Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 1
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 1
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Rezultatul calculului 2·(−7) + 36 : (−4) este egal cu:
Rezolvare. 2·(−7) = −14, iar 36 : (−4) = −9, deci −14 + (−9) = −23.
5p2. Știind că x5 = 3y, cu x și y nenule, valoarea expresiei 2xy − 10 este egală cu:
Rezolvare. Din proporție, x·y = 5·3 = 15. Atunci 2xy − 10 = 2·15 − 10 = 20.
5p3. După o scumpire cu 20%, un obiect costă 90 de lei. Prețul inițial al obiectului a fost:
Rezolvare. Prețul inițial p crește la 120% din p = 90, deci p = 90 : 1,2 = 75 de lei.
5p4. Numărul elementelor mulțimii (−√7, √30) ∩ ℤ este egal cu:
Rezolvare. Cum 2 < √7 < 3, rezultă −3 < −√7 < −2, iar 5 < √30 < 6. Numerele întregi din interval sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, adică 8 numere.
5p5. Patru elevi calculează media aritmetică a numerelor √50 și √18 și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ana | Bogdan | Cătălin | Dan |
|---|---|---|---|
| 8√2 | 4 | 4√2 | 16 |
Rezolvare. √50 = 5√2 și √18 = 3√2. Media aritmetică este (5√2 + 3√2) : 2 = 8√2 : 2 = 4√2.
5p6. Afirmația „Mulțimea soluțiilor inecuației 3x + 1 > −8, x ∈ ℝ, este intervalul [−3, +∞).” este:
Rezolvare. 3x > −9, deci x > −3. Inegalitatea este strictă, deci soluția este intervalul (−3, +∞). Numărul −3 nu este soluție; afirmația este falsă.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, cu AB = 6 cm și BC = 10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB, iar N este mijlocul segmentului BC. Lungimea segmentului MN este egală cu:
Rezolvare. MB = AB : 2 = 3 cm și BN = BC : 2 = 5 cm. Cum B se află între M și N, MN = MB + BN = 3 + 5 = 8 cm.
5p2. În figura alăturată, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente suplementare (punctele A, O, C sunt coliniare) și m(∠AOB) = 2·m(∠BOC). Măsura unghiului AOB este egală cu:
Rezolvare. Dacă m(∠BOC) = x, atunci m(∠AOB) = 2x și 2x + x = 180°. Deci x = 60° și m(∠AOB) = 120°.
5p3. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 8 cm, iar AD ⟂ BC, D ∈ BC. Lungimea segmentului AD este egală cu:
Rezolvare. BC² = 6² + 8² = 100, deci BC = 10 cm. Aria triunghiului este AB·AC : 2 = 24 cm² și este egală cu BC·AD : 2. Deci 10·AD = 48, adică AD = 4,8 cm.
5p4. În figura alăturată, ABCD este un trapez isoscel cu AB ∥ CD, AB = 12 cm, CD = 20 cm și AD = BC = 5 cm. Aria trapezului ABCD este egală cu:
Rezolvare. Înălțimea AE cade pe CD cu DE = (20 − 12) : 2 = 4 cm. Din triunghiul dreptunghic AED, AE² = 5² − 4² = 9, deci AE = 3 cm. Aria = (12 + 20)·3 : 2 = 48 cm².
5p5. În figura alăturată, triunghiul ABC este înscris în cercul de centru O, iar AB este diametru. Dacă m(∠BAC) = 35°, atunci m(∠ABC) este egală cu:
Rezolvare. Unghiul ∠ACB este înscris într-un semicerc, deci are 90°. În triunghiul ABC, m(∠ABC) = 180° − 90° − 35° = 55°.
5p6. Cubul ABCDA′B′C′D′ din figura alăturată are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 96 cm. Lungimea diagonalei AC a bazei este egală cu:
Rezolvare. Cubul are 12 muchii congruente, deci muchia este 96 : 12 = 8 cm. Diagonala AC a pătratului ABCD are lungimea 8√2 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. Într-o clasă sunt 28 de elevi. La o serbare, fiecare fată primește 3 mere, iar fiecare băiat primește 2 mere.
2pa) Este posibil ca numărul total de mere distribuite să fie 85? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
Dacă în clasă sunt f fete, atunci sunt 28 − f băieți și numărul de mere este 3f + 2(28 − f) = 56 + f. (1p)
Pentru 85 de mere ar trebui 56 + f = 85, adică f = 29 > 28, ceea ce este imposibil. Deci nu este posibil. (1p)
Pentru 85 de mere ar trebui 56 + f = 85, adică f = 29 > 28, ceea ce este imposibil. Deci nu este posibil. (1p)
3pb) Dacă s-au distribuit 71 de mere, determină câte fete sunt în clasă.
