Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 6
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 6
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Rezultatul calculului 3·(−2)² − 5·(−3) + 24 : (−6) este egal cu:
Rezolvare. 3·(−2)² = 3·4 = 12; −5·(−3) = 15; 24 : (−6) = −4. Deci 12 + 15 − 4 = 23.
5p2. Numerele a, b și c sunt direct proporționale cu 2, 3 și 5, iar a + b + c = 60. Numărul c este egal cu:
Rezolvare. a2 = b3 = c5 = a + b + c2 + 3 + 5 = 6010 = 6, deci c = 5·6 = 30.
5p3. Prețul unui obiect crește cu 20%, apoi noul preț scade cu 20%. Față de prețul inițial, prețul final:
Rezolvare. După creștere, prețul este 120% din cel inițial. După scădere: 80% din 120% = 0,8·1,2 = 0,96 = 96% din prețul inițial. Prețul a scăzut cu 4%.
5p4. Numărul elementelor mulțimii A = {x ∈ ℤ | |x − 1| ≤ 3} este egal cu:
Rezolvare. |x − 1| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇔ −2 ≤ x ≤ 4. Numerele întregi sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, adică 7 numere.
5p5. Patru elevi calculează valoarea expresiei (√12 − √3)² și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ana | Bogdan | Cătălin | Dan |
|---|---|---|---|
| 9 | √3 | 3 | 6 |
Rezolvare. √12 = 2√3, deci √12 − √3 = √3, iar (√3)² = 3.
5p6. Afirmația „Intervalul [−√5, √11) conține exact 7 numere întregi.” este:
Rezolvare. 2 < √5 < 3, deci −3 < −√5 < −2, iar 3 < √11 < 4. Numerele întregi din interval sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, adică 6 numere, nu 7. Afirmația este falsă.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, cu AB = 6 cm, BC = 8 cm și CD = 10 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AB, iar N este mijlocul segmentului CD. Lungimea segmentului MN este egală cu:
Rezolvare. MB = 3 cm și CN = 5 cm. Cum punctele sunt în ordinea M, B, C, N: MN = MB + BC + CN = 3 + 8 + 5 = 16 cm.
5p2. În figura alăturată, triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC și m(∠A) = 40°. Punctul D aparține laturii AB și BD = BC. Măsura unghiului ACD este egală cu:
Rezolvare. m(∠B) = m(∠C) = (180° − 40°) : 2 = 70°. Triunghiul BCD este isoscel (BD = BC), cu m(∠B) = 70°, deci m(∠BCD) = (180° − 70°) : 2 = 55°. Atunci m(∠ACD) = m(∠ACB) − m(∠BCD) = 70° − 55° = 15°.
5p3. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 9 cm și AC = 12 cm, iar AD ⟂ BC, D ∈ BC. Lungimea segmentului BD este egală cu:
Rezolvare. BC = 15 cm. Din aria triunghiului: BC·AD = AB·AC, deci AD = 108 : 15 = 7,2 cm. Din triunghiul dreptunghic ABD: BD² = 81 − 51,84 = 29,16, deci BD = 5,4 cm.
5p4. Paralelogramul ABCD din figura alăturată are AB = 10 cm, AD = 6 cm și m(∠A) = 60°. Aria paralelogramului este egală cu:
Rezolvare. În triunghiul dreptunghic AED, m(∠ADE) = 30°, deci AE = 3 cm și DE² = 36 − 9 = 27, adică DE = 3√3 cm. Aria = AB·DE = 10·3√3 = 30√3 cm².
5p5. În figura alăturată, coarda AB a cercului de centru O are lungimea 10√3 cm, iar m(∠AOB) = 120°. Raza cercului este egală cu:
Rezolvare. Triunghiul AOB este isoscel. Fie OM ⟂ AB; M este mijlocul lui AB, deci AM = 5√3 cm, iar m(∠AOM) = 60°. În triunghiul dreptunghic AOM, m(∠OAM) = 30°, deci OM = OA : 2 și OA² = OM² + AM². Notând OA = R: R² = R²/4 + 75, de unde R² = 100 și R = 10 cm.
5p6. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 3 cm, BC = 4 cm și AA′ = 12 cm. Lungimea diagonalei AC′ a paralelipipedului este egală cu:
Rezolvare. Diagonala bazei: AC² = 3² + 4² = 25, deci AC = 5 cm. Triunghiul ACC′ este dreptunghic în C (CC′ ⟂ planul bazei): AC′² = AC² + CC′² = 25 + 144 = 169, deci AC′ = 13 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. La un concurs sunt 20 de întrebări. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit se scad 2 puncte. Toate întrebările primesc răspuns.
