Materialele sunt gratuite. Dacă te ajută, susține site-ul. Donează
E²EREMUS MATEMatematică de gimnaziu

Acasă › Clasa a 8-a › Trunchiul de piramidă regulată

Trunchiul de piramidă regulată

Aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă regulată; apotema, înălțimea, muchia laterală; piramida din care provine.

📄 Lecția în PDF📄 Test complet în PDF (150 de întrebări)📄 Teste scurte în PDF (10 teste)

Formule pentru trunchi

Fețele laterale sunt trapeze isoscele cu bazele laturile celor două baze și înălțimea apotema trunchiului.

A_l = (P_B + P_b)·ap/2   A_t = A_l + A_B + A_b
V = h(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3
patrulater regulat: V = h(a² + ab + b²)/3   ap² = h² + ((a − b)/2)²
ABCDA′B′C′D′MM′OO′

Trunchi de piramidă patrulateră regulată: OO′ – înălțimea, MM′ – apotema

VABCDMNPQ

Trunchiul se obține tăind piramida cu un plan paralel cu baza

Exemplul 1. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 14 cm și 6 cm și înălțimea 3 cm. Calculează apotema, aria laterală și volumul.
Metoda 1 (pe etape). (a − b)/2 = 4. ap² = 3² + 4² = 25 ⇒ ap = 5. A_l = 4(14 + 6)·5/2 = 200 cm². V = 3(196 + 84 + 36)/3 = 316 cm³.
Metoda 2 (cu ariile bazelor). A_B = 196, A_b = 36, √(A_B·A_b) = 14·6 = 84. V = 3(196 + 36 + 84)/3 = 316 cm³.
Exemplul 2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 12 cm și 4 cm și înălțimea 6 cm. Calculează înălțimea piramidei din care provine.
Metoda 1 (cu asemănarea). Fie H înălțimea piramidei mari: H/(H − 6) = 12/4 = 3 ⇒ H = 3H − 18 ⇒ H = 9 cm.
Metoda 2 (cu raportul de asemănare). Raportul de asemănare dintre piramida mică și cea mare este 4/12 = 1/3. Piramida mică are înălțimea H/3, deci H − H/3 = 6 ⇒ H = 9 cm.
Exemplul 3. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 10 și 4 și înălțimea 4. Calculează muchia laterală.
Metoda 1 (cu proiecția). Diferența semidiagonalelor este (10 − 4)√2/2 = 3√2. AA′² = 16 + 18 = 34 ⇒ AA′ = √34 cm.
Metoda 2 (cu apotema). ap² = 16 + 9 = 25; ap = 5. În trapezul AA′B′B: AA′² = ap² + ((a−b)/2)² = 25 + 9 = 34 ⇒ AA′ = √34.

Greșeli frecvente

Exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-ți răspunsurile. Exercițiile sunt grupate pe trei niveluri de dificultate. La test vei primi și variante de răspuns.

Nivel ușor (50 de exerciții)

