Acasă › Pregătire Evaluarea Națională › Testul 8
Pregătire Evaluarea Națională la matematică: Testul 8
Timp de lucru: 2 orePunctaj: 10 puncte din oficiu + 30 + 30 + 30Subiectele I și II: răspunsul se corectează pe locSubiectul al III-lea: rezolvare cu barem
Toate subiectele sunt obligatorii. La Subiectele I și II alege răspunsul corect; la Subiectul al III-lea scrie pe caiet rezolvarea completă, apoi deschide „Rezolvare și barem”. Materia de clasa a 8-a este limitată la ce s-a parcurs până acum: intervale de numere reale, inecuații de forma ax + b ≥ 0 și primele noțiuni despre corpuri geometrice.
SUBIECTUL I30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Numărul divizorilor naturali ai numărului 2²·3·5 este egal cu:
Rezolvare. Un număr de forma 2²·3¹·5¹ are (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3·2·2 = 12 divizori naturali.
5p2. Numerele reale a, b, c verifică relațiile a3 = b5 = c7 și a + b + c = 45. Numărul c este egal cu:
Rezolvare. a3 = b5 = c7 = a + b + c3 + 5 + 7 = 4515 = 3, deci c = 7·3 = 21.
5p3. Prețul unui obiect crește cu 25%, apoi noul preț scade cu 20%, iar obiectul costă acum 300 de lei. Prețul inițial al obiectului a fost:
Rezolvare. Fie p prețul inițial. După creștere: 1,25p; după scădere: 0,8·1,25p = p. Deci prețul inițial este chiar 300 de lei.
5p4. Suma numerelor întregi din intervalul [−√30, √20) este egală cu:
Rezolvare. 5 < √30 < 6, deci −6 < −√30 < −5, iar 4 < √20 < 5. Numerele întregi din interval sunt −5, −4, …, 3, 4. Perechile de numere opuse au suma 0, deci suma este −5.
5p5. Patru elevi calculează media geometrică a numerelor x = 12√3 − √12 și y = 9√3 + √3 și obțin rezultatele din tabelul de mai jos.
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ana | Bogdan | Cătălin | Dan |
|---|---|---|---|
| 8 | 2√6 | 4√3 | 6√2 |
Rezolvare. x = 4√3 − 2√3 = 2√3 și y = 3√3 + √3 = 4√3. Media geometrică este √x·y = √2√3·4√3 = √24 = 2√6.
5p6. Afirmația „Dacă x ∈ (−2, 3], atunci 2x − 1 ∈ (−5, 6].” este:
Rezolvare. Din −2 < x ≤ 3 rezultă −4 < 2x ≤ 6, apoi −5 < 2x − 1 ≤ 5. Deci 2x − 1 ∈ (−5, 5]. Intervalul (−5, 6] este mai mare decât cel obținut, deci afirmația este falsă.
SUBIECTUL al II-lea30 de puncte · alege litera răspunsului corect
5p1. Punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, cu AB = 10 cm, BC = 6 cm și CD = 14 cm. Punctul M este mijlocul segmentului AD, iar N este mijlocul segmentului BC. Lungimea segmentului MN este egală cu:
Rezolvare. AD = 10 + 6 + 14 = 30 cm, deci AM = 15 cm. BN = 3 cm, deci AN = 10 + 3 = 13 cm. MN = AM − AN = 15 − 13 = 2 cm.
5p2. În figura alăturată, punctul B se află în interiorul unghiului AOC, cu m(∠AOC) = 130°. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOB, iar ON este bisectoarea unghiului BOC. Măsura unghiului MON este egală cu:
Rezolvare. m(∠MON) = m(∠MOB) + m(∠BON) = m(∠AOB) : 2 + m(∠BOC) : 2 = (m(∠AOB) + m(∠BOC)) : 2 = 130° : 2 = 65°.
5p3. În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și m(∠C) = 30°, iar AD ⟂ BC, D ∈ BC. Lungimea segmentului AD este egală cu:
Rezolvare. BC = 2·AB = 12 cm (cateta AB se opune unghiului de 30°). AC² = 144 − 36 = 108, deci AC = 6√3 cm. Din aria triunghiului: BC·AD = AB·AC, deci AD = 6·6√3 : 12 = 3√3 cm.
5p4. În figura alăturată, ABCD este un trapez dreptunghic cu AB ∥ CD, m(∠A) = m(∠D) = 90°, AB = 6 cm, AD = 6 cm și CD = 14 cm. Perimetrul trapezului este egal cu:
Rezolvare. Fie BE ⟂ CD, E ∈ CD. Atunci DE = AB = 6 cm și EC = 14 − 6 = 8 cm, iar BE = AD = 6 cm. BC² = 6² + 8² = 100, deci BC = 10 cm. Perimetrul = 6 + 14 + 6 + 10 = 36 cm.
5p5. În figura alăturată, coarda AB = 6√3 cm a unui cerc de centru O și rază 6 cm are mijlocul M, iar OM ⟂ AB. Distanța de la O la AB (lungimea segmentului OM) este egală cu:
Rezolvare. M este mijlocul coardei, deci AM = 3√3 cm. Din triunghiul dreptunghic OMA: OM² = 36 − 27 = 9, deci OM = 3 cm.
5p6. Prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ din figura alăturată are AB = 6 cm și AA′ = 7 cm. Lungimea diagonalei AC′ a prismei este egală cu:
Rezolvare. Diagonala bazei: AC² = 36 + 36 = 72. Triunghiul ACC′ este dreptunghic în C: AC′² = AC² + CC′² = 72 + 49 = 121, deci AC′ = 11 cm.
