB′CC′DD′
  11. Conul circular drept are raza bazei 3 cm și înălțimea 4 cm. Aria secțiunii axiale este (cm²):VOAB
    Variante: A) 6  ·  B) 15  ·  C) 12  ·  D) 24  ·  E) 13
  12. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept cu raza 3 cm și înălțimea 12 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 3 și 12  ·  B) 6 și 24  ·  C) 9 și 12  ·  D) 3 și 24  ·  E) 6 și 12
  13. Conul circular drept are raza bazei 8 cm și înălțimea 15 cm. Aria secțiunii axiale este (cm²):VOAB
    Variante: A) 136  ·  B) 60  ·  C) 121  ·  D) 240  ·  E) 120
  14. Perimetrul secțiunii diagonale ACC′A′ a cubului cu muchia 12 cm este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 48√2  ·  B) 24√2  ·  C) 24 + 24√2  ·  D) 12 + 12√2  ·  E) 48
  15. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 4 cm, AA′ = 7 cm), diagonala bazei AC are lungimea (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √41  ·  B) 3√10  ·  C) √74  ·  D) √65  ·  E) 9
  16. Secțiunea diagonală ACC′A′ a unui cub cu muchia 4 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 4 și 4  ·  B) 4 și 4√3  ·  C) 4√2 și 4√2  ·  D) 4 și 4√2  ·  E) 8 și 4
  17. Perimetrul secțiunii diagonale ACC′A′ a cubului cu muchia 10 cm este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10 + 10√2  ·  B) 40√2  ·  C) 20 + 20√2  ·  D) 20√2  ·  E) 40
  18. Aria secțiunii axiale a unui cilindru circular drept cu raza 7 cm și înălțimea 2 cm este (cm²):O′OA′B′AB
    Variante: A) 16  ·  B) 28  ·  C) 14  ·  D) 56  ·  E) 98
  19. Perimetrul secțiunii diagonale ACC′A′ a cubului cu muchia 4 cm este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 4 + 4√2  ·  B) 16  ·  C) 8 + 8√2  ·  D) 8√2  ·  E) 16√2
  20. Aria secțiunii axiale a unui cilindru circular drept cu raza 6 cm și înălțimea 12 cm este (cm²):O′OA′B′AB
    Variante: A) 24  ·  B) 72  ·  C) 432  ·  D) 288  ·  E) 144
  21. Perimetrul secțiunii diagonale ACC′A′ a cubului cu muchia 5 cm este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5 + 5√2  ·  B) 10 + 10√2  ·  C) 20  ·  D) 10√2  ·  E) 20√2
  22. Un con circular drept are raza bazei 10 cm și înălțimea 24 cm. Perimetrul secțiunii axiale este (cm):VOAB
    Variante: A) 72  ·  B) 46  ·  C) 62  ·  D) 60  ·  E) 68
  23. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 4 cm, AA′ = 6 cm) sunt perpendiculare pe planul (BCC′)?AA′BB′CC′DD′
  24. Un con circular drept are raza bazei 5 cm și înălțimea 12 cm. Perimetrul secțiunii axiale este (cm):VOAB
    Variante: A) 31  ·  B) 30  ·  C) 36  ·  D) 23  ·  E) 34
  25. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 7 cm, AA′ = 6 cm) sunt perpendiculare pe planul (A′B′C′)?AA′BB′CC′DD′
  26. Secțiunea diagonală ACC′A′ a unui cub cu muchia 6 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 6 și 6  ·  B) 6√2 și 6√2  ·  C) 6 și 6√2  ·  D) 6 și 6√3  ·  E) 12 și 6
  27. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 10 cm, AA′ = 4 cm) sunt perpendiculare pe planul (ABB′)?AA′BB′CC′DD′
  28. Secțiunea diagonală ACC′A′ a unui cub cu muchia 5 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 5√2 și 5√2  ·  B) 5 și 5√3  ·  C) 5 și 5  ·  D) 5 și 5√2  ·  E) 10 și 5
  29. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 8 cm, BC = 5 cm, AA′ = 4 cm), diagonala bazei AC are lungimea (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √105  ·  B) √41  ·  C) 4√5  ·  D) √89  ·  E) 13
  30. Aria secțiunii axiale a unui cilindru circular drept cu raza 7 cm și înălțimea 12 cm este (cm²):O′OA′B′AB
    Variante: A) 168  ·  B) 26  ·  C) 84  ·  D) 588  ·  E) 336
  31. Un con circular drept are raza bazei 15 cm și înălțimea 20 cm. Perimetrul secțiunii axiale este (cm):VOAB
    Variante: A) 80  ·  B) 65  ·  C) 60  ·  D) 70  ·  E) 55