  1. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 47 cm și 7 cm și înălțimea 21 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 18109  ·  B) 47418  ·  C) 15463  ·  D) 20412  ·  E) 18130
  2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 46 cm și 6 cm și înălțimea 21 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 18928  ·  B) 14812  ·  C) 45192  ·  D) 16996  ·  E) 17017
  3. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 14 cm și 2 cm și înălțimea 8 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 256  ·  B) 784  ·  C) 16  ·  D) 200  ·  E) 28
  4. Un trunchi de piramidă cu bazele poligoane cu 8 laturi are în total câte muchii?ABCDA′B′C′D′MM′OO′
  5. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 20 cm și 4 cm și înălțimea 15 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 576  ·  B) 80  ·  C) 24  ·  D) 416  ·  E) 6400
  6. Un trunchi de piramidă cu bazele poligoane cu 6 laturi are în total câte muchii?ABCDA′B′C′D′MM′OO′
  7. Fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată sunt:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) pătrate  ·  B) dreptunghiuri  ·  C) trapeze isoscele congruente  ·  D) triunghiuri isoscele  ·  E) paralelograme oarecare
  8. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 12 cm și 6 cm și apotema 5 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 900  ·  B) 90  ·  C) 180  ·  D) 360  ·  E) 60
  9. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 19 cm și 7 cm și înălțimea 8 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 676  ·  B) 26  ·  C) 17689  ·  D) 133  ·  E) 410
  10. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 19 cm și 7 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 52  ·  B) 312  ·  C) 410  ·  D) 133  ·  E) 676
  11. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 43 cm și 3 cm și înălțimea 21 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 12943  ·  B) 14812  ·  C) 13909  ·  D) 13930  ·  E) 39018
  12. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 24 cm și 6 cm și apotema 15 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 450  ·  B) 540  ·  C) 900  ·  D) 9180  ·  E) 1800
  13. Un trunchi de piramidă cu bazele poligoane cu 3 laturi are în total câte muchii?ABCDA′B′C′D′MM′OO′
  14. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 17 cm și 1 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 290  ·  B) 288  ·  C) 36  ·  D) 17  ·  E) 324
  15. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 21 cm și 3 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1764  ·  B) 2064  ·  C) 5400  ·  D) 2304  ·  E) 2052
  16. Un trunchi de piramidă cu bazele poligoane cu 4 laturi are în total câte muchii?ABCDA′B′C′D′MM′OO′
  17. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 21 cm și 3 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 48  ·  B) 63  ·  C) 450  ·  D) 432  ·  E) 576
  18. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 21 cm și 1 cm și înălțimea 24 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 3528  ·  B) 10608  ·  C) 3728  ·  D) 3704  ·  E) 3872
  19. Un trunchi de piramidă cu bazele poligoane cu 7 laturi are în total câte muchii?ABCDA′B′C′D′MM′OO′
  20. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 28 cm și 8 cm și apotema 26 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 22048  ·  B) 1040  ·  C) 936  ·  D) 3744  ·  E) 1872
  21. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 8 cm și 2 cm și înălțimea 4 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 10  ·  B) 68  ·  C) 16  ·  D) 100  ·  E) 256
  22. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 34 cm și 4 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1140  ·  B) 136  ·  C) 1172  ·  D) 1444  ·  E) 76
  23. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 35 cm și 5 cm și înălțimea 20 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 30625  ·  B) 40  ·  C) 1250  ·  D) 1600  ·  E) 175
  24. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 41 cm și 1 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1682  ·  B) 1680  ·  C) 1764  ·  D) 84  ·  E) 41
  25. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 14 cm și 4 cm și înălțimea 12 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 324  ·  B) 3136  ·  C) 212  ·  D) 56  ·  E) 18
  26. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 22 cm și 2 cm și apotema 26 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1040  ·  B) 2496  ·  C) 1248  ·  D) 12688  ·  E) 624
  27. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 18 cm și 6 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 360  ·  B) 576  ·  C) 108  ·  D) 288  ·  E) 48
  28. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 18 cm și 8 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 52  ·  B) 388  ·  C) 676  ·  D) 260  ·  E) 144
  29. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 22 cm și 4 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1936  ·  B) 2352  ·  C) 6000  ·  D) 2704  ·  E) 2364
  30. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 27 cm și 7 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 680  ·  B) 1156  ·  C) 189  ·  D) 778  ·  E) 68
  31. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 17 cm și 7 cm și apotema 13 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 260  ·  B) 312  ·  C) 624  ·  D) 1248  ·  E) 4394
  32. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 14 cm și 8 cm și înălțimea 4 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 12544  ·  B) 22  ·  C) 260  ·  D) 112  ·  E) 484
  33. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 32 cm și 8 cm și înălțimea 16 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 16384/3  ·  B) 7184  ·  C) 7168  ·  D) 17408  ·  E) 25600/3
  34. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 20 cm și 4 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 576  ·  B) 80  ·  C) 416  ·  D) 48  ·  E) 384
  35. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 18 cm și 8 cm și apotema 13 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 338  ·  B) 1352  ·  C) 5044  ·  D) 260  ·  E) 676
  36. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 11 cm și 1 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 532  ·  B) 484  ·  C) 1464  ·  D) 576  ·  E) 544