Rezolvare și barem, punctul b)
56 + f = 71 (1p), deci f = 15 (1p). În clasă sunt 15 fete (și 13 băieți); verificare: 3·15 + 2·13 = 45 + 26 = 71. (1p)
2. Se consideră numărul a = (√75 − √12)·√3 − 2.
2pa) Arată că a = 7.
Rezolvare și barem, punctul a)
√75 = 5√3 și √12 = 2√3 (1p). Atunci a = (5√3 − 2√3)·√3 − 2 = 3√3·√3 − 2 = 9 − 2 = 7. (1p)
3pb) Determină elementele mulțimii A ∩ ℤ*, unde A = {x ∈ ℝ | −a ≤ 2x − 3 < a}.
Rezolvare și barem, punctul b)
Cu a = 7: −7 ≤ 2x − 3 < 7. (1p) Adunăm 3: −4 ≤ 2x < 10, apoi împărțim la 2: −2 ≤ x < 5, deci A = [−2, 5). (1p)
Numerele întregi din A sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4; eliminăm 0, deci A ∩ ℤ* = {−2, −1, 1, 2, 3, 4}. (1p)
Numerele întregi din A sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4; eliminăm 0, deci A ∩ ℤ* = {−2, −1, 1, 2, 3, 4}. (1p)
3. Se consideră expresia E(x) = (x − 3)² − (x + 4)(x − 4) + 2x, unde x este număr real.
2pa) Arată că E(x) = −4x + 25, pentru orice număr real x.
Rezolvare și barem, punctul a)
(x − 3)² = x² − 6x + 9 și (x + 4)(x − 4) = x² − 16 (1p). E(x) = x² − 6x + 9 − x² + 16 + 2x = −4x + 25. (1p)
3pb) Determină numerele naturale n pentru care E(n) > 5.
Rezolvare și barem, punctul b)
−4n + 25 > 5 (1p), deci −4n > −20, adică n < 5 (la împărțirea cu −4 se schimbă sensul inegalității). (1p) Cum n este natural, n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. Punctul D este mijlocul lui BC (AD ⟂ BC), iar DE ⟂ AB, cu E ∈ AB.
2pa) Arată că lungimea segmentului AD este egală cu 12 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Triunghiul ABC este isoscel, deci mediana AD este și înălțime, iar BD = 5 cm. (1p) Din triunghiul dreptunghic ABD: AD² = AB² − BD² = 169 − 25 = 144, deci AD = 12 cm. (1p)
3pb) Arată că lungimea segmentului DE este egală cu 60/13 cm.
Rezolvare și barem, punctul b)
Aria triunghiului ABD se poate calcula în două moduri: BD·AD : 2 = 5·12 : 2 = 30 cm² (1p) și AB·DE : 2 = 13·DE : 2. (1p) Din 13·DE : 2 = 30 rezultă DE = 60/13 cm. (1p)
5. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ CD, m(∠A) = m(∠D) = 90°, AB = 8 cm, CD = 14 cm și BC = 10 cm.
2pa) Arată că AD = 8 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Fie BE ⟂ CD, E ∈ CD. ABED este dreptunghi, deci DE = AB = 8 cm și EC = 14 − 8 = 6 cm. (1p) Din triunghiul dreptunghic BEC: BE² = 100 − 36 = 64, deci BE = 8 cm. Cum AD = BE, AD = 8 cm. (1p)
3pb) Punctul M este mijlocul laturii BC. Calculează aria triunghiului AMD.
Rezolvare și barem, punctul b)
Fie P mijlocul laturii AD. Atunci MP este linia mijlocie a trapezului, deci MP ∥ AB și MP = (8 + 14) : 2 = 11 cm. (1p) Cum AB ⟂ AD, rezultă MP ⟂ AD, deci MP este înălțimea triunghiului AMD. (1p) Aria = AD·MP : 2 = 8·11 : 2 = 44 cm². (1p)
6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AA′, iar N este mijlocul muchiei CC′.
2pa) Arată că volumul cubului este egal cu 216 cm³.
Rezolvare și barem, punctul a)
V = AB³ (1p) = 6³ = 216 cm³. (1p)
3pb) Arată că patrulaterul AMNC este dreptunghi și calculează lungimea segmentului MN.
Rezolvare și barem, punctul b)
AA′ ∥ CC′ (muchii paralele ale cubului) și AM = CN = 3 cm, deci AMNC este paralelogram. (1p) Muchia AA′ este perpendiculară pe planul bazei, deci AM ⟂ AC; paralelogramul AMNC are un unghi drept, deci este dreptunghi. (1p) Atunci MN = AC = 6√2 cm (diagonala unui pătrat cu latura 6 cm). (1p)