  32. Perimetrul secțiunii diagonale ACC′A′ a cubului cu muchia 11 cm este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 22√2  ·  B) 44  ·  C) 22 + 22√2  ·  D) 44√2  ·  E) 11 + 11√2
  33. Conul circular drept are raza bazei 7 cm și înălțimea 24 cm. Aria secțiunii axiale este (cm²):VOAB
    Variante: A) 168  ·  B) 169  ·  C) 336  ·  D) 84  ·  E) 175
  34. Secțiunea diagonală ACC′A′ a unui cub cu muchia 11 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 22 și 11  ·  B) 11 și 11√3  ·  C) 11 și 11  ·  D) 11√2 și 11√2  ·  E) 11 și 11√2
  35. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept cu raza 4 cm și înălțimea 3 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 16 și 3  ·  B) 8 și 3  ·  C) 4 și 6  ·  D) 4 și 3  ·  E) 8 și 6
  36. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 5 cm, BC = 8 cm, AA′ = 7 cm), diagonala bazei AC are lungimea (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √138  ·  B) √74  ·  C) √113  ·  D) 13  ·  E) √89
  37. Secțiunea diagonală ACC′A′ a unui cub cu muchia 12 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12√2 și 12√2  ·  B) 24 și 12  ·  C) 12 și 12√3  ·  D) 12 și 12  ·  E) 12 și 12√2
  38. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept cu raza 4 cm și înălțimea 6 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 16 și 6  ·  B) 4 și 6  ·  C) 8 și 6  ·  D) 8 și 12  ·  E) 4 și 12
  39. Aria secțiunii axiale a unui cilindru circular drept cu raza 5 cm și înălțimea 9 cm este (cm²):O′OA′B′AB
    Variante: A) 19  ·  B) 180  ·  C) 225  ·  D) 45  ·  E) 90
  40. Perimetrul secțiunii diagonale ACC′A′ a cubului cu muchia 6 cm este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12 + 12√2  ·  B) 6 + 6√2  ·  C) 24√2  ·  D) 12√2  ·  E) 24
  41. Aria secțiunii axiale a unui cilindru circular drept cu raza 6 cm și înălțimea 2 cm este (cm²):O′OA′B′AB
    Variante: A) 12  ·  B) 24  ·  C) 48  ·  D) 72  ·  E) 14
  42. Aria secțiunii axiale a unui cilindru circular drept cu raza 6 cm și înălțimea 10 cm este (cm²):O′OA′B′AB
    Variante: A) 22  ·  B) 240  ·  C) 360  ·  D) 60  ·  E) 120
  43. Aria secțiunii axiale a unui cilindru circular drept cu raza 8 cm și înălțimea 2 cm este (cm²):O′OA′B′AB
    Variante: A) 32  ·  B) 16  ·  C) 128  ·  D) 64  ·  E) 18
  44. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 4 cm, AA′ = 3 cm), diagonala bazei AC are lungimea (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 14  ·  B) 5√5  ·  C) √109  ·  D) 2√29  ·  E) 5
  45. Perimetrul secțiunii diagonale ACC′A′ a cubului cu muchia 8 cm este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8 + 8√2  ·  B) 32√2  ·  C) 16 + 16√2  ·  D) 32  ·  E) 16√2
  46. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 9 cm, AA′ = 5 cm) sunt perpendiculare pe planul (CDD′)?AA′BB′CC′DD′
  47. Câte plane ale fețelor paralelipipedului dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 4 cm, BC = 10 cm, AA′ = 6 cm) sunt perpendiculare pe planul (BCC′)?AA′BB′CC′DD′
  48. Un con circular drept are raza bazei 6 cm și înălțimea 8 cm. Perimetrul secțiunii axiale este (cm):VOAB
    Variante: A) 22  ·  B) 32  ·  C) 24  ·  D) 28  ·  E) 26
  49. Conul circular drept are raza bazei 15 cm și înălțimea 20 cm. Aria secțiunii axiale este (cm²):VOAB
    Variante: A) 375  ·  B) 150  ·  C) 300  ·  D) 600  ·  E) 301
  50. Secțiunea diagonală ACC′A′ a unui cub cu muchia 10 cm este un dreptunghi cu dimensiunile (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10 și 10√2  ·  B) 10√2 și 10√2  ·  C) 10 și 10  ·  D) 20 și 10  ·  E) 10 și 10√3
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  2. 4 + 4√2 — P = 2(AA′ + AC) = 2(2 + 2√2) = 4 + 4√2.