  37. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 16 cm și 6 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1564  ·  B) 1936  ·  C) 1552  ·  D) 3504  ·  E) 1024
  38. Un trunchi de piramidă cu bazele poligoane cu 5 laturi are în total câte muchii?ABCDA′B′C′D′MM′OO′
  39. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 35 cm și 5 cm și apotema 25 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1000  ·  B) 31250  ·  C) 2000  ·  D) 4000  ·  E) 1500
  40. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 8 cm și 2 cm și apotema 5 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 100  ·  B) 60  ·  C) 200  ·  D) 50  ·  E) 340
  41. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 38 cm și 8 cm și înălțimea 20 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 12100  ·  B) 42320/3  ·  C) 28880/3  ·  D) 30160  ·  E) 12080
  42. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 13 cm și 7 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 40  ·  B) 120  ·  C) 91  ·  D) 218  ·  E) 400
  43. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 33 cm și 3 cm și înălțimea 20 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 36  ·  B) 99  ·  C) 1296  ·  D) 9801  ·  E) 1098
  44. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 23 cm și 5 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 2676  ·  B) 3136  ·  C) 6648  ·  D) 2116  ·  E) 2688
  45. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 30 cm și 6 cm și apotema 20 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1440  ·  B) 18720  ·  C) 720  ·  D) 2880  ·  E) 960
  46. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 16 cm și 4 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 240  ·  B) 64  ·  C) 272  ·  D) 400  ·  E) 40
  47. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 22 cm și 8 cm. Suma ariilor celor două baze este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 548  ·  B) 60  ·  C) 420  ·  D) 900  ·  E) 176
  48. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 10 cm și 4 cm și înălțimea 4 cm. Volumul se calculează cu formula V = h·(A_B + A_b + √(A_B·A_b))/3. Aria √(A_B·A_b) este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 14  ·  B) 1600  ·  C) 40  ·  D) 116  ·  E) 196
  49. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 34 cm și 4 cm și apotema 25 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1500  ·  B) 950  ·  C) 1900  ·  D) 29300  ·  E) 3800
  50. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 27 cm și 3 cm și apotema 20 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 960  ·  B) 2400  ·  C) 600  ·  D) 1200  ·  E) 14760
Arată răspunsurile: nivel ușor
  1. 18109 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 21·(2209 + 329 + 49)/3 = 18109 cm³.
  2. 16996 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 21·(2116 + 276 + 36)/3 = 16996 cm³.
  3. 28 — A_B = 196, A_b = 4; √(A_B·A_b) = √(196·4) = 14·2 = 28.
  4. 24 — Câte 8 muchii în fiecare bază și 8 muchii laterale: 3·8 = 24.
  5. 80 — A_B = 400, A_b = 16; √(A_B·A_b) = √(400·16) = 20·4 = 80.
  6. 18 — Câte 6 muchii în fiecare bază și 6 muchii laterale: 3·6 = 18.
  7. trapeze isoscele congruente — Un plan paralel cu baza taie fiecare față laterală triunghiulară după un segment paralel cu latura bazei; rămâne un trapez isoscel.
  8. 180 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·12 + 4·6)·5/2 = 180 cm².
  9. 133 — A_B = 361, A_b = 49; √(A_B·A_b) = √(361·49) = 19·7 = 133.
  10. 410 — A_B + A_b = 19² + 7² = 410 cm².
  11. 13909 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 21·(1849 + 129 + 9)/3 = 13909 cm³.
  12. 900 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·24 + 4·6)·15/2 = 900 cm².
  13. 9 — Câte 3 muchii în fiecare bază și 3 muchii laterale: 3·3 = 9.
  14. 290 — A_B + A_b = 17² + 1² = 290 cm².
  15. 2052 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 12·(441 + 63 + 9)/3 = 2052 cm³.
  16. 12 — Câte 4 muchii în fiecare bază și 4 muchii laterale: 3·4 = 12.
  17. 450 — A_B + A_b = 21² + 3² = 450 cm².
  18. 3704 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 24·(441 + 21 + 1)/3 = 3704 cm³.
  19. 21 — Câte 7 muchii în fiecare bază și 7 muchii laterale: 3·7 = 21.
  20. 1872 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·28 + 4·8)·26/2 = 1872 cm².
  21. 16 — A_B = 64, A_b = 4; √(A_B·A_b) = √(64·4) = 8·2 = 16.
  22. 1172 — A_B + A_b = 34² + 4² = 1172 cm².
  23. 175 — A_B = 1225, A_b = 25; √(A_B·A_b) = √(1225·25) = 35·5 = 175.
  24. 1682 — A_B + A_b = 41² + 1² = 1682 cm².
  25. 56 — A_B = 196, A_b = 16; √(A_B·A_b) = √(196·16) = 14·4 = 56.
  26. 1248 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·22 + 4·2)·26/2 = 1248 cm².
  27. 360 — A_B + A_b = 18² + 6² = 360 cm².
  28. 388 — A_B + A_b = 18² + 8² = 388 cm².
  29. 2352 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 12·(484 + 88 + 16)/3 = 2352 cm³.
  30. 778 — A_B + A_b = 27² + 7² = 778 cm².
  31. 624 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·17 + 4·7)·13/2 = 624 cm².
  32. 112 — A_B = 196, A_b = 64; √(A_B·A_b) = √(196·64) = 14·8 = 112.
  33. 7168 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 16·(1024 + 256 + 64)/3 = 7168 cm³.
  34. 416 — A_B + A_b = 20² + 4² = 416 cm².
  35. 676 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·18 + 4·8)·13/2 = 676 cm².
  36. 532 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 12·(121 + 11 + 1)/3 = 532 cm³.
  37. 1552 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 12·(256 + 96 + 36)/3 = 1552 cm³.
  38. 15 — Câte 5 muchii în fiecare bază și 5 muchii laterale: 3·5 = 15.
  39. 2000 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·35 + 4·5)·25/2 = 2000 cm².
  40. 100 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·8 + 4·2)·5/2 = 100 cm².
  41. 12080 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 20·(1444 + 304 + 64)/3 = 12080 cm³.
  42. 218 — A_B + A_b = 13² + 7² = 218 cm².
  43. 99 — A_B = 1089, A_b = 9; √(A_B·A_b) = √(1089·9) = 33·3 = 99.
  44. 2676 — V = h(a² + ab + b²)/3 = 12·(529 + 115 + 25)/3 = 2676 cm³.
  45. 1440 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·30 + 4·6)·20/2 = 1440 cm².
  46. 272 — A_B + A_b = 16² + 4² = 272 cm².
  47. 548 — A_B + A_b = 22² + 8² = 548 cm².
  48. 40 — A_B = 100, A_b = 16; √(A_B·A_b) = √(100·16) = 10·4 = 40.
  49. 1900 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·34 + 4·4)·25/2 = 1900 cm².
  50. 1200 — A_l = (P_B + P_b)·ap/2 = (4·27 + 4·3)·20/2 = 1200 cm².