2pa) Este posibil ca un elev să obțină 95 de puncte? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
Dacă elevul răspunde corect la c întrebări, atunci a greșit la 20 − c, iar punctajul este 5c − 2(20 − c) = 7c − 40. (1p) Din 7c − 40 = 95 rezultă 7c = 135, iar 135 nu se împarte exact la 7, deci c nu este număr natural. Nu este posibil. (1p)
3pb) Dacă un elev obține 58 de puncte, aflați la câte întrebări a răspuns corect.
Rezolvare și barem, punctul b)
7c − 40 = 58 (1p), deci 7c = 98 (1p) și c = 14. Elevul a răspuns corect la 14 întrebări (verificare: 14·5 − 6·2 = 70 − 12 = 58). (1p)
2. Numerele 53, 77 și 101, împărțite la același număr natural n, de două cifre, dau același rest.
2pa) Verifică dacă n poate fi egal cu 5.
Rezolvare și barem, punctul a)
5 are o singură cifră, deci nu convine; în plus, 53 : 5 dă restul 3, iar 77 : 5 dă restul 2, resturile nefiind egale. Deci n nu poate fi 5. (2p)
3pb) Determină toate numerele n care verifică cerințele problemei.
Rezolvare și barem, punctul b)
Dacă 53, 77 și 101 dau același rest la împărțirea cu n, atunci n divide diferențele 77 − 53 = 24 și 101 − 77 = 24. (1p) Divizorii lui 24 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; de două cifre sunt 12 și 24. (1p) Verificare: 53 = 4·12 + 5, 77 = 6·12 + 5, 101 = 8·12 + 5; 53 = 2·24 + 5, 77 = 3·24 + 5, 101 = 4·24 + 5. Deci n ∈ {12, 24}. (1p)
3. Se consideră numărul a = (√27 − √12)·√3 + (√7 − 2)(√7 + 2) + 1.
2pa) Arată că a = 7.
Rezolvare și barem, punctul a)
√27 = 3√3 și √12 = 2√3, deci (√27 − √12)·√3 = √3·√3 = 3. (1p) (√7 − 2)(√7 + 2) = 7 − 4 = 3. Atunci a = 3 + 3 + 1 = 7. (1p)
3pb) Determină numărul elementelor mulțimii A ∩ ℕ*, unde A = {x ∈ ℝ | |x − 3| < a}.
Rezolvare și barem, punctul b)
Cu a = 7: |x − 3| < 7 ⇔ −7 < x − 3 < 7. (1p) Adunăm 3: −4 < x < 10, deci A = (−4, 10). (1p) Numerele naturale nenule din A sunt 1, 2, …, 9, adică 9 numere. (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD, cu AB ∥ CD, AB = 10 cm, CD = 22 cm și AD = BC = 10 cm. Punctul E este piciorul perpendicularei din A pe CD.
2pa) Arată că înălțimea AE a trapezului este egală cu 8 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
În trapezul isoscel, DE = (CD − AB) : 2 = (22 − 10) : 2 = 6 cm. (1p) Din triunghiul dreptunghic AED: AE² = AD² − DE² = 100 − 36 = 64, deci AE = 8 cm. (1p)
3pb) Calculează lungimea diagonalei AC.
Rezolvare și barem, punctul b)
EC = CD − DE = 22 − 6 = 16 cm. (1p) Din triunghiul dreptunghic AEC: AC² = AE² + EC² = 64 + 256 = 320. (1p) Deci AC = √320 = 8√5 cm. (1p)
5. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu AB = 8 cm. Punctul M se află pe latura BC, astfel încât BM = 6 cm.
2pa) Arată că AM = 10 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Din triunghiul dreptunghic ABM: AM² = AB² + BM² = 64 + 36 = 100 (1p), deci AM = 10 cm. (1p)
3pb) Calculează aria patrulaterului AMCD.
Rezolvare și barem, punctul b)
Aria pătratului ABCD este 8² = 64 cm². (1p) Aria triunghiului ABM este AB·BM : 2 = 8·6 : 2 = 24 cm². (1p) Aria patrulaterului AMCD = 64 − 24 = 40 cm². (1p)
6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′, cu AB = 6 cm. Punctul M este mijlocul muchiei BB′.
2pa) Arată că AM = 3√5 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
BM = BB′ : 2 = 3 cm. Muchia BB′ este perpendiculară pe planul (ABC), deci BB′ ⟂ AB. (1p) Din triunghiul dreptunghic ABM: AM² = 36 + 9 = 45, deci AM = 3√5 cm. (1p)
3pb) Calculează perimetrul triunghiului AMC.
Rezolvare și barem, punctul b)
Analog, MC² = BC² + BM² = 36 + 9 = 45, deci MC = 3√5 cm. (1p) AC este diagonala pătratului ABCD, deci AC = 6√2 cm. (1p) Perimetrul = 3√5 + 3√5 + 6√2 = 6√5 + 6√2 cm. (1p)