  3. 64 — Triunghiul axial are baza 2r = 24 și laturile egale cu g = 20: P = 2·20 + 24 = 64.
  4. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  5. √145 — AC² = AB² + BC² = 64 + 81 = 145.
  6. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  7. 420 — A = (2r·h)/2 = r·h = 20·21 = 420 cm².
  8. 108 — A = (2r·h)/2 = r·h = 9·12 = 108 cm².
  9. 60 — A = (2r·h)/2 = r·h = 5·12 = 60 cm².
  10. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  11. 12 — A = (2r·h)/2 = r·h = 3·4 = 12 cm².
  12. 6 și 12 — Dimensiunile sunt diametrul bazei 2r și generatoarea h.
  13. 120 — A = (2r·h)/2 = r·h = 8·15 = 120 cm².
  14. 24 + 24√2 — P = 2(AA′ + AC) = 2(12 + 12√2) = 24 + 24√2.
  15. √41 — AC² = AB² + BC² = 25 + 16 = 41.
  16. 4 și 4√2 — AA′ = 4 și AC = 4√2 (diagonală de pătrat).
  17. 20 + 20√2 — P = 2(AA′ + AC) = 2(10 + 10√2) = 20 + 20√2.
  18. 28 — A = 2r·h = 14·2 = 28 cm².
  19. 8 + 8√2 — P = 2(AA′ + AC) = 2(4 + 4√2) = 8 + 8√2.
  20. 144 — A = 2r·h = 12·12 = 144 cm².
  21. 10 + 10√2 — P = 2(AA′ + AC) = 2(5 + 5√2) = 10 + 10√2.
  22. 72 — Triunghiul axial are baza 2r = 20 și laturile egale cu g = 26: P = 2·26 + 20 = 72.
  23. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  24. 36 — Triunghiul axial are baza 2r = 10 și laturile egale cu g = 13: P = 2·13 + 10 = 36.
  25. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  26. 6 și 6√2 — AA′ = 6 și AC = 6√2 (diagonală de pătrat).
  27. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  28. 5 și 5√2 — AA′ = 5 și AC = 5√2 (diagonală de pătrat).
  29. √89 — AC² = AB² + BC² = 64 + 25 = 89.
  30. 168 — A = 2r·h = 14·12 = 168 cm².
  31. 80 — Triunghiul axial are baza 2r = 30 și laturile egale cu g = 25: P = 2·25 + 30 = 80.
  32. 22 + 22√2 — P = 2(AA′ + AC) = 2(11 + 11√2) = 22 + 22√2.
  33. 168 — A = (2r·h)/2 = r·h = 7·24 = 168 cm².
  34. 11 și 11√2 — AA′ = 11 și AC = 11√2 (diagonală de pătrat).
  35. 8 și 3 — Dimensiunile sunt diametrul bazei 2r și generatoarea h.
  36. √89 — AC² = AB² + BC² = 25 + 64 = 89.
  37. 12 și 12√2 — AA′ = 12 și AC = 12√2 (diagonală de pătrat).
  38. 8 și 6 — Dimensiunile sunt diametrul bazei 2r și generatoarea h.
  39. 90 — A = 2r·h = 10·9 = 90 cm².
  40. 12 + 12√2 — P = 2(AA′ + AC) = 2(6 + 6√2) = 12 + 12√2.
  41. 24 — A = 2r·h = 12·2 = 24 cm².
  42. 120 — A = 2r·h = 12·10 = 120 cm².
  43. 32 — A = 2r·h = 16·2 = 32 cm².
  44. 2√29 — AC² = AB² + BC² = 100 + 16 = 116.
  45. 16 + 16√2 — P = 2(AA′ + AC) = 2(8 + 8√2) = 16 + 16√2.