Nivel mediu (50 de exerciții)

  1. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 10 cm și 5 cm și înălțimea 7 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1225/3  ·  B) 700/3  ·  C) 875/3  ·  D) 1050  ·  E) 70
  2. Aria laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este 2300 cm², iar laturile bazelor sunt 38 cm și 8 cm. Apotema este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 46  ·  B) 25  ·  C) 50  ·  D) 24  ·  E) 26
  3. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 12 cm și 6 cm și înălțimea 8 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 384  ·  B) 1728  ·  C) 480  ·  D) 672  ·  E) 96
  4. Aria laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este 1400 cm², iar laturile bazelor sunt 21 cm și 7 cm. Apotema este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 25  ·  B) 50  ·  C) 28  ·  D) 24  ·  E) 26
  5. Aria laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este 1040 cm², iar laturile bazelor sunt 25 cm și 1 cm. Apotema este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 20  ·  B) 40  ·  C) 26  ·  D) 21  ·  E) 19
  6. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 16 cm și 4 cm și înălțimea 8 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 2720  ·  B) 400  ·  C) 200  ·  D) 320  ·  E) 800
  7. Aria laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este 780 cm², iar laturile bazelor sunt 22 cm și 4 cm. Apotema este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 14  ·  B) 15  ·  C) 26  ·  D) 16  ·  E) 30
  8. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 32 cm și 8 cm și înălțimea 16 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 3200  ·  B) 1280  ·  C) 1600  ·  D) 800  ·  E) 21760
  9. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 25 cm și 7 cm și apotema 15 cm. Aria totală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 960  ·  B) 1634  ·  C) 2594  ·  D) 1154  ·  E) 1984
  10. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 22 cm și 2 cm și înălțimea 24 cm. Muchia laterală are lungimea (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 2√194  ·  B) 26  ·  C) √677  ·  D) √777  ·  E) 4√61
  11. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 12 cm și 2 cm. Diferența dintre semidiagonale este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 5  ·  B) 5√2  ·  C) 5√3  ·  D) 10  ·  E) 10√2
  12. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 22 cm și 6 cm și apotema 17 cm. Aria totală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1472  ·  B) 1736  ·  C) 996  ·  D) 2424  ·  E) 952
  13. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 15 cm și 1 cm și apotema 25 cm. Aria totală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1056  ·  B) 626  ·  C) 1026  ·  D) 800  ·  E) 1826
  14. Aria laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este 600 cm², iar laturile bazelor sunt 19 cm și 1 cm. Apotema este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 20  ·  B) 16  ·  C) 14  ·  D) 30  ·  E) 15
  15. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 23 cm și 5 cm și înălțimea 12 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1680  ·  B) 672  ·  C) 8310  ·  D) 420  ·  E) 840
  16. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 21 cm și 1 cm și înălțimea 24 cm. Muchia laterală are lungimea (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 26  ·  B) √677  ·  C) 2√194  ·  D) 4√61  ·  E) √777
  17. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 12 cm și 6 cm și înălțimea 4 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 336  ·  B) 864  ·  C) 240  ·  D) 48  ·  E) 192
  18. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 31 cm și 7 cm și apotema 20 cm. Aria totală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1520  ·  B) 2964  ·  C) 1770  ·  D) 2530  ·  E) 4050
  19. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 22 cm și 8 cm și apotema 25 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 25  ·  B) 32  ·  C) 24  ·  D) 18  ·  E) 7
  20. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 28 cm și 8 cm și înălțimea 24 cm. Muchia laterală are lungimea (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 26  ·  B) 2√194  ·  C) √777  ·  D) √677  ·  E) 4√61
  21. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 4 cm și 2 cm și înălțimea 3 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 16  ·  B) 20  ·  C) 28  ·  D) 72  ·  E) 12
  22. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 11 cm și 1 cm. Diferența dintre semidiagonale este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 10  ·  B) 5  ·  C) 5√3  ·  D) 10√2  ·  E) 5√2
  23. Aria laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este 1872 cm², iar laturile bazelor sunt 28 cm și 8 cm. Apotema este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 52  ·  B) 26  ·  C) 36  ·  D) 27  ·  E) 25
  24. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 8 cm și 2 cm și înălțimea 4 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 100  ·  B) 50  ·  C) 200  ·  D) 340  ·  E) 80
  25. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 10 cm și 5 cm și înălțimea 2 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 300  ·  B) 20  ·  C) 350/3  ·  D) 250/3  ·  E) 200/3
  26. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 33 cm și 3 cm. Diferența dintre semidiagonale este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 15  ·  B) 30√2  ·  C) 15√2  ·  D) 15√3  ·  E) 30
  27. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 46 cm și 6 cm și înălțimea 21 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 6032  ·  B) 2184  ·  C) 1508  ·  D) 3016  ·  E) 62408
  28. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 27 cm și 3 cm și înălțimea 16 cm. Muchia laterală are lungimea (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) √401  ·  B) 20  ·  C) √545  ·  D) 4√34  ·  E) 8√13
  29. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 27 cm și 7 cm. Diferența dintre semidiagonale este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 10√2  ·  B) 20  ·  C) 10  ·  D) 10√3  ·  E) 20√2
  30. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 6 cm și 3 cm și înălțimea 3 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 63  ·  B) 162  ·  C) 18  ·  D) 36  ·  E) 45
  31. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 14 cm și 7 cm și înălțimea 7 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 2058  ·  B) 1715/3  ·  C) 2401/3  ·  D) 98  ·  E) 1372/3
  32. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 41 cm și 1 cm și înălțimea 21 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 2436  ·  B) 48778  ·  C) 1218  ·  D) 1764  ·  E) 4872
  33. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 11 cm și 1 cm și înălțimea 12 cm. Muchia laterală are lungimea (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 13  ·  B) 2√61  ·  C) √195  ·  D) √170  ·  E) √194
  34. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 31 cm și 7 cm și apotema 20 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 32  ·  B) 16  ·  C) 17  ·  D) 12  ·  E) 8
  35. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 12 cm și 6 cm și înălțimea 2 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 432  ·  B) 120  ·  C) 24  ·  D) 96  ·  E) 168
  36. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 27 cm și 3 cm și înălțimea 16 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 2400  ·  B) 14760  ·  C) 960  ·  D) 600  ·  E) 1200