SUBIECTUL al III-lea30 de puncte · scrie rezolvările complete
1. La un test cu 25 de probleme, pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 6 puncte, iar pentru fiecare problemă rezolvată greșit sau nerezolvată se scad 2 puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu.
2pa) Este posibil ca Mihai să obțină 130 de puncte? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
Dacă Mihai rezolvă corect c probleme, punctajul este 6c − 2(25 − c) + 10 = 8c − 40. (1p) Din 8c − 40 = 130 rezultă 8c = 170, deci c = 21,25, care nu este număr natural. Nu este posibil. (1p)
3pb) Dacă Mihai obține 120 de puncte, aflați câte probleme a rezolvat corect.
Rezolvare și barem, punctul b)
8c − 40 = 120 (1p), deci 8c = 160 (1p) și c = 20. Verificare: 20·6 − 5·2 + 10 = 120 − 10 + 10 = 120. (1p)
2. Un bunic numără nucile dintr-un coș câte 4, câte 5 sau câte 6, iar de fiecare dată îi rămân 3 nuci.
2pa) Este posibil să fie 133 de nuci în coș? Justifică răspunsul dat.
Rezolvare și barem, punctul a)
Dacă numărul nucilor este n, atunci n − 3 se împarte exact la 4, 5 și 6, deci este multiplu comun al lor, adică multiplu de 60. (1p) Pentru n = 133: 133 − 3 = 130 nu este multiplu de 60. Deci nu este posibil. (1p)
3pb) Dacă bunicul a adunat între 200 și 300 de nuci, determină câte nuci ar putea fi în coș.
Rezolvare și barem, punctul b)
Cel mai mic multiplu comun al lui 4, 5 și 6 este 60, deci n − 3 = 60k, adică n = 60k + 3. (1p) Din 200 < 60k + 3 < 300 rezultă 197 < 60k < 297, deci k = 4 (3,28… < k < 4,95…). (1p) Atunci n = 60·4 + 3 = 243 de nuci. (1p)
3. Se consideră numerele a = √54 + 6√6 și b = (√150 − √24) : 2.
2pa) Arată că a = 4√6.
Rezolvare și barem, punctul a)
√54 = 3√6 (1p) și 6√6 = 6√66 = √6. Atunci a = 3√6 + √6 = 4√6. (1p)
3pb) Arată că media geometrică a numerelor a și b este un număr natural.
Rezolvare și barem, punctul b)
√150 = 5√6 și √24 = 2√6, deci b = (5√6 − 2√6) : 2 = 3√62. (1p) Media geometrică este √a·b = √4√6·3√6 : 2 (1p) = √6·6 = √36 = 6 ∈ ℕ. (1p)
4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AB = 12 cm și BC = 8 cm. Punctul M este mijlocul laturii AB, iar P este punctul de intersecție a dreptelor AC și DM.
2pa) Arată că AP : PC = 1 : 2.
Rezolvare și barem, punctul a)
AM ∥ CD (AB ∥ CD), deci triunghiurile PAM și PCD sunt asemenea. (1p) Raportul de asemănare este AM : CD = 6 : 12 = 1 : 2, deci AP : PC = 1 : 2. (1p)
3pb) Calculează aria triunghiului ADP.
Rezolvare și barem, punctul b)
Din AP : PC = 1 : 2 rezultă AP = AC : 3. (1p) Triunghiurile ADP și ADC au aceeași înălțime dusă din D pe AC, deci ariile lor sunt proporționale cu bazele: aria(ADP) = aria(ADC) : 3. (1p) Aria(ADC) = 12·8 : 2 = 48 cm², deci aria(ADP) = 16 cm². (1p)
5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral REM, cu RE = 12 cm. Punctul U este mijlocul laturii RE, iar cercul de centru U și diametru RE intersectează laturile RM și EM în punctele S, respectiv T. Segmentele RT și ES se intersectează în punctul P.
2pa) Arată că perimetrul triunghiului REM este egal cu 36 cm.
Rezolvare și barem, punctul a)
Triunghiul REM este echilateral, deci RM = EM = RE = 12 cm. (1p) Perimetrul = 3·12 = 36 cm. (1p)
3pb) Demonstrează că MP = 4√3 cm.
Rezolvare și barem, punctul b)
Unghiurile RSE și RTE sunt înscrise într-un semicerc (RE este diametru), deci ES ⟂ RM și RT ⟂ EM. (1p) ES și RT sunt înălțimi ale triunghiului echilateral, deci sunt și mediane, iar P este centrul de greutate. Atunci MP = 23·MU. (1p) MU este înălțime în triunghiul echilateral: MU = 12√3 : 2 = 6√3 cm. Deci MP = 23·6√3 = 4√3 cm. (1p)
6. În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD, cu toate muchiile de 12 cm. Punctul E este mijlocul muchiei VA, iar F este mijlocul muchiei VC.
2pa) Arată că dreptele EF și AC sunt paralele.
Rezolvare și barem, punctul a)
EF este linie mijlocie în triunghiul VAC. (1p) Prin urmare EF ∥ AC și EF = AC : 2. (1p)
3pb) Calculează aria patrulaterului AEFC.
Rezolvare și barem, punctul b)
AC = 12√2 cm (diagonala pătratului ABCD). Cum VA² + VC² = 144 + 144 = 288 = AC², triunghiul VAC este dreptunghic isoscel în V, cu aria 12·12 : 2 = 72 cm². (1p) Triunghiul VEF este asemenea cu triunghiul VAC, cu raportul de asemănare 1 : 2, deci aria(VEF) = 72 : 4 = 18 cm². (1p) Aria(AEFC) = aria(VAC) − aria(VEF) = 72 − 18 = 54 cm². (1p)