  46. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  47. 4 — Cele 4 fețe care au o muchie comună cu fața dată sunt perpendiculare pe ea; fața opusă este paralelă.
  48. 32 — Triunghiul axial are baza 2r = 12 și laturile egale cu g = 10: P = 2·10 + 12 = 32.
  49. 300 — A = (2r·h)/2 = r·h = 15·20 = 300 cm².
  50. 10 și 10√2 — AA′ = 10 și AC = 10√2 (diagonală de pătrat).

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu aria 196 cm². Raza cilindrului este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 7  ·  B) 49  ·  C) 28  ·  D) 14  ·  E) 8
  2. Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu aria 324 cm². Raza cilindrului este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 10  ·  B) 18  ·  C) 36  ·  D) 81  ·  E) 9
  3. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 9 cm, AA′ = 10 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √190  ·  B) 3√10  ·  C) √109  ·  D) 22  ·  E) √290
  4. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu aria 25√3 cm². Raza bazei este (cm):VOAB
    Variante: A) 25  ·  B) 5√3  ·  C) 5  ·  D) 10  ·  E) 6
  5. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ a unui cub cu muchia 7 cm este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 98  ·  B) 49√2  ·  C) 49  ·  D) 49√3  ·  E) 14
  6. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu aria 36√3 cm². Raza bazei este (cm):VOAB
    Variante: A) 12  ·  B) 7  ·  C) 36  ·  D) 6  ·  E) 6√3
  7. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ a unui cub cu muchia 10 cm este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 100  ·  B) 20  ·  C) 100√3  ·  D) 100√2  ·  E) 200
  8. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 10 cm, AA′ = 3 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √199  ·  B) √181  ·  C) √190  ·  D) 3√10  ·  E) 22
  9. Într-un cub cu muchia 10 cm, secțiunea determinată de planul (BDD′B′) este un dreptunghi. Perimetrul său este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 40  ·  B) 40√2  ·  C) 20√2  ·  D) 20 + 20√2  ·  E) 10 + 10√2
  10. În cubul ABCDA′B′C′D′, planele (ABC) și (ADD′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) nu se poate preciza  ·  B) confundate  ·  C) secante oblice  ·  D) perpendiculare  ·  E) paralele
  11. Într-un cub cu muchia 3 cm, secțiunea determinată de planul (BDD′B′) este un dreptunghi. Perimetrul său este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 6√2  ·  C) 6 + 6√2  ·  D) 3 + 3√2  ·  E) 12√2
  12. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ a unui cub cu muchia 5 cm este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 50  ·  B) 25√2  ·  C) 25√3  ·  D) 25  ·  E) 10
  13. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 9 cm, BC = 2 cm, AA′ = 8 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √145  ·  B) 19  ·  C) √213  ·  D) √85  ·  E) √149
  14. Într-un cub cu muchia 4 cm, secțiunea determinată de planul (BDD′B′) este un dreptunghi. Perimetrul său este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 16√2  ·  B) 8√2  ·  C) 16  ·  D) 8 + 8√2  ·  E) 4 + 4√2
  15. Baza unui paralelipiped dreptunghic are laturile 9 cm și 12 cm, iar înălțimea este 7 cm. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 147  ·  B) 108  ·  C) 63  ·  D) 105  ·  E) 112
  16. Într-un cub cu muchia 9 cm, secțiunea determinată de planul (BDD′B′) este un dreptunghi. Perimetrul său este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 36√2  ·  B) 9 + 9√2  ·  C) 18 + 18√2  ·  D) 36  ·  E) 18√2
  17. Într-un cub cu muchia 5 cm, secțiunea determinată de planul (BDD′B′) este un dreptunghi. Perimetrul său este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 10√2  ·  B) 20  ·  C) 5 + 5√2  ·  D) 20√2  ·  E) 10 + 10√2
  18. În cubul ABCDA′B′C′D′, planele (ACC′) și (BDD′) sunt:AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) perpendiculare  ·  B) paralele  ·  C) nu se poate preciza  ·  D) secante oblice  ·  E) confundate