  37. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 25 cm și 1 cm și înălțimea 16 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 12520  ·  B) 520  ·  C) 1040  ·  D) 2080  ·  E) 832
  38. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 12 cm și 2 cm și apotema 13 cm. Aria totală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 876  ·  B) 330  ·  C) 560  ·  D) 364  ·  E) 512
  39. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 28 cm și 4 cm. Diferența dintre semidiagonale este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 12√2  ·  B) 12√3  ·  C) 24  ·  D) 24√2  ·  E) 12
  40. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 46 cm și 6 cm și apotema 29 cm. Aria totală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 3016  ·  B) 5168  ·  C) 3660  ·  D) 5720  ·  E) 8184
  41. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 20 cm și 8 cm și înălțimea 8 cm. Muchia laterală are lungimea (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 10  ·  B) √101  ·  C) 4√13  ·  D) √137  ·  E) 2√34
  42. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 26 cm și 2 cm și înălțimea 16 cm. Muchia laterală are lungimea (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 4√34  ·  B) √545  ·  C) 8√13  ·  D) √401  ·  E) 20
  43. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 19 cm și 1 cm și apotema 15 cm. Aria totală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1000  ·  B) 662  ·  C) 600  ·  D) 962  ·  E) 1562
  44. Aria laterală a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată este 468 cm², iar laturile bazelor sunt 14 cm și 4 cm. Apotema este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 26  ·  B) 12  ·  C) 13  ·  D) 18  ·  E) 14
  45. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 25 cm și 5 cm. Diferența dintre semidiagonale este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 10  ·  B) 10√2  ·  C) 20  ·  D) 10√3  ·  E) 20√2
  46. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 16 cm și 2 cm și înălțimea 24 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1800  ·  B) 864  ·  C) 900  ·  D) 450  ·  E) 6500
  47. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 14 cm și 4 cm și apotema 13 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 12  ·  B) 8  ·  C) 5  ·  D) 18  ·  E) 13
  48. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 25 cm și 5 cm și apotema 26 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 24  ·  B) 16  ·  C) 36  ·  D) 10  ·  E) 25
  49. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 27 cm și 7 cm și apotema 26 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 25  ·  B) 10  ·  C) 36  ·  D) 16  ·  E) 24
  50. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu laturile bazelor 8 cm și 4 cm și înălțimea 6 cm are volumul (cm³):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 224  ·  B) 160  ·  C) 128  ·  D) 576  ·  E) 48
Arată răspunsurile: nivel mediu
  1. 1225/3 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 5: 7·(100 + 50 + 25)/3 = 1225/3 cm³.
  2. 25 — A_l = 2(a + b)·ap ⇒ ap = 2300/(2·46) = 25 cm.
  3. 672 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 6: 8·(144 + 72 + 36)/3 = 672 cm³.
  4. 25 — A_l = 2(a + b)·ap ⇒ ap = 1400/(2·28) = 25 cm.
  5. 20 — A_l = 2(a + b)·ap ⇒ ap = 1040/(2·26) = 20 cm.
  6. 400 — Apotema: ap² = 8² + ((16 − 4)/2)² = 64 + 36 = 100 ⇒ ap = 10. A_l = 2·(16+4)·10 = 400 cm².
  7. 15 — A_l = 2(a + b)·ap ⇒ ap = 780/(2·26) = 15 cm.
  8. 1600 — Apotema: ap² = 16² + ((32 − 8)/2)² = 256 + 144 = 400 ⇒ ap = 20. A_l = 2·(32+8)·20 = 1600 cm².
  9. 1634 — A_t = A_l + A_B + A_b = 960 + 625 + 49 = 1634 cm².
  10. 2√194 — Diferența semidiagonalelor este (a − b)√2/2 = 10√2; AA′² = h² + 2k² = 576 + 200 = 776.
  11. 5√2 — Semidiagonala bazei mari: a√2/2; a bazei mici: b√2/2. Diferența: (a − b)√2/2 = 10√2/2 = 5√2 cm.
  12. 1472 — A_t = A_l + A_B + A_b = 952 + 484 + 36 = 1472 cm².
  13. 1026 — A_t = A_l + A_B + A_b = 800 + 225 + 1 = 1026 cm².
  14. 15 — A_l = 2(a + b)·ap ⇒ ap = 600/(2·20) = 15 cm.
  15. 840 — Apotema: ap² = 12² + ((23 − 5)/2)² = 144 + 81 = 225 ⇒ ap = 15. A_l = 2·(23+5)·15 = 840 cm².
  16. 2√194 — Diferența semidiagonalelor este (a − b)√2/2 = 10√2; AA′² = h² + 2k² = 576 + 200 = 776.
  17. 336 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 6: 4·(144 + 72 + 36)/3 = 336 cm³.
  18. 2530 — A_t = A_l + A_B + A_b = 1520 + 961 + 49 = 2530 cm².
  19. 24 — ap² = h² + ((a − b)/2)² ⇒ h² = 625 − 49 = 576 ⇒ h = 24 cm.
  20. 2√194 — Diferența semidiagonalelor este (a − b)√2/2 = 10√2; AA′² = h² + 2k² = 576 + 200 = 776.
  21. 28 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 2: 3·(16 + 8 + 4)/3 = 28 cm³.
  22. 5√2 — Semidiagonala bazei mari: a√2/2; a bazei mici: b√2/2. Diferența: (a − b)√2/2 = 10√2/2 = 5√2 cm.
  23. 26 — A_l = 2(a + b)·ap ⇒ ap = 1872/(2·36) = 26 cm.
  24. 100 — Apotema: ap² = 4² + ((8 − 2)/2)² = 16 + 9 = 25 ⇒ ap = 5. A_l = 2·(8+2)·5 = 100 cm².
  25. 350/3 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 5: 2·(100 + 50 + 25)/3 = 350/3 cm³.
  26. 15√2 — Semidiagonala bazei mari: a√2/2; a bazei mici: b√2/2. Diferența: (a − b)√2/2 = 30√2/2 = 15√2 cm.
  27. 3016 — Apotema: ap² = 21² + ((46 − 6)/2)² = 441 + 400 = 841 ⇒ ap = 29. A_l = 2·(46+6)·29 = 3016 cm².
  28. 4√34 — Diferența semidiagonalelor este (a − b)√2/2 = 12√2; AA′² = h² + 2k² = 256 + 288 = 544.
  29. 10√2 — Semidiagonala bazei mari: a√2/2; a bazei mici: b√2/2. Diferența: (a − b)√2/2 = 20√2/2 = 10√2 cm.
  30. 63 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 3: 3·(36 + 18 + 9)/3 = 63 cm³.
  31. 2401/3 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 7: 7·(196 + 98 + 49)/3 = 2401/3 cm³.
  32. 2436 — Apotema: ap² = 21² + ((41 − 1)/2)² = 441 + 400 = 841 ⇒ ap = 29. A_l = 2·(41+1)·29 = 2436 cm².
  33. √194 — Diferența semidiagonalelor este (a − b)√2/2 = 5√2; AA′² = h² + 2k² = 144 + 50 = 194.
  34. 16 — ap² = h² + ((a − b)/2)² ⇒ h² = 400 − 144 = 256 ⇒ h = 16 cm.
  35. 168 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 6: 2·(144 + 72 + 36)/3 = 168 cm³.
  36. 1200 — Apotema: ap² = 16² + ((27 − 3)/2)² = 256 + 144 = 400 ⇒ ap = 20. A_l = 2·(27+3)·20 = 1200 cm².
  37. 1040 — Apotema: ap² = 16² + ((25 − 1)/2)² = 256 + 144 = 400 ⇒ ap = 20. A_l = 2·(25+1)·20 = 1040 cm².
  38. 512 — A_t = A_l + A_B + A_b = 364 + 144 + 4 = 512 cm².
  39. 12√2 — Semidiagonala bazei mari: a√2/2; a bazei mici: b√2/2. Diferența: (a − b)√2/2 = 24√2/2 = 12√2 cm.
  40. 5168 — A_t = A_l + A_B + A_b = 3016 + 2116 + 36 = 5168 cm².
  41. 2√34 — Diferența semidiagonalelor este (a − b)√2/2 = 6√2; AA′² = h² + 2k² = 64 + 72 = 136.
  42. 4√34 — Diferența semidiagonalelor este (a − b)√2/2 = 12√2; AA′² = h² + 2k² = 256 + 288 = 544.
  43. 962 — A_t = A_l + A_B + A_b = 600 + 361 + 1 = 962 cm².
  44. 13 — A_l = 2(a + b)·ap ⇒ ap = 468/(2·18) = 13 cm.
  45. 10√2 — Semidiagonala bazei mari: a√2/2; a bazei mici: b√2/2. Diferența: (a − b)√2/2 = 20√2/2 = 10√2 cm.
  46. 900 — Apotema: ap² = 24² + ((16 − 2)/2)² = 576 + 49 = 625 ⇒ ap = 25. A_l = 2·(16+2)·25 = 900 cm².
  47. 12 — ap² = h² + ((a − b)/2)² ⇒ h² = 169 − 25 = 144 ⇒ h = 12 cm.
  48. 24 — ap² = h² + ((a − b)/2)² ⇒ h² = 676 − 100 = 576 ⇒ h = 24 cm.
  49. 24 — ap² = h² + ((a − b)/2)² ⇒ h² = 676 − 100 = 576 ⇒ h = 24 cm.
  50. 224 — V = h(a² + ab + b²)/3 cu b = 4: 6·(64 + 32 + 16)/3 = 224 cm³.

Nivel dificil (50 de exerciții)

  1. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 7 cm și 1 cm și apotema 5 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 5/8  ·  B) 16/5  ·  C) 8/5  ·  D) 4/5  ·  E) 6/5
  2. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 18 cm și 6 cm. Se prelungesc muchiile laterale până se întâlnesc în vârful V al piramidei. Raportul de asemănare dintre piramida mică și cea mare este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 2/3  ·  B) 1/3  ·  C) 1/2  ·  D) 1/9  ·  E) 3
  3. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 32 cm și 8 cm și înălțimea 8 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 2176√3/3  ·  B) 2688√3  ·  C) 512√3/3  ·  D) 896√3  ·  E) 3200√3/3
  4. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 12 cm și 4 cm și înălțimea 6 cm. Înălțimea piramidei din care provine este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 6  ·  B) 12  ·  C) 3  ·  D) 9  ·  E) 10
  5. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 23 cm și 5 cm și apotema 15 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 277/420  ·  B) 210/277  ·  C) 420/277  ·  D) 840/277  ·  E) 270/277
  6. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 6 cm și 2 cm. Se prelungesc muchiile laterale până se întâlnesc în vârful V al piramidei. Raportul de asemănare dintre piramida mică și cea mare este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1/2  ·  B) 2/3  ·  C) 3  ·  D) 1/3  ·  E) 1/9
  7. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 22 cm și 6 cm și apotema 17 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 65/119  ·  B) 238/65  ·  C) 68/65  ·  D) 119/65  ·  E) 119/130
  8. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 70 cm și 10 cm și înălțimea 20 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 25000√3/3  ·  B) 3500√3/3  ·  C) 9500√3  ·  D) 32000√3/3  ·  E) 28500√3
  9. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 9 cm și 3 cm și înălțimea 5 cm. Înălțimea piramidei din care provine este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 17/2  ·  B) 15/2  ·  C) 5/2  ·  D) 5  ·  E) 10
  10. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 18 cm și 2 cm și apotema 17 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 170/41  ·  B) 68/41  ·  C) 41/85  ·  D) 85/82  ·  E) 85/41
  11. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 21 cm și 3 cm și muchia laterală 3√34 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 576  ·  B) 6750  ·  C) 360  ·  D) 720  ·  E) 1440
  12. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 12 cm și 4 cm. Se prelungesc muchiile laterale până se întâlnesc în vârful V al piramidei. Raportul de asemănare dintre piramida mică și cea mare este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1/9  ·  B) 1/2  ·  C) 2/3  ·  D) 1/3  ·  E) 3
  13. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 34 cm și 14 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 5484√3  ·  B) 2304√3  ·  C) 1828√3  ·  D) 1352√3  ·  E) 476√3
  14. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 8 cm și 2 cm și muchia laterală √34 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 340  ·  B) 50  ·  C) 200  ·  D) 80  ·  E) 100
  15. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 88 cm și 8 cm și înălțimea 21 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 14896√3  ·  B) 13664√3  ·  C) 1232√3  ·  D) 44688√3  ·  E) 16128√3
  16. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 60 cm și 12 cm și înălțimea 16 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 960√3  ·  B) 6912√3  ·  C) 17856√3  ·  D) 4992√3  ·  E) 5952√3
  17. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 22 cm și 4 cm și muchia laterală 3√34 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 7500  ·  B) 780  ·  C) 1560  ·  D) 624  ·  E) 390
  18. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are volumul 2676 cm³, bazele de laturi 23 cm și 5 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 9  ·  B) 13  ·  C) 24  ·  D) 12  ·  E) 15
  19. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 12 cm și 4 cm și înălțimea 5 cm. Înălțimea piramidei din care provine este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 5  ·  B) 15/2  ·  C) 5/2  ·  D) 10  ·  E) 17/2
  20. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 64 cm și 16 cm și înălțimea 16 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 7168√3  ·  B) 25600√3/3  ·  C) 4096√3/3  ·  D) 21504√3  ·  E) 17408√3/3
  21. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 14 cm și 2 cm și muchia laterală 2√34 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 640  ·  B) 320  ·  C) 256  ·  D) 2000  ·  E) 160
  22. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 38 cm și 8 cm și muchia laterală 5√34 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1150  ·  B) 4600  ·  C) 37700  ·  D) 2300  ·  E) 1840
  23. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 44 cm și 8 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 2704√3  ·  B) 2000√3  ·  C) 7056√3  ·  D) 352√3  ·  E) 2352√3
  24. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 25 cm și 5 cm și apotema 26 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 12/5  ·  B) 8/5  ·  C) 5/12  ·  D) 24/5  ·  E) 6/5
  25. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are volumul 8576 cm³, bazele de laturi 28 cm și 8 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 10  ·  B) 25  ·  C) 48  ·  D) 24  ·  E) 26
  26. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 24 cm și 4 cm și muchia laterală 2√194 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 728  ·  B) 1344  ·  C) 1456  ·  D) 2912  ·  E) 15392