  19. Conul circular drept are secțiunea axială cu aria 108 cm² și perimetrul 48 cm. Atunci generatoarea este (cm):VOAB
    Variante: A) 30  ·  B) 16  ·  C) 12  ·  D) 9  ·  E) 15
  20. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 3 cm, BC = 5 cm, AA′ = 4 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √66  ·  B) 5√2  ·  C) 5  ·  D) 12  ·  E) √34
  21. Baza unui paralelipiped dreptunghic are laturile 3 cm și 4 cm, iar înălțimea este 5 cm. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 35  ·  C) 30  ·  D) 25  ·  E) 15
  22. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ a unui cub cu muchia 3 cm este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 9  ·  B) 9√2  ·  C) 9√3  ·  D) 6  ·  E) 18
  23. Baza unui paralelipiped dreptunghic are laturile 9 cm și 12 cm, iar înălțimea este 9 cm. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 135  ·  B) 189  ·  C) 144  ·  D) 81  ·  E) 108
  24. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ a unui cub cu muchia 8 cm este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 64√3  ·  B) 64√2  ·  C) 128  ·  D) 16  ·  E) 64
  25. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 7 cm, BC = 3 cm, AA′ = 5 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √58  ·  B) √74  ·  C) 6√3  ·  D) √83  ·  E) 15
  26. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu aria 49√3 cm². Raza bazei este (cm):VOAB
    Variante: A) 7√3  ·  B) 14  ·  C) 8  ·  D) 49  ·  E) 7
  27. Conul circular drept are secțiunea axială cu aria 60 cm² și perimetrul 36 cm. Atunci generatoarea este (cm):VOAB
    Variante: A) 13  ·  B) 12  ·  C) 26  ·  D) 14  ·  E) 5
  28. Conul circular drept are secțiunea axială cu aria 12 cm² și perimetrul 16 cm. Atunci generatoarea este (cm):VOAB
    Variante: A) 3  ·  B) 6  ·  C) 10  ·  D) 5  ·  E) 4
  29. Baza unui paralelipiped dreptunghic are laturile 3 cm și 4 cm, iar înălțimea este 6 cm. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 12  ·  B) 18  ·  C) 30  ·  D) 42  ·  E) 36
  30. Într-un cub cu muchia 2 cm, secțiunea determinată de planul (BDD′B′) este un dreptunghi. Perimetrul său este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 4√2  ·  B) 4 + 4√2  ·  C) 8√2  ·  D) 8  ·  E) 2 + 2√2
  31. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ a unui cub cu muchia 12 cm este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 144  ·  B) 288  ·  C) 24  ·  D) 144√3  ·  E) 144√2
  32. Într-un cub cu muchia 6 cm, secțiunea determinată de planul (BDD′B′) este un dreptunghi. Perimetrul său este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 24√2  ·  B) 12 + 12√2  ·  C) 24  ·  D) 6 + 6√2  ·  E) 12√2
  33. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu aria 9√3 cm². Raza bazei este (cm):VOAB
    Variante: A) 3  ·  B) 6  ·  C) 3√3  ·  D) 9  ·  E) 4
  34. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 7 cm, BC = 3 cm, AA′ = 10 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 20  ·  B) √58  ·  C) √158  ·  D) √258  ·  E) √149
  35. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 7 cm, BC = 8 cm, AA′ = 4 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √145  ·  B) √129  ·  C) √113  ·  D) √65  ·  E) 19
  36. Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu aria 256 cm². Raza cilindrului este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 9  ·  B) 8  ·  C) 64  ·  D) 16  ·  E) 32
  37. Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu aria 100 cm². Raza cilindrului este (cm):O′OA′B′AB
    Variante: A) 10  ·  B) 25  ·  C) 20  ·  D) 5  ·  E) 6
  38. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 4 cm, AA′ = 7 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √85  ·  B) 17  ·  C) 5√6  ·  D) 2√13  ·  E) √101
  39. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 6 cm, BC = 9 cm, AA′ = 10 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √317  ·  B) 25  ·  C) 3√13  ·  D) 2√34  ·  E) √217