  27. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 18 cm și 8 cm și muchia laterală √194 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 5044  ·  B) 676  ·  C) 624  ·  D) 338  ·  E) 1352
  28. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 11 cm și 1 cm și muchia laterală √194 cm. Aria laterală este (cm²):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 156  ·  B) 288  ·  C) 1586  ·  D) 624  ·  E) 312
  29. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 24 cm și 6 cm și apotema 15 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 15/17  ·  B) 25/17  ·  C) 25/34  ·  D) 50/17  ·  E) 17/25
  30. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 20 cm și 2 cm și apotema 15 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 165/101  ·  B) 165/202  ·  C) 330/101  ·  D) 101/165  ·  E) 135/101
  31. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 9 cm și 3 cm și înălțimea 8 cm. Înălțimea piramidei din care provine este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 13  ·  B) 8  ·  C) 12  ·  D) 16  ·  E) 4
  32. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 42 cm și 2 cm și apotema 29 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 221/319  ·  B) 319/221  ·  C) 319/442  ·  D) 638/221  ·  E) 290/221
  33. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 32 cm și 2 cm și apotema 25 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 850/257  ·  B) 425/257  ·  C) 375/257  ·  D) 425/514  ·  E) 257/425
  34. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 27 cm și 3 cm și apotema 20 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 100/123  ·  B) 160/123  ·  C) 123/200  ·  D) 200/123  ·  E) 400/123
  35. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 34 cm și 4 cm și apotema 25 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 950/293  ·  B) 375/293  ·  C) 293/475  ·  D) 475/586  ·  E) 475/293
  36. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 20 cm și 4 cm și apotema 17 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 26/51  ·  B) 17/13  ·  C) 51/52  ·  D) 51/13  ·  E) 51/26
  37. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 52 cm și 16 cm și înălțimea 12 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 832√3  ·  B) 11376√3  ·  C) 2960√3  ·  D) 4624√3  ·  E) 3792√3
  38. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 24 cm și 8 cm. Se prelungesc muchiile laterale până se întâlnesc în vârful V al piramidei. Raportul de asemănare dintre piramida mică și cea mare este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1/3  ·  B) 2/3  ·  C) 1/2  ·  D) 1/9  ·  E) 3
  39. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are volumul 18109 cm³, bazele de laturi 47 cm și 7 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 20  ·  B) 29  ·  C) 42  ·  D) 21  ·  E) 22
  40. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 62 cm și 14 cm și înălțimea 16 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 23104√3/3  ·  B) 19632√3  ·  C) 3472√3/3  ·  D) 6544√3  ·  E) 16160√3/3
  41. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 12 cm și 4 cm și înălțimea 4 cm. Înălțimea piramidei din care provine este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 6  ·  B) 8  ·  C) 7  ·  D) 4  ·  E) 2
  42. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are volumul 12080 cm³, bazele de laturi 38 cm și 8 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 21  ·  B) 15  ·  C) 40  ·  D) 25  ·  E) 20
  43. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 18 cm și 4 cm și apotema 25 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 35/17  ·  B) 110/17  ·  C) 17/55  ·  D) 55/17  ·  E) 55/34
  44. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 31 cm și 1 cm și apotema 25 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 1600/481  ·  B) 800/481  ·  C) 400/481  ·  D) 481/800  ·  E) 750/481
  45. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 40 cm și 12 cm și înălțimea 24 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 13344√3  ·  B) 960√3  ·  C) 3488√3  ·  D) 5408√3  ·  E) 4448√3
  46. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 14 cm și 2 cm și apotema 10 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 5/8  ·  B) 16/5  ·  C) 4/5  ·  D) 6/5  ·  E) 8/5
  47. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are volumul 2352 cm³, bazele de laturi 22 cm și 4 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 13  ·  B) 15  ·  C) 12  ·  D) 24  ·  E) 9
  48. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are volumul 5952 cm³, bazele de laturi 30 cm și 6 cm. Înălțimea este (cm):ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 17  ·  B) 32  ·  C) 20  ·  D) 12  ·  E) 16
  49. Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată are bazele de laturi 46 cm și 6 cm și înălțimea 24 cm. Volumul este (cm³):VABC
    Variante: A) 4856√3  ·  B) 4304√3  ·  C) 14568√3  ·  D) 5408√3  ·  E) 552√3
  50. Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are bazele de laturi 24 cm și 4 cm și apotema 26 cm. Raportul dintre aria laterală și suma ariilor bazelor este:ABCDA′B′C′D′MM′OO′
    Variante: A) 91/37  ·  B) 37/91  ·  C) 182/37  ·  D) 91/74  ·  E) 65/37
Arată răspunsurile: nivel dificil
  1. 8/5 — A_l = 80; A_B + A_b = 50; raportul = 8/5.
  2. 1/3 — Piramida mică și piramida mare sunt asemenea, iar raportul bazelor este 6/18 = 1/3.
  3. 896√3 — A_B = 1024√3/4 = 256√3, A_b = 16√3, √(A_B·A_b) = 64√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 8·336√3/3 = 896√3 cm³.