  40. Conul circular drept are secțiunea axială cu aria 48 cm² și perimetrul 32 cm. Atunci generatoarea este (cm):VOAB
    Variante: A) 20  ·  B) 8  ·  C) 6  ·  D) 11  ·  E) 10
  41. Conul circular drept are secțiunea axială cu aria 192 cm² și perimetrul 64 cm. Atunci generatoarea este (cm):VOAB
    Variante: A) 20  ·  B) 16  ·  C) 12  ·  D) 21  ·  E) 40
  42. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu aria 81√3 cm². Raza bazei este (cm):VOAB
    Variante: A) 18  ·  B) 10  ·  C) 81  ·  D) 9  ·  E) 9√3
  43. Baza unui paralelipiped dreptunghic are laturile 5 cm și 12 cm, iar înălțimea este 9 cm. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 153  ·  B) 45  ·  C) 126  ·  D) 117  ·  E) 60
  44. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 2 cm, BC = 9 cm, AA′ = 4 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) √101  ·  B) 3√13  ·  C) 15  ·  D) √85  ·  E) 2√5
  45. Baza unui paralelipiped dreptunghic are laturile 5 cm și 12 cm, iar înălțimea este 6 cm. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 102  ·  B) 60  ·  C) 84  ·  D) 30  ·  E) 78
  46. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ a unui cub cu muchia 11 cm este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 242  ·  B) 121√3  ·  C) 22  ·  D) 121√2  ·  E) 121
  47. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ (AB = 10 cm, BC = 7 cm, AA′ = 8 cm), lungimea diagonalei secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 2√41  ·  B) √213  ·  C) √149  ·  D) √277  ·  E) 25
  48. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu aria 16√3 cm². Raza bazei este (cm):VOAB
    Variante: A) 5  ·  B) 16  ·  C) 8  ·  D) 4√3  ·  E) 4
  49. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ a unui cub cu muchia 4 cm este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 8  ·  B) 16√3  ·  C) 16  ·  D) 32  ·  E) 16√2
  50. Baza unui paralelipiped dreptunghic are laturile 6 cm și 8 cm, iar înălțimea este 2 cm. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ este (cm²):AA′BB′CC′DD′
    Variante: A) 28  ·  B) 12  ·  C) 20  ·  D) 22  ·  E) 48
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 7 — Latura pătratului este 14 = 2r = h, deci r = 7 cm.
  2. 9 — Latura pătratului este 18 = 2r = h, deci r = 9 cm.
  3. √190 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(90) și CC′ = 10; diagonala AC′: AC′² = 90 + 100 = 190.
  4. 5 — Aria = l²√3/4 = 25√3 ⇒ l² = 100 ⇒ l = 10; baza triunghiului este 2r, deci r = 5 cm.
  5. 49√2 — ACC′A′ este dreptunghi 7 × 7√2: aria = 49√2 cm².
  6. 6 — Aria = l²√3/4 = 36√3 ⇒ l² = 144 ⇒ l = 12; baza triunghiului este 2r, deci r = 6 cm.
  7. 100√2 — ACC′A′ este dreptunghi 10 × 10√2: aria = 100√2 cm².
  8. √190 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(181) și CC′ = 3; diagonala AC′: AC′² = 181 + 9 = 190.
  9. 20 + 20√2 — Dreptunghiul BDD′B′ are BB′ = 10 și BD = 10√2: P = 2(10 + 10√2).
  10. perpendiculare — În primul caz, planele sunt fețe alăturate; în al doilea, BD ⟂ AC și BD ⟂ CC′, deci BD ⟂ (ACC′) și (BDD′) ⊃ BD este perpendicular pe (ACC′).
  11. 6 + 6√2 — Dreptunghiul BDD′B′ are BB′ = 3 și BD = 3√2: P = 2(3 + 3√2).
  12. 25√2 — ACC′A′ este dreptunghi 5 × 5√2: aria = 25√2 cm².
  13. √149 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(85) și CC′ = 8; diagonala AC′: AC′² = 85 + 64 = 149.
  14. 8 + 8√2 — Dreptunghiul BDD′B′ are BB′ = 4 și BD = 4√2: P = 2(4 + 4√2).
  15. 105 — AC = √(9² + 12²) = 15; aria = AC·CC′ = 15·7 = 105 cm².
  16. 18 + 18√2 — Dreptunghiul BDD′B′ are BB′ = 9 și BD = 9√2: P = 2(9 + 9√2).
  17. 10 + 10√2 — Dreptunghiul BDD′B′ are BB′ = 5 și BD = 5√2: P = 2(5 + 5√2).
  18. perpendiculare — În primul caz, planele sunt fețe alăturate; în al doilea, BD ⟂ AC și BD ⟂ CC′, deci BD ⟂ (ACC′) și (BDD′) ⊃ BD este perpendicular pe (ACC′).