  4. 9 — Din asemănare: H/(H − h) = 12/4 ⇒ 4H = 12H − 72 ⇒ H = 72/8 = 9 cm.
  5. 420/277 — A_l = 840; A_B + A_b = 554; raportul = 420/277.
  6. 1/3 — Piramida mică și piramida mare sunt asemenea, iar raportul bazelor este 2/6 = 1/3.
  7. 119/65 — A_l = 952; A_B + A_b = 520; raportul = 119/65.
  8. 9500√3 — A_B = 4900√3/4 = 1225√3, A_b = 25√3, √(A_B·A_b) = 175√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 20·1425√3/3 = 9500√3 cm³.
  9. 15/2 — Din asemănare: H/(H − h) = 9/3 ⇒ 3H = 9H − 45 ⇒ H = 45/6 = 15/2 cm.
  10. 85/41 — A_l = 680; A_B + A_b = 328; raportul = 85/41.
  11. 720 — Fața laterală AA′B′B este trapez isoscel cu laturile neparalele egale cu muchia laterală l; înălțimea lui este apotema: ap² = l² − ((a − b)/2)² = 306 − 81 = 225 ⇒ ap = 15. A_l = 2·(21+3)·15 = 720 cm².
  12. 1/3 — Piramida mică și piramida mare sunt asemenea, iar raportul bazelor este 4/12 = 1/3.
  13. 1828√3 — A_B = 1156√3/4 = 289√3, A_b = 49√3, √(A_B·A_b) = 119√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 12·457√3/3 = 1828√3 cm³.
  14. 100 — Fața laterală AA′B′B este trapez isoscel cu laturile neparalele egale cu muchia laterală l; înălțimea lui este apotema: ap² = l² − ((a − b)/2)² = 34 − 9 = 25 ⇒ ap = 5. A_l = 2·(8+2)·5 = 100 cm².
  15. 14896√3 — A_B = 7744√3/4 = 1936√3, A_b = 16√3, √(A_B·A_b) = 176√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 21·2128√3/3 = 14896√3 cm³.
  16. 5952√3 — A_B = 3600√3/4 = 900√3, A_b = 36√3, √(A_B·A_b) = 180√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 16·1116√3/3 = 5952√3 cm³.
  17. 780 — Fața laterală AA′B′B este trapez isoscel cu laturile neparalele egale cu muchia laterală l; înălțimea lui este apotema: ap² = l² − ((a − b)/2)² = 306 − 81 = 225 ⇒ ap = 15. A_l = 2·(22+4)·15 = 780 cm².
  18. 12 — V = h(a² + ab + b²)/3 ⇒ h = 3V/(a² + ab + b²) = 8028/669 = 12 cm.
  19. 15/2 — Din asemănare: H/(H − h) = 12/4 ⇒ 4H = 12H − 60 ⇒ H = 60/8 = 15/2 cm.
  20. 7168√3 — A_B = 4096√3/4 = 1024√3, A_b = 64√3, √(A_B·A_b) = 256√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 16·1344√3/3 = 7168√3 cm³.
  21. 320 — Fața laterală AA′B′B este trapez isoscel cu laturile neparalele egale cu muchia laterală l; înălțimea lui este apotema: ap² = l² − ((a − b)/2)² = 136 − 36 = 100 ⇒ ap = 10. A_l = 2·(14+2)·10 = 320 cm².
  22. 2300 — Fața laterală AA′B′B este trapez isoscel cu laturile neparalele egale cu muchia laterală l; înălțimea lui este apotema: ap² = l² − ((a − b)/2)² = 850 − 225 = 625 ⇒ ap = 25. A_l = 2·(38+8)·25 = 2300 cm².
  23. 2352√3 — A_B = 1936√3/4 = 484√3, A_b = 16√3, √(A_B·A_b) = 88√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 12·588√3/3 = 2352√3 cm³.
  24. 12/5 — A_l = 1560; A_B + A_b = 650; raportul = 12/5.
  25. 24 — V = h(a² + ab + b²)/3 ⇒ h = 3V/(a² + ab + b²) = 25728/1072 = 24 cm.
  26. 1456 — Fața laterală AA′B′B este trapez isoscel cu laturile neparalele egale cu muchia laterală l; înălțimea lui este apotema: ap² = l² − ((a − b)/2)² = 776 − 100 = 676 ⇒ ap = 26. A_l = 2·(24+4)·26 = 1456 cm².
  27. 676 — Fața laterală AA′B′B este trapez isoscel cu laturile neparalele egale cu muchia laterală l; înălțimea lui este apotema: ap² = l² − ((a − b)/2)² = 194 − 25 = 169 ⇒ ap = 13. A_l = 2·(18+8)·13 = 676 cm².
  28. 312 — Fața laterală AA′B′B este trapez isoscel cu laturile neparalele egale cu muchia laterală l; înălțimea lui este apotema: ap² = l² − ((a − b)/2)² = 194 − 25 = 169 ⇒ ap = 13. A_l = 2·(11+1)·13 = 312 cm².
  29. 25/17 — A_l = 900; A_B + A_b = 612; raportul = 25/17.
  30. 165/101 — A_l = 660; A_B + A_b = 404; raportul = 165/101.
  31. 12 — Din asemănare: H/(H − h) = 9/3 ⇒ 3H = 9H − 72 ⇒ H = 72/6 = 12 cm.
  32. 319/221 — A_l = 2552; A_B + A_b = 1768; raportul = 319/221.
  33. 425/257 — A_l = 1700; A_B + A_b = 1028; raportul = 425/257.
  34. 200/123 — A_l = 1200; A_B + A_b = 738; raportul = 200/123.
  35. 475/293 — A_l = 1900; A_B + A_b = 1172; raportul = 475/293.
  36. 51/26 — A_l = 816; A_B + A_b = 416; raportul = 51/26.
  37. 3792√3 — A_B = 2704√3/4 = 676√3, A_b = 64√3, √(A_B·A_b) = 208√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 12·948√3/3 = 3792√3 cm³.
  38. 1/3 — Piramida mică și piramida mare sunt asemenea, iar raportul bazelor este 8/24 = 1/3.
  39. 21 — V = h(a² + ab + b²)/3 ⇒ h = 3V/(a² + ab + b²) = 54327/2587 = 21 cm.
  40. 6544√3 — A_B = 3844√3/4 = 961√3, A_b = 49√3, √(A_B·A_b) = 217√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 16·1227√3/3 = 6544√3 cm³.
  41. 6 — Din asemănare: H/(H − h) = 12/4 ⇒ 4H = 12H − 48 ⇒ H = 48/8 = 6 cm.
  42. 20 — V = h(a² + ab + b²)/3 ⇒ h = 3V/(a² + ab + b²) = 36240/1812 = 20 cm.
  43. 55/17 — A_l = 1100; A_B + A_b = 340; raportul = 55/17.
  44. 800/481 — A_l = 1600; A_B + A_b = 962; raportul = 800/481.
  45. 4448√3 — A_B = 1600√3/4 = 400√3, A_b = 36√3, √(A_B·A_b) = 120√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 24·556√3/3 = 4448√3 cm³.
  46. 8/5 — A_l = 320; A_B + A_b = 200; raportul = 8/5.
  47. 12 — V = h(a² + ab + b²)/3 ⇒ h = 3V/(a² + ab + b²) = 7056/588 = 12 cm.
  48. 16 — V = h(a² + ab + b²)/3 ⇒ h = 3V/(a² + ab + b²) = 17856/1116 = 16 cm.
  49. 4856√3 — A_B = 2116√3/4 = 529√3, A_b = 9√3, √(A_B·A_b) = 69√3. V = h(A_B + A_b + √(A_B A_b))/3 = 24·607√3/3 = 4856√3 cm³.
  50. 91/37 — A_l = 1456; A_B + A_b = 592; raportul = 91/37.

Test online

Exersează lecția cu întrebări cu 5 variante de răspuns, dintre care doar una este corectă. Sunt 150 de întrebări, pe 3 niveluri: ușor, mediu și dificil. Alegi nivelul și câte întrebări vrei (10, 20, 30 sau 50).

Rezolvă testul onlineTeste scurte (10 teste, nota 10)

← Înapoi la clasa a 8-a