  19. 15 — Cu r = 9, h = 12: g = √(9² + 12²) = 15 cm; perimetrul 2g + 2r = 48 cm și aria rh = 108 cm² confirmă.
  20. 5√2 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(34) și CC′ = 4; diagonala AC′: AC′² = 34 + 16 = 50.
  21. 25 — AC = √(3² + 4²) = 5; aria = AC·CC′ = 5·5 = 25 cm².
  22. 9√2 — ACC′A′ este dreptunghi 3 × 3√2: aria = 9√2 cm².
  23. 135 — AC = √(9² + 12²) = 15; aria = AC·CC′ = 15·9 = 135 cm².
  24. 64√2 — ACC′A′ este dreptunghi 8 × 8√2: aria = 64√2 cm².
  25. √83 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(58) și CC′ = 5; diagonala AC′: AC′² = 58 + 25 = 83.
  26. 7 — Aria = l²√3/4 = 49√3 ⇒ l² = 196 ⇒ l = 14; baza triunghiului este 2r, deci r = 7 cm.
  27. 13 — Cu r = 5, h = 12: g = √(5² + 12²) = 13 cm; perimetrul 2g + 2r = 36 cm și aria rh = 60 cm² confirmă.
  28. 5 — Cu r = 3, h = 4: g = √(3² + 4²) = 5 cm; perimetrul 2g + 2r = 16 cm și aria rh = 12 cm² confirmă.
  29. 30 — AC = √(3² + 4²) = 5; aria = AC·CC′ = 5·6 = 30 cm².
  30. 4 + 4√2 — Dreptunghiul BDD′B′ are BB′ = 2 și BD = 2√2: P = 2(2 + 2√2).
  31. 144√2 — ACC′A′ este dreptunghi 12 × 12√2: aria = 144√2 cm².
  32. 12 + 12√2 — Dreptunghiul BDD′B′ are BB′ = 6 și BD = 6√2: P = 2(6 + 6√2).
  33. 3 — Aria = l²√3/4 = 9√3 ⇒ l² = 36 ⇒ l = 6; baza triunghiului este 2r, deci r = 3 cm.
  34. √158 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(58) și CC′ = 10; diagonala AC′: AC′² = 58 + 100 = 158.
  35. √129 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(113) și CC′ = 4; diagonala AC′: AC′² = 113 + 16 = 129.
  36. 8 — Latura pătratului este 16 = 2r = h, deci r = 8 cm.
  37. 5 — Latura pătratului este 10 = 2r = h, deci r = 5 cm.
  38. √101 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(52) și CC′ = 7; diagonala AC′: AC′² = 52 + 49 = 101.
  39. √217 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(117) și CC′ = 10; diagonala AC′: AC′² = 117 + 100 = 217.
  40. 10 — Cu r = 6, h = 8: g = √(6² + 8²) = 10 cm; perimetrul 2g + 2r = 32 cm și aria rh = 48 cm² confirmă.
  41. 20 — Cu r = 12, h = 16: g = √(12² + 16²) = 20 cm; perimetrul 2g + 2r = 64 cm și aria rh = 192 cm² confirmă.
  42. 9 — Aria = l²√3/4 = 81√3 ⇒ l² = 324 ⇒ l = 18; baza triunghiului este 2r, deci r = 9 cm.
  43. 117 — AC = √(5² + 12²) = 13; aria = AC·CC′ = 13·9 = 117 cm².
  44. √101 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(85) și CC′ = 4; diagonala AC′: AC′² = 85 + 16 = 101.
  45. 78 — AC = √(5² + 12²) = 13; aria = AC·CC′ = 13·6 = 78 cm².
  46. 121√2 — ACC′A′ este dreptunghi 11 × 11√2: aria = 121√2 cm².
  47. √213 — ACC′A′ este dreptunghi cu dimensiunile AC = √(149) și CC′ = 8; diagonala AC′: AC′² = 149 + 64 = 213.
  48. 4 — Aria = l²√3/4 = 16√3 ⇒ l² = 64 ⇒ l = 8; baza triunghiului este 2r, deci r = 4 cm.
  49. 16√2 — ACC′A′ este dreptunghi 4 × 4√2: aria = 16√2 cm².
  50. 20 — AC = √(6² + 8²) = 10; aria = AC·CC′ = 10·2 = 20 cm